2003_-_Gmurman__TV_i_MS

§ 26. Выборочный коэффициент ранговой

корреляции Кендалла и проверка гипотезы

оего значимости

Можно оценивать связь между двумя качествен­

ными призиаками, используя коэффициент ранговой кор­

реляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема n

(здесь сохранены все обозначения § 25):

правее У2 имеется R 2 рангов, больших У2; ... ; правее Уn-l

имеется R n- 1 рангов, больших Уn-l' Введем обозначение

суммы рангов Rj(i=l, 2, ...• n-l):

R=R1 +R 2 +···+Rn - 1 •

Вbl60РОLfНЫЙ коэффициент ранговой корреляции Кен­

далла определяется формулой

't = [4R/n (n-l)]-l,

B

n-l

где n-объем выборки, R = ~ R j •

(:= I

Убедимся, что коэффициент Кендалла имеет те же свойства, что и ко9ффициент Спирмена.

1. В случае «ПОЛНОЙ прямой зависимости» признаков

Х2 = 2, "', ХN = n

у,=2, ... , уn=n

Правее Уl имеется n - I рангов, больших Yl' поэтому

R1=n-l. Очевидно, что R,=n-2, ... , R n- 1= 1. Следо­

вательно,

341

Рв = (3/2) "в'

Пример 1. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции

Кеидалла по данным рангам объектов выборки объема n= 10:

ших !ll. поэтому R1 =4. Аналогично найдем. R2 =5. Ra =2, Rc=6, Rr.=5. Ro=3, R7 =O, R8 =2, Rs =l. Следовательио, сумма рангов

R=28.

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Кендалла,

учитывая, что n = 10'

"0 = [4R/n (n- 1)] -1 = [4·28/10.9] -1 =0,24.

Приведем правило, позволяющее установить значи­

мость или незначимость ранговой корреляционной связи

Кендалла.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а,

проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генераль­

ного коэффициента ранговой корреляции 't Кендалла r

где n-объем выборки; zкр-критическая точка двусто­ ронней критической области, которую находят по таблице

функции Лапласа по равенству Ф (гкр) = (l-а)/2.

Если I't I < ткр- нет оснований отвергнуть нулевую o

гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качест­

венными прнзнаками незначимая.

Если I't I> ткр-нулевую гипотезу отвергают. Между o

качественными признаками существует значимая ранговая

корреляционная связь.

Прнмер 2. При уровне значимости 0,05 проверить, является ли

ранговая lюрреляционная связь 1:'в=О,24, вычислеиная в примере 1.

зиачимой?

342

Реш е н и е. НаЙДi!М критическую точку ZKP:

Ф (ZKp) = (1-0;)/2 = (1 -0,05)/2 = 0,475.

По таблице функции ЛаПJ,аса (см. приложение 2) находим ZKP= 1,96

Найдем критическую точку:

ранг.овая корреляционная связь между признаками незначимая.

§ 27. Критериii 8ИJlкоксона и проверка гипотезы

об однородности двух выборок

Критерий Вилкоксона *) служит для проверки

однородности двух независимых выборок: x1 ' х2, .• ·, Хn, И Уl' У2' , •.• Уn.' Достоинство vэтого критерия состоит в том,

что он применим к случаиным величинам, распределемия

которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины

были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извле­ чены из одной и той же генеральной совокупности и,

следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестиые~

что случайная величина Х превзойдет фиксированное

действительное число х, больше, чем вероятность слу­

чайной величине У оказаться большей, чем х; в этом смысле Х> У.

Аналогично, если справедлива конкурирующая гипо­

теза H 1 :F1 (х) > F g (у)' тО Х < У.

*) В 1945 г. Вилкоксон опубликовал критерий сравнения двух выборок одииакового объема. в 1947 г. Манн и Уитни обобщили кри­ терий иа выборки различного объема.

343

Далее предполагается, что объем первой выборки

меньше (не больше) объема второй: n1 ~ n 2 ; если это не

так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами).

3) найти верхнюю критическую точку по формуле

Wверхи. ИР = (n} + n 2 + 1) n}-Wи"жи. ИР'

Если WНаБJl < W""жи. ИР или WНаБJl > WBepx". кр-нулевую

гипотезу отвергают.

Если WниlКн. ир < Wllабл < WBepxH. ир-нет оснований от­

вергнуть нулевую гипотезу.

Пример 1. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипо­

тезу об однородности двух выборок. объемов nI = 6 и n2 = 8:

при конкурирующей гипотезе Н!..: F1 (х) ::F F2 (х).

Реш е н и е. Расположим варианты обеих выборок в виде одиого

вариационного ряда и перенумеруем их:

Wнабл=3+7 +9+ 10+ 12+ 13=54.

Найдем по таблице прнложения 10 нижнюю критическую точку,

учитывая, что Q=(X/2=O,05/2=O,025, nl=6, n,=8:

W"ижн. ир (0,025; 6, 8) = 29.

НаЙдем верхнюю критическую точку:

Шверхн. кр = (nl +n, + 1)nI-W"ИЖН. кр =(6+ 8 + 1).6-29 =61.

Так как 29 < 54 < 61, т. е. Wнижн.ир < WнаБЛ < Wверхи. кр.­

нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородностн выборок.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Р) (х) > Р'I. (х)

Wsерхи.кр(Q; n 1 • n2)=(nl+n2+1)nt-Wнижи.кр(Q; n1 , Па).

порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.

Б. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем

хотя бы ОДНОЙ И3 выборок превосходит 25. 1. При конку­ рирующей гипотезе F 1 (х) =F Р2 (х) нижняя критическая

точка

в п. А, сохраняются.

Пример ·2. При уровне значимости 0,01 лроверить нулевую гипо­ тезу об однородности двух выборок объемов n! = 30 и n2 = 50 при кон­

курирующей гипотезе H1:F} (х) :1= Р2 (х), если известно, что в общем

вариационном ряду. составленном из вариант обеих выборок, сумма

порядковых номеров вариант, первой выборки Wи.БА = 1600.

345

Реш е н и е. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид

Р1 (х) ::F Р2 (х), поэтому критическая область-двусторонияя. Найдем Zир по равенству

Ф (ZKp) = (l-а)/2 = (1- 0,01)/2 =0,495.

По таблице функции ЛаПЛl;lса (см. приложение 2) находим гКР = 2,58.

Так как 1600> 1476, т. е. Wнаб.ll> Wверх.кр-нулевая ГНПO'fеза

отвергается.

Задачи

1. По двум незавнснмым выборкам, объемы которых соот­

ветственно равны nl и ~, извлеченным из нормальных генеральных

совокупностей Х и У, найдены исправленные выборочные дисперсии

s~ и s~. При уровне значимости а проверить нулевую гипотезу но:

если:

уровне зиачимости 0,05 проверить нулевую гипотезу но: М (Х) = м (1:')

оравенстве математических ожиданий при конкурирующей гипотезе

Н1:М (Х) t= М (У).

У к а з а н и е. Предварительно сравнить дисперсии.

Оmв. Тна6.11=0,88, t Kp (0,05; 9) =2,26. Нет оснований отвергнуть

нулевую гипотезу.

4. Из нормальной геиеральной совокупности с известным сред­

ним квадратическим отклонеиием а = 2,1 извлечена выборка объема

346

n=49 и по ней найдена выборочная средняя Х=4,5. Требуется при

уровне значИмости 0,05 проверить нулевую гипотезу Но: а = 3 о ра­

венстве математического ожидания гипотетическому значеиию при

конкурирующей гипотезе Н}: a:l: 3.

«исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 1,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу но: а = 11,8

оравенстве матемаТИческого ожидания гипотетическому зиачению

тота т/n=О,15. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую

пятипроцентном уровне значимости, что относительные частоты полу­

нормальных генеральных совокупностей, иайдены исправленны~ выбо­

Отв. V =6,63, 'X~p (0,05; 4) =9,5. Нет оснований отвергиуть нуле­

вую гипотезу.

10. По <1етырем независимы.м выборкам одинакового объема n = 17,

извлечеиным из нормальнВlХ совокупностей, найдены исправленные

б) оценить генеральную дисперсию.

у к а з а н и е. Использовать критерий Кочреиа (см. § 21).

347

реJIЯЦИИ гв =0,6. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую

гипотезу Но:Гг=О о равенстве нулю генерального коэффициента кор­

12. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о иормаль­

нам распределении генеральной совокупности, если известны эмпири­

ческие (приведены в первой строке) и теоретические частоты (приве­

дены во второй строке):

б) значима ли ранговая корреляциоиная связь при уровне зиачи­

б) значима ли ранговая корреляционная связь ,при уровне значи­

мости О,ОБ?

':1= Р,!х).

у к а з а н и е. Использовать критерий Вилкоксона.

Отв. Нулевая гипотеза отвергается: Wиижи. КР (0,025; 6; 6) = 26,

Wверхи. KP~ 52, W иабл = 70.

16. Используя критерий Вилкоксона, при уровне значимости

0,05 1Iроверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок,

348

объемы которых соответственно равны nl = 30 и n" = 50, при коику­

рирующей гипотезе Р1 (х) > Р2 (х), если известно, что сумма поряд-

ковых иомеров вариант первой выборки в общем вариационном ряду

WиаБJl= 1150.

Отв. Нег оснований отвергиуть нулевую гипотезу:

Wиижи• ир (0,05; 30; 50) = 1048, Wоерхи. кр = 1382.

rлава двадцатая

ОДНОФАI(ТОРНЫ А ДИСПЕРСИОННЫ R АНАЛИЗ

§ 1. Сравнеиие нескольких средних.

Понятие о дисперсионном анализе

Пусть генеральные совокупности Х1, Х•• ...• Хр

распределены нормально и имеют одинаковую, хотя и

неизвестную, дисперсию; математические ожидания также

неизвестны, но могут быть различными. Требуется при

заданном уровне значимости по выборочным средним проверить нулевую гипотезу Но:М (X1 ) = М (Х2) = ... =

= М (Хр) о равенстве всех математических ожиданий.

Другими словами. требуется установить, значимо или.

незначимо различаются выборочные средние. Казалось бы,

для сравнения нескольких средних (р>2) можно срав­

нить....их попарно. Однако с возрастанием числа средних

возрастает и наибольшее различие Me~y ними: среднее новой выборки может оказаться больше наибольшего или

меньше наименьшего из средних, полученных до нового

опыта. По этой причине для сравнения нескольких сред­

них пользуются другим методом, который основан на

сравнении дисперсий и поэтому назван дисnерсионны'м анализом (в основном развит английским стаТI:IСТИКОМ

Р. Фишером).

На практике дисперсионный анализ применяют. чтобы

установить. оказывает ли существенное влияние "екото­

рый к а ч е с т в е н н ы й фактор Р, который имеет р уров­

ней F1 , F а' ...• Fр на изучаемую величину Х. Например.

если требуется выяснить, какой вид удобрений наиболее эффективен для получения наибольшего урожая. то фак­

тор F-удобрение, а его у'ровни-виды удобрений.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в срав­ нении «факторной дисперсии», порождаемой воздействием

фактора, и «остаточиой дисперсии». обусловленной слу­ чайными причинами. Если различие между этими дис-

349

персиями значи~о. то фактор оказывает существенное влияние на Х; в этом случае средние наблюдаемых зна­

чений на каждом уровне (групповые средние) различа­

ются также значимо.

Если уже установлено, что фактор существенно влияет

на Х, а требуется выяснить, какой из уровней оказы­ вает наибольшее воздействие, то дополнительио пронз­

водят попарное сравнение средних.,

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы

установить о Д н о р о Д н о с т ь нескольких совокупностей

(дисперсии этих совокупностей одинаковы по предполо­

жению; если дисперсионный анализ покажет, что и мате­

матические ожидания одинаковы, то в этом СМЫСJlе сово­

купности однородны). Однородные же совокупности можно

объединить в одну и тем самым получить о ней более

полную информацию, следовательио, и более надежные

выводы.

В более сложных случаях исследуют воздействие нескольких факторов на нескольких постоянных или

случайных уровнях и выясняют влияние отдельных уров­

ней и их комбинаций (многофакmорный анализ).

мы ограничимся простейшим случаем однофакторного

анализа, когда на Х воздействует только один фактор, который имеет р постоянных уровней.

§ 2. Общая факторная и остаточиая суммы

•

квадратов отклонении

Пусть на количественный нормально распреде­

ленный признак Х воздействует фактор Р, который имеет

р постоянных уровней. Будем предполагать, что ч и с л о

Таблица 30

Уровнн фактора F j

350