2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Таблица 35

средних отвергаем. Другими словами, групповые средиие различаются

значимо.

3аАачи

В задачах 1-3 требуется при уровне значимости 0,05 про­

верить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предпо­

лагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с оди·

наковыми геиеральными днсперсиями.

1.

Оmв. Fнабn=6,13; Екр (0,05; 4; 15)=3,06. Нулевая гип()теза

отвергается.

361

Omв. Fиа6.=2,4; Ркр (0,05; 3; 12)=3,49. Нет основаиий отверг­

нуть нулевую ГИП<Jтезу.

3.

Оmв. Рна6.=9,92; Ркр (0,05; 2; 10)=4,10. Нуле­

вая гнпотеза отвергается.

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ

МЕТОД МОНТЕ - КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА

Глава двадцать первая

МОДЕЛИРОВАНИЕ (РА3ЫГРЫВАНИЕ)СЛУЧАЙНЫ Х

ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО

§ 1. Предмет метода Монте - Карло

Датой рождения метода Монте-Карло принято

считать 1949 Г., когда американские ученые Н. MeTpono- лис и С. улам опубликовали статью «Метод Монте­

Карло», в которой систематически его изложили. Назва­

ние метода связано с названием города Монте-Карло,

где в игорных домах (казино) играют в рулетку-одно

u u u

из простеиших УСТр0ИСТВ для получения случаиных чисел,

на использовании которых основан этот метод.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псев­ дослучайные числа (при решении задач их применяют

вместо случайных чисел); это привело к широкому внедре­

нию метода во многие области науки и техники (статисти­

ческая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод МонтеКарло используют для вычис­

ления интегралов, в особенности многомерных, для Рf'ше­

ния систем алгебраических уравнений высокого порядка,

для исследования различного рода сложных систем

(автоматического управления, экономических, биологи­ ческих и т. д.).

С У щ н о с т ь м е т о Д а М о н т е- К а р л о состоит

в следующем: требуется найти значение а некоторой изу­ чаемой величины. Для этого выбирают такую случайную

величину Х. математическое ожидание которой равно а:

М (Х) =а.

Практически же поступают так: производят n испы­

таний, в результате которых получают n возможных зна­

чений Х; вычисляют их среднее арифметическое

х = (~xJln

363

и принимают х в качестве оценки (приближенного значе­

а ~ а*=х-.

Поскольку метод МонтеКарло требует проведения

большого числа испытаний, его часто называют 'методо'м

статистических испытаний. Теория этого метода указы­ вает. как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти ее возможные значения. В част­ ности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии

используемых случайных величин, в результате чего

уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого

математического ожидания а его оценкой а*.

Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной ве­

личины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания

случайных величин и укажем, как оценить допускаемую

при этом ошибку.

§ 2. Оценка погреwности метода Монте - Карло

Пусть для получения оценки а· математического

ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных ~a,",e­

ний Х) И по ним была найдена выборочная средняя х, ко­

торая принята в качестве искомой оценки: а· = х.

Ясно, что если повторить опыт, ТО будут получены дру­

гие возможные значения Х, следовательно, другая сред­

ияя, а значит, и другая оценка а·. Уже отсюда следует.

что получить точную оценку математического ожидания

невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Огранйчимся отысканием лишь

верхней границы б допускаемой ошибки с заданной ве­

роятностью (надежностью) у:

Р( Iх -а I~ б) = у.

Интересующая нас верхняя граница ошибки б есть не

что иное, как «точность оценки» математического ожидания

по выборочной средней при помощи доверительных ин­ тервалов, о которой уже шла речь в гл. XVI. Поэтому

воспользуемся результатами, полученными ранее, и рас­

смотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена

нормально и ее среднее квадратическое

364

о т к л о н е н и е о' и з в е с т н о. В зтом случае с надеж­

где n -число испытаний (разыгранных значений Х); t -

значение аргумента функции Лапласа, при котором

Ф (t) = ,\,/2, о' - известное среднее квадратическое откло­

нение Х.

Пример 1. С надежностью '1'= 0,95 найти верхнюю границу

ошибки 6, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х с известным средним квадратическим отклонением, равным 0,5, было разыграно 100 возможных значений Х.

Решение. По условию, n=IOO, 0'=0.5, Ф(t)=:=О,95/2=О,475.

где n-число испытаний; s-«исправленное» среднее квад­

ратическое отклонение, t y находят по таблице приложе­

ния 3.

Пример 2. С надежностью l'= 0,95 найти верхнюю граиицу ошибкн 6, если для оценки математического ожндания нормальной величины Х было разыграно 100 ее возможных значений и по ним

подставить в формулу (*) его оценку s-«исправленное:t

среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться

формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше

различие между результатами, которые дают обе формулы.

Это объясняется тем, что при n -+ ею распределение

365

Стьюдента стремится к нормальному (см. гл. XVI, § 16,

замечание). В частности (примеры 1 и 2), при n = 100, '\'= 0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле

(*) и 0,099 по формуле (**). Как видим, результаты раз­

личаются незначительно.

3 а м е ч а и и е. для того чтобы найти наименьшее чис.'1O испы­

таний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки 6,

надо выразить n из формул (*) и (**):

n= 1,962.0,52/0,0982 = 100.

§ 3. Случайные числа

Ранее было указано, что метод МонтеКарло

и

основан на применении случаиных чисел; дадим опреде-

ление 9ТИХ чисел. 060значим через R непрерывную слу­

чайную величину, распределенную равномерно в интер­

вале (О, 1).

Случайными числами называют возможные значения ,

непрерывной случайной величины R, распределенной

число десятичных знаков, а квазuравномерноu случаинои

ведена таблица случайных чисел, заимствованная из

книги: Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы

математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428.

§ 4. Разыгрывание дискретной случайной

величины

366

Обозначим через R непрерывную случайную величину.

Видим. что длина частичного интервала с индексом i

равна вероятности с тем же индексом:

дЛ'~/~~' (~

Теорема. ЕСАи IUlждо.му САgч.aЙно.му .,исАУ '! (О<;'! < 1),

кomopoe nоnaАО , инmepвaA А,. ставить, rooтвtтcmвиг

tJOЭ.tCМtCное значение X/t то paэtJl2Рbl8fJeАСаЯ 8еАuчина будет

и.меть эадаюшй закон расnредеАения:

Х Х1 Х•• •• Х"

РРl Р.··· Р,.

д о к а з а т е л ь с т в О. Так как ПрИ попадании слу­ чайного числа '! в частичный интервал 11, разыгрываемая

величина принимает возможиое значение Х(о а таких

интервалов всего n, то разыгрываемая величина имеет те

же возможные значеиия. что н Х. а нменно Х1• Х•• ••• , X II •

Вероятность попадания случайной величнны R в нн­

тервал ~l равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание).

а в силу (*) дЛ. ~/=PI' Таким образом, вероятность

поп а Д а н и я R в н и т е р в а л АЕ Р а в н а Pl' Cnедова­

тельно. вероятность того, ЧТО разыгрываемая величина

приtiет возможное зиачение XI. также равна Р, (поскольку

мы условилнсъ В случае попадаиия случайного числа '!

в интервал А, считать. что разыгрываемая величииа при­ няла возможное значение X/}' Итак, разыгрываемая ве­

личииа имеет задаиный закон распределеиия.

Правило. Для того чтобы разыграть дискретную слу­

чайную велнчину. заданную законом распределения Х Х• Х•• •• Х,.

РРl Р.· .. Р,.

367

надо: 1) разбить интервал (О, 1) оси Ог на n частичных

интервалов: ~l-(O; Pl)' ~2-(Pl; Pl+P2)' ... , ~n-(Pl+

+P2+"'+Pn-l; 1);

2) выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число г}.

Если Г} попало в частичный интервал ~j, то разыг­

рываемая ди-скретная случайная величина приняла воз­

можное значение Xi'

Пример. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины Х,

закон распределения которой задан в виде таблицы

Случайное ЧИСJIO r 1 = 0.1 О принадлежит частичному интервалу !\1.

группы n событий. Однако исходя из методических соображений этот частный случай намерено выделен в самостоятельный параграф-§ 5.

§ 5. Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом

из которых событие А появляется с известной вероят­

ностью Р и, следовательно, не появляется с вероятностью

q= 1-р.

Введем в рассмотрение дискретную случайную вели­

чину Х с двумя возможными значениями (для определен­

368

тие А не наступило, т. е. появилось противоположное

событие А.

Таким образом, разыгрывание противоположных событий А и А сведено к разыгрыванию дискретной случай­

ной величины Х с заданным законом распределения:

Х 1 О

РР q

Для разыгрывания Х надо (по правилу § 4) интервал (О, 1) разбить точкой Р на два частичных интервала:

~l-(O, Р) и ~2-(P, 1). Затем выбирают случайное число rj.

Если Г} попадает в интервал ~1' то Х = Х1 (наступило

событие А); если Г} попадает в интервал ~2' то Х = X 1 = О

(событие А не наступило).

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каж­

дом из которых вероятность появления события равна Р

и, следовательно, вероятность наступления противополож­

< Р, то событие А наступило; если г] ~ Р,

то появилось противоположное событие А.

Пример. Разыграть б испытаний, в каждом из которых событие

Апоявляется с вероятностью р = 0,35.

Реш е н и е. Выберем нз таблицы прнложения 9 шесть случайиых

чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при

,} < 0,35 событие _А появилось, 8 при '} ~ 0,35 наступило противо­

положное событие А, получим искомую последовательность событий:

А, А, А, А, А, А.

§ 6. Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы n (n > 2) несов­

местных событий A1 , А2, ••• , Аn, вероятности которых

Pl' Р2' "', Рn известны, можно свести к разыгрыванию

дискретной случайной величины Х со следующим законом

распределения (для определенности примем X 1 = 1, x1 = 2,

... , хn=n):

Действительно, достаточно считать, что если в испы­

тании величина Х приняла значение Xj = i (i =-: 1,2, ...• n), то наступило событие A j • Справедливость этого утвержде­

ния следует из того, что число n возможных значений Х

равно числу событий полной группы н вероятности воз­

можных значений Xi н соответствующих им событиА A1

одннакОВЫ: Р (Х = X/) = Р (Ад = Pi' Таким образом. появ­

ление в нспытании события А равносильно событию.

состоящему в том, что дискретная CJJучаАная величнна Х

приняла возможное значение XI'

Правило. Для того чтобы разыграть нспытания, в каж­

дом из которых наступает одно из событий А1• А•• ...• А,.

полной группы. вероятиости которых Рl' Р•• ••.• Р1I из­ вестны. достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную CJJучайную велнчину Х со CJJедующим законом распреде­

ления:

х1 2 ... n

РРl Р.· •• Р1I

Еслн В нспытанни величнна Х приняла возможное зна­

чение XI = i. то наступило событие A1•

При..,р 1. Задаиы вероятности четырех событий, образующих

пOJlИУЮ rpynny; Рl =р (А1) =0,19, р.=р (A1>=0,21, р.-=р (А.)=О,34,

Pt = Р (А,) а:::0,26. Разыграть 5 испытаиий, в каждом из которых

ПОЯВJIяется одно из четырех заданных событий.

Реш е н и е. В соответствии справилом, прнведенным в иастоящем параграфе, надо разыграть дискретиую случайную ~личину"Х, закон

распределения которой

интервала: 41-(0; 0,19), 4.-(0,19; 0,40), 4.-(0,40; 0,74), 4, -

(0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел,

напрнмер: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число rl = 0,66

принадлежит нитервалу 4" то Х=З, следовательио. наступило собы­

тне А,. Аналогично найдем остальиые события.

Итак, нскомая последовательность событнй такова:

А" А., А" А•• А•.

Пример 2. События А н В независимы н совместны. Разыграть

6 испытаний, в каждом И3 которых вероятность появления события А

равиа 0,6, а вероятность появлення события В равна 0,2.

Реш е н н е. Возможиы 4 исхор.а нспытаиня:

А1=АВ, прнчем в силу независимости событий Р (АВ)=

==р (А)·Р (B)=0,6·0,2=0,12;

А.=АВ, причем Р(АВ)=О,6.0,8=О,48;

А.=АВ, причем Р (1В)-=0,4.0,2=0,08;

"',-АВ, причем Р(АВ)=0,4.0,8 '0,32.

370