2003_-_Gmurman__TV_i_MS

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (Х) :1= м (У),

поэтому критическая область - двусторонняя.

Найдем правую критическую точку:

Ф (ZKP) =(I-сх)/2 = (1-0,01)/2 =0,495.

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) иаходим zк~-2,58. Так как I Zиабlll > ZKP - иулевую гипотезу отвергаем. другими

CJlовами, выборочные средние различаются значимо.

Второ'й случай. Нулевая гипотеза Но: М(Х)= = М (У). Конкурирующая гипотеза Н1: М (Х) > М (У).

На практике такой случай имеет место, если про­

фессиональные соображения позволяют предположить,

гического процесса, то есте-

ственно допустить, что оно приведет к увеличению вы­

пуска продукции. В зтом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероят­ ность попадания критерия в зту область в предположении

справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 26):

(****)

Покажем, как найти критическую точку с помощью

функции Лапласа. Воспользуемся соотношением (***):

р(О < Z < ZKP) + Р (Z > ZKP) = 1/2.

Всилу (**) и (****) имеем

ф(ZKP) +tX = 1/2.

Следовательно,

ф (ZKP) = (1-2tX)/2.

Отсюда заключаем: для того чтобы найти границу пра­

восторонней критической области (ZKP)' достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответ­

ствует значение функции, равное (1-2tX)/2. Тогда право­

сторонняя критическая область определяется неравенст­

вом Z > ZKP' а область принятия нулевой гипотезы­

неравенством Z < ZKP'

Правило 2. Для того чтобы при заданном ур-овне зна­ чимости tX проверить нулевую гипотезу,Но: М (Х) =М (У)

301

о равенстве математических ожиданий двух нормальных

гипотезу.

Если Zнабll> zир-нулевую гипотезу отвергают.

Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых

соответственио равиы n= 10 и т= 10, извлеченным из НО'рмальиых

При уровне значимости 0,05 провернть нулевую гипотезу Но: М (Х):::а

=М (У), при коикурирующей гипотезе H 1 : М (Х) > М (У).

Реш е н и е. Найдем иаблюдаемое значение критерию

Трет и й с л у чай. Нулевая гипотеза но: М (Х) =

~ м (У). Конкурирующая гипотеза Н1• М (Х) < м (У).

Вэтом случае строят левостороннюю критическую

область, исходя из требования, чтобы вероятность попа-

,

о

Рис. 27

дания критерия в эту область в предположении справед­

.lIивости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 27):

р (Z < z~p) =tX.

Приняв во внимание, что критерий Z распределен

симметрично относительно нуля, заключаем, что искомая

критическая точка г~p симметрична такой точке tz"p > о,

дЛЯ которой Р (Z > Zир) = tX, т. е. Z~p = - Zир. Таким

302

образом, для того чтобы найти точку Z~p, достаточно сначала найтн «вспомог~тельную точку» Zxp так, как

описано во в т о р о м с л у ч а е, а затем взять найденное

значение со знаком минус. Тогда левосторонняя крити­

ческая область определяется неравенством Z <-z"p,

а область принятия нулевой гипотезы-неравенством

Z > -ZKP'

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н1: М (Х) < < м (У) надо вычислить ZнаБJl И сначала по таблице

функции Лапласа найти «вспомогательную точку» Z"p по равенству Ф (Zxp = (1-2a.);2, а затем ноложить Z~p"" -"Zкp'

Если ZнаБJl > -ZКР-нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если ZнабlJ <-zкр-нулевую гипотезу отвергают.

Пример З. По двум независимым выборкам, объемы 'которых

соответственно ра вны n = 50 и m = 50, извлечениым из иормальных

генеральных совокупностей, найдены вы60рочные средние Х= 142 и ii= 150. Генеральные дисперсин известны: D (Х) =28,2, D (у) =22,8.

Прн уровие зиачимости 0,01 проверить нулевую гипотезу но: М(Х)=

=М (У), при конкурирующей гипотезе Н1: М(Х) < М (У).

тельно, z~p=- zkp=-2,33.

Так как Zнабll < -zкр-нулевую гипотезу отвергаем. Другими

словами, выборочная средняя х зиачимо меиьше выборочной сред­

иеА у.

§ 11. Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей

(большие независимые выборки)

впредыдущем параграфе предполагалось, что

генеральные совокупности Х и У распределены нор­ мально, а их дисперсии известны. При этих предполо­

жениях в случае справедливости нулевой гипотезы

ЗО3

,

Если хотя бы одно из приведенных требований Hf

выполняется, метод сравнения средних, описанный в § 10,

неприменим.

Однако если независимые выборки имеют большой

объем (не менее 30 каждая), то выборочные средние рас­ пределены приближенно нормально, а выборочные дис­

персии являются достаточно хорошими оценками гене­

ральных дисперсий и в этом смысле их можно считать

известными приближенно. В итоге критерий

ральные совокупности не распределены нормально и дис­

персии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы,- можно сравнивать средние так, как описано в § 1О, ваменив точный критерий Z прибли­

женным критерием Z'. в этом..случае наблюдаемое зна­

чение приближенного критерия таково:

3 а м е ч а и и е. Поскольку рассматриваемый критерий -прибЛИ4

женный, к выводам, полученным по этому критерию, следует отно­

ситься осторожно.

Пример. По двум незавнсимым выборкам, объемы которых соот,

ветственно равны n= 100 и m= 120, найдены выборочные средние

х=32,4, у=30,1 и выборочные дисперсии DB(X)= 15,0, DB (Y)=25,2.

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Но: М (Х) =

словами, выборочные среднне различаются значимо.

304

§ 12. Сравнение двух средних нормальных

генеральных совокупностей, .дисперсии которыХ!

неизвестны и одинаковы (малые независимые

выборки)

Пусть генеральные совокупности Х и У распре­

делены нормально. причем их дисперсии неизвестны.

Например, по выборкам малого объема нельзя получить

хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой при­

чине метод сравнения средних, изложенный в § 11. при­

менить нельзя.

Однако если дополнительно предположить. что н е и з­

вестные генеральные дисперсии равны

на одном и том же станке, то естественно допустить. что

дисперсии контролируемых размеров одинаковы.

Если же нет оснований считать дисперсии одинако­

выми. то, прежде чем сравнивать средние, сле­

дует, пользуясь критерием Фишера-Снедекора (см. § 8).

предварительно проверить гипотезу о равенстве гене­

ральных дисперсий.

Итак. в предположении, что генеральные дисперсии одинако.вы. требуется проверить нулевую гипотезу но:

М (Х) = м (У). Другими словами. требуется установить,

значимо или незначимо различаются выборочные средние

х и У. найденные по независимым малым выборкам объе­

мов пит.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при-

u

мем случаиную величину

Т- х-у , j"nm(n+m-2)

-V(n-l)S~+(т-])S: V n+m •

Доказано. что величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет t-распределение Стьюдента с k = n +т-2 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида

конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза но: М(Х)=

= М (У). Конкурирующая гипотеза Н1: М (Х) =1= М (У).

В этом случае строят двустороннюю критическую

область, исходя из требования, чтобы вероятность попа-

дания критерия Т в эту область в предположеиии спра. ведливости нулевой гипотезы была равна принятому

уровню значимости tX.

Наибольшая мощность критерия (вероятность попа~

дания критерия в критическую область при справедли~

вости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда

«левая» и «правая» критические точки выбраиы так, что

вероятность попадания критерия в каждый из двух интер~

валов двусторонней критической области равна tX/2:

р (Т < iлев. ИР) = сх;2, Р (Т > 'прав. ИР) = а,/2.

Поскольку величина Т имеет распределение Стью­

дента, а оно симметрично относительно нуля, то и крити­

ческие точки симметричны относительно нуля. Таким

образом, если обозначить правую границу двусторонней

критической области через tABYCT. ир (tX; k), то левая гра­ ница равна -iдвуст. ир(tX; k). Итак, достаточно найти

правую границу двусторонней критической области, чтобы найти саму двустороннюю критическую область: Т <

<-iДВ:JСТ.ИР(а,; k), T>iABYCT.Kp(tX; k) и область принятия

нулевои гипотезы: [-tдвуст.ир(а,; k), tдвуст.ир(а,; k)].

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­

ным наблюдений, через Тваб.. И сформулируем правило

проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при задаином уровне зна­

чимости tX проверить нулевую гипотезу но: М (Х) = м (У)

о равенстве математических ожиданий двух нормальных

совокупностей с неизвестными, но одинаковыми диспер­

сиями (в случае независимых малых выборок) при кон­ курирующей гипотезе Н1: М (Х) =;l= м (У), надо вычис­

лить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента,

по заданному уровню значимости tX (помещенному в верх­

ней строке таблицы) и числу степеней свободыk =n+m-2

найти критическую точку 'ДВУСТ. ир (а,; k).

Если! Тнабл ! <: tдвхст. ир (tX; k)-отвергнуть нулевую ги­

потезу нет основании.

Если IТнабll! > tABYCT. ир (tX; k)-нулевую гипотезу от­

вергают.

З06

Пример. По двум независимым малым выборкам, объемы которых cooTBeтc'tвeHHo равны n = 5 и т = 6, нзвлеченным из нормальных ге­

неральных совокупиостей Х и У, наидены вЫборочные средниех= 3,3,

У2,48иисправлеиныедисперсииs~=0.;25 и B~=O,108. При уровне

предварительио нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсии,

пользуясь критерием Фишера -Снедекора (см. § 8).

Найдем отиошение большей исправленной дисперсии к меньшеи:

F набл = 0,25/0,108 = 2,31.

Дисперсия В} значительно больше дисперсии в}. поэтому в ка­

честве коикурирующей примем гипотезу H1:D (Х) > D (У). В этом

случае критическая область - правосторонняя. По таблице, по уровню

тезу о равенстве геиеральных дисперсий.

Поскольку предположение о равенстве ге}-lеральных дисперсий

выполняется, сравним среднне.

Вычислим иаблюдаемое значение критерия Стьюдента:

Подставнв числовые значения величин, входящих в эту формулу, по­

лучим Тнабl1. = 3,27.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (Х) i= М (У),

поэтому критическая область-двусторонняя. По уровню знаЧИl\fОСТИ

ральных средних отвергаем. Другими словами, выборочные средние

различаются значимо.

Второй случай. Нулевая гипотеза Но:М(Х)=

= М (У). Конкурирующая гипотеза Н1 :М (Х) > М (У).

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попада­

_ ния критерия Т в эту область в предположении спра­

ведливости нулевой гипотезы была равна принятому

уровню значнмости:

р (Т > tnpaBocT. кр) = а.

Критическую точку tправост. кр (а; k) находят по таблице.

приложения 6, по уровню значимости а, помещенному

в нижней строке таблицы, и по числу степеней свободы

k=n+m-2.

Если Тна6л < tnpaBocT. кр- нет оснований отвергнуть ну­

левую гипотезу.

Если Тнабll> tправост. кр-нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза Но:М(Х)=

= М (У). Конкурирующая гипотеза Н1: М (Х) < М (У).

В этом случае строят левостороннюю критическую

область, исходя из требования, чтобы вероятность по­

падания критерия в эту область в предположении спра­

ведливости нулевой гипотезы была равна принятому уров­

ню значимости:

р(Т < tлевост. ир) = tX.

Всилу симметрии распределения Стьюдента относи­

Если Тиабll > - tпоавост. ир-отвергнуть нулевую гипо­

тезу нет оснований.

Если ТИабll <-tправост. кр-нулевую гипотезу отвер­

гают.

§ 13. Сравнение выборочной среАней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

А. Дисперсия генеральной совокупности известна. Пусть генеральная совокупность Х распределена нор­

мально, причем генеральная средняя а хотя и неизвестна,

но имеются основания предполагать, что она равна ги­

потетическому (предполагаемому) значению ао• Например,

если Х -совокупность размеров Х/ партии деталей, изгото­

Вляемых станком-автоматом, то можно предположить, что

генеральная средняя а этих размеров равна проектному

размеру ао• Чтобы проверить это предположение, находят

выборочную среднюю х_ и устанавливают, значимо или

незначимо различаются х и ао• Если различие окажется незначимым, то станок обеспечивает в среднем проектный размер; если различие значимое, то станок требует под­

наладки.

Предположим, что дисперсия генеральной совокуп­

ности известна, например, из предшествующего опыта,

или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (по большой выборке можно получить достаточно хорошую оценку дисперсии).

308

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена Bы~opKa объема n и по ней найдена выбороч­

ная средняЯ х, причем генеральная дисперсия 0'2 известна.

Требуется по выборочиой средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Но: а = ао о ра­

венстве генеральной средней а гипотетическому значе­

нию ао•

Учитывая, что выборочная средняя является несме­ щенной оценкой генеральной средней (см. гл. XVI, § 5),

т. е_. М (Х) =а, нулевую гипотезу можно записать так:

М (Х)=ао•

Таким образом, требуется проверить, что математи­

ческое ожидание выборочной средней равно гипотети­

ческой генеральной средней. Другими словами, надо уста­ новить, значимо или незначимо различаются выборочная

игенеральная средние.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при-

u

мем случаиную величину

U = (Х-ао)/О' (Х) = (Х-ао) Vn/О',

которая распределена нормально, причем при справедли­

вости нулевой гипотезы М (и)=о, О'(и)= 1.

Поскольку здесь критическая область строится в за­

висимости от вида конкурирующей гипотезы; так же как в § 10, ограничимся формулировкой правил проверки

нулевой гипотезы, обозначив значение критерия и, вы­

с известной дисперсией 0'2 гипотетическому значению ао

при конкурирующей гипотезе Н1: а =i= ао• надо вычислить

наблюдаемое значение критерия:

U наБJl = (х-ао)V n/О'

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку

двусторонней критической области по равенству

Ф (иКР) = (l-tX)/2.

Если IU наблl < икр-нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если IUнаблl>uкр-нулевую гипотезу отвергают,

309

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н1:а > ао критическуlO точку правосторонней критической области

находят по равенству

Ф (икр) о:::: ( 1 - 2tX)/2.

Если U иаБJJ < икр-нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если UИаБJJ > икр-нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н1:а < ао

сначала находят критическую точку икр по правилу 2,

а затем полагают границу левосторонней критической

области и~p = - икр,

Если U наБJJ > -икр-нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если UНаБJJ < -икр-нулевую гипотезу отвергают.

Прнмер 1. Из нормальной генеральной совокупности с известиым

средиим квадратическим отклонеиием 0=0,36 извлечена выборка

Но:а=ао=21, при конкурирующей гипотезе Н1:а::р 21. Реш е н и е. Найдем наблюдаемое значение критерия:

UнаБJJ =(х-ао) Yn/а= (21,6-21) у'36/0,36 = 10.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а:р ао. поэтому

критическая облаc:rь - двусторонняя.

Найдем критическую точку:

Ф (икр) =(I-Gr.)/2= (1-0,05)/2=0,475.

По таблице Фуикции Лапласа находим икр = 1.96.

Но:а=21 при конкурирующей гипотезе а> 21.

Реш е н и е. Так как коикурирующая гипотеза имеет вид а> 21, критическая область - правосторонияя.

Найдем критическую точку из равенства

Ф (UKP)-(1-2cx)/2=(1-2.0.05)~2=O,45.

По таблице функции Лапласа находим икр = 1,65.

Так как инаБJJ = 10 > икр - нулевую гипотезу отвергаем; разли­

чие между выборочной и гипотетической геиеральной средней­

значимое.

Заметим, что в примере 2 нулевую гипотезу можио было отверг­

иуть сразу, поскольку она была QТвергиута в примере 1 при двусто­ ронней критической области; полное решение приведено в учебных

целях.

Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна

(например, в случае малых выборок), то в качестве кри-

310