Doc / КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

М 0 ( х0 , y0 ,z0 ) нүктесінен Ax By Cz D 0 жазықтығына дейінгі қашықтық d

формуламен есептелінеді:

A x0 B y0 C z0 D

A x0 B y0 C z0 D

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

саны нормаль кӛбейткiш деп аталады.

Түзудiң жалпы теңдеуiнiң дербес түрлерi:

Егер

A 0 болса,

онда (5.11)

теңдеуi мына түрге келедi y

Бұл OX

ӛсiне

параллель түзудiң теңдеуi;

Егер

B 0 болса, онда

түзуi OY

ӛсiне параллель;

Егер

C 0 болса,

онда

Ax By 0 теңдеуi бас нүкте O 0,0

арқылы

ӛтетiн

түзудiң теңдеуi.

Ax By C 0 түзудің жалпы теңдеуін

мына түрге келтiруге болады,

егер

B 0 ,

y kx b

(5.13)

мұндағы

, b C .

Бұл

теңдеудi бұрыштық коэффициентімен берілген

түзудiң теңдеуi

деп аталады. Мұндағы k tg

бұрыштық коэффициент, ал L

түзуi мен OX ӛсiнiң оң бағытының арасындағы бұрыш.

Егер A, B, C нӛлге тең болмаса түзудің жалпы теңдеуін мына түрде жазуға болады

(5.14)

Мұндағы

, Бұл теңдеу түзудiң кесiндiдегi теңдеуi деп аталады. Бұл

түзу OX ӛсiн a нүктесiнде, OY ӛсiн b нүктеде қиып ӛтедi.

Екi түзудi қарастырайық

A x B y C 0,

A2x B2 y C2 0.

N1 A1 , B1

, N2 A2 , B2

векторлар осы екi түзудiң сәйкес нормаль векторлары. Екi

түзудiң арасындағы бұрыш осы екi

және

N 2 векторлардың арасындағы бұрышқа

тең. Скалярлық кӛбейтiндiнiң бiрiншi анықтамасынан

cos

N1 N2

cos

осыдан

A1B1 A2B2

N 2

cos

(5.15)

Жалпы теңдеумен берілген L1 және L2

түзулерінің перпендикуляр болу шарты:

A1 A2 B1 B2 0

(5.16)

Жалпы теңдеумен берілген L1 және L2 түзулерінің параллель болу шарты:

A1	A2		(5.17)
B	B	2

1

L1 және L2 түзулер бұрыштық теңдеулер арқылы берiлсiн, яғни

y k1 x b1 y k2 x b2 ,

онда екі түзудің перпендикуляр болу шарты:

k1k2 1

(5.18)

екі түзудің параллель болу шарты:

k1 k2

(5.19)

1. M0 x0 , y0 нүктесi арқылы ӛтетін түзудің теңдеуі:

A x x0 B y y0 0

(5.20)

y y

k x x

мұндағы k

(5.21)

2. Екi M1 x1, y1 және M2 x2 , y2 нүкте арқылы ӛтетiн түзудiң теңдеуi:

x x1

y y1

(5.22)

y y

M0 x0 , y0 нүктеден түзуге дейiнгi ара қашықтық:

Ax0 By0 C

(5.23)

A2 B2

4-мысал. А(2,-3), В(-4, 3) нүктелерi арқылы ӛтетiн түзудiң теңдеуiн жазу керек.

Шешуі.

x x1

y y1

формуласын қолданады.

x y 1 0 .

5-мысал.

A 2; 3 нүктесінен

2x 3y 4 0 түзуіне дейінгі қашықтықты табу керек.

Шешуі.

Ax0

By0

A2 B 2

олай болса

					d		4 9 4						1	.
							4 9 4


									4 9			13
									4 9			13
6-мысал. Координат осьтерінде a						2		, b= 1				кесінділерін қиятын түзудің теңдеуін
6-мысал. Координат осьтерінде a								, b= 1				кесінділерін қиятын түзудің теңдеуін
						5				10
						5
жазу керек.
Шешуі: Түзудің «кесіндідегі» теңдеуін қолданамыз:
			x	y	1
	25			110	1
	25			110
Бұдан,	5	x 10 y 1 теңдеуін аламыз, немесе									5x 20y 2 0 - түзудің жалпы теңдеуі
Бұдан,	2	x 10 y 1 теңдеуін аламыз, немесе									5x 20y 2 0 - түзудің жалпы теңдеуі
	2

шығады.

7-мысал. Түзудің жалпы теңдеуі берілген: 12x 5y 65 0 . Түзудің:

1)бұрыштық коэффиценті арқылы жазылған теңдеуін;

2)«кесіндідегі» теңдеуін жазу керек.

Шешуі: 1) Жалпы теңдеуден y -ті шығарып алсақ, бұрыштық коэффиценті арқылы жазылған түзудің теңдеуін аламыз.

5y 12x 65 у 125 x 13, мұндағы k 125 , b= -13.

2) Жалпы теңдеудің бос мүшесін оң жаққа кӛшіріп, сосын теңдеудің екі жағын да 65ке бӛлеміз:

12x 5y 65 1265 x 655 y 1.

Бұл теңдеуге келесі түрлендіру жасайық:

x		y		1	немесе

65	65		5
65	65
12

- бұл түзудің «кесіндідегі» теңдеуі. Мұндағы a 1265

8-мысал. Үшбұрыш тӛбелері берілген: А(0;1), тӛбесінен түсірілген биіктік теңдеуін жазу керек. Шешуі: АВ қабырғасының теңдеуін жазайық:

x 0	y 1	4х 6( у 1)
6 0	5 1

Бұдан бұрыштық коэффициенті: k	2	2	.
	3	3

	x			y
					1
65				13	1
	12
5	5	,	b 13.
5	12	,	b 13.
	12
В(6;5), С(12;-1).						С

2х 3у 3 0.

С тӛбесінен түсірілген биіктік			АВ түзуіне перпендикуляр болғандықтан, оның
бұрыштық коэффициенті k	3		болады. Енді биіктік теңдеуін жазайық:

2
у ( 1)		3	(х 12) , немесе 3x 2y 34 0 .

2

5.4. Жазықтық теңдеуі

5.1-теорема. Кеңістікте декарттық координат жүйесінде берілген кез келген жазықтыққа бірінші дәрежелі теңдеу сәйкес келеді және керісінше бірінші дәрежелі теңдеуге кеңістікте жазықтық сәйкес келеді. Жазықтықтың жалпы теңдеуі


			: Ax Ву Cz D 0.		(5.24)
		A; В; C - жазықтықтың нормаль векторы,						.
	n	A; В; C - жазықтықтың нормаль векторы,					n	.
Бізге			М 0 ( х0 , y0 ,z0 )	нүктесі,		A; В; C
Бізге			М 0 ( х0 , y0 ,z0 )	нүктесі,	n	A; В; C

жазықтықтың нормаль векторы берілсе, онда М 0

нүктесі арқылы ӛтетін n - нормаль векторы болатын жазықтық теңдеуі мына түрде жазылады

	5.2 сурет
A( x x0 ) В( у у0 ) С( z z0 ) 0	(5.25)

Жазықтықтардың ӛз-ара орналасуы. Екі жазықтық арасындағы бұрыш. Екі жазықтық арасындағы бұрышты олардың нормальдарының арасындағы бұрыш есебінде алуға болады.

1 : A1 x В1 у С1 z D1 0, 2 : A2 x В2 у C2 z D2 0

теңдеулерімен 1 , 2 жазықтықтары берілсін.

A1 ,В1 ,C1 1 ,

жазықтығының нормаль векторы;

A2 ,В2 ,C2 2 ,

жазықтығының нормаль векторы.

Жазықтықтардың арасындағы бұрышты

деп белгілейік.

Осы бұрыштың

косинусы былай есептелінеді

cos

N1 N2

A1 A2 B1 B2 C1C2

(5.26)

B2 C 2

C 2

Егер 1 // 2

«Кесінді» тҥріндегі жазықтық теңдеуі

Жазықтықтың жалпы теңдеуі Ax By Cz D 0 берілсін. Осы теңдеуді түрлендірейік.

Ax By Cz D

Егер

деп белгілесек, онда

(5.27)

жазықтықтың “кесінді” түріндегі теңдеуін аламыз.

сәйкесінше , ,

N нормаль

векторы

O X , OY , O Z

координат

ӛстерімен

бұрыштарын жасасын, 0 нүктесінен

М нүктесіне қарайғы бағытты оң бағыт деп

алайық, р ОМ кесіндісінің ұзындығы

ОМ

болсын.

Бағыттаушы

косинустар

cos , cos , cos

белгілі деп

есептеп жазықтық

теңдеуін жазайық.

A x, y,z нүктесін алайық.

пр

OA p .

OA x; y; z ;

cos , cos , cos .

OA x cos y cos z cos .

Осыдан

OA p екенін ескеріп,

x cos y cos z cos р 0

(5.28)

жазықтықтың нормаль теңдеуін аламыз.

A2 B2 C 2

Жазықтық теңдеуін қҧруға арналған негізгі есептер

	а) М (x0 , y0 , z0 ) нүктесі арқылы ӛтетін a ax , a y , az ,		bх , bу , bz	( a мен
		b
	коллинеар емес векторлар) векторларына параллель	жазықтық		теңдеуін
b

жазыңыз.

жазықтығында

жататын

кез

келген

М( x, y,z )

нүктесін

алайық.

М 0 М x x0 , y y0 , z z0 ,

a, b -

векторлары компланар векторлар.

Олай болса

М 0 М а b 0 .

Осыдан

жазықтығының теңдеуі

x x1

y y1

z z1

a y

0 ;

(5.30)

ә) М1 ( x1 , y1 ,z1 ),

М 2 ( x2 , y2 ,z2 )

нүктелері

арқылы

ӛтетін

а ах ,ау ,аz

векторына параллель жазықтық теңдеуін жазыңыз.

x2 x1 ;

z2 z1 ,

М( x, y,z ) .

M1 M x x1 ; y y1 ; z z1 ,

M1 M 2

y2 y1 ;

M1 M ,

M1 M 2 ,

a - компланар векторлар.

Олай болса M1 M M1 M 2

a 0 . Осыдан

жазықтығының теңдеуі

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 ;

(5.31)

a y

б) М1 ( x1 , y1 ,z1 ),

М 2 ( x2 , y2 ,z2 ),

М 3 ( x3 , y3 ,z3 )

нүктелері

арқылы

ӛтетін

жазықтық теңдеуін жазыңыз. М( x, y,z ) . Мына векторларды табайық

x2 x1 ;

y2 y1 ; z2 z1 ,

M1 M x x1 ; y y1 ; z z1 ,

M1 M 2

z3 z1 .

M1 M 3 x3 x1 ; y3 y1 ;

M1 M ,

M1 M 2 ,

M1 M 3 компланар векторлар.

M1 M

M1 M 2 M1 M 3

0 .

Осыдан жазықтығының теңдеуі

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 .

(5.32)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

9-мысал. Берiлген M1 1, 1,2 , M 2 1,3,2 ,

M 3 3,1,3 нүктелерi арқылы ӛтетiн

жазықтықтың теңдеуiн жаз.

Шешуi: Iздестiрiп отырған жазықтықтың теңдеуiн табу үшiн:


x 1	y 1	z 2		x 1	y 1	z 2
1 1	3 1	2 2	0,	0	4	0	0.
3 1	1 1	3 2		2	2	1

4 x 1 y 1 0 z 2 8 0

немесе 4x 8z 12 0

x 2z 3 0.

10-мысал.

M 0 1,2,4

нүктеден

2x 2y z 11 0

жазықтыққа дейiнгi

ара

қашықтықты табу керек.

Шешуi: Ара қашықтықты табу формуласымен есептеймiз.

A 2,

B 2,

C 1,

D 11.

x0 1,

z0 4.

Олай болса

Ax0 By0 Cz0 D

2 1 2 2 1 4 11

9 3.

4 1

5.5. Кеңістіктегі тҥзу теңдеуі

L түзудiң қайсiбiр M 0 нүктеден ӛтетiндiгi

белгiлi болса және осы түзуге параллель

онда оның кеңiстiктегi

орны толық анықталады.

болатын a векторы берiлсе,

векторы осы түзудiң

бағыттауыш векторы

деп аталады.

Сонымен M 0

x0 , y0 ,

a1 , a2 , a3

векторы берiлсiн. M 0 нүктесi арқылы ӛтетiн

нүктесi

және a

a векторы

бағыттауыш вектор болатын L түзудiң теңдеуiн құру керек.

M x, y, z

нүктесi L түзудiң кез

келген

нүктесi болсын. M 0

және M нүктенiң

радиус

векторларын

, y

, z

және

r x, y, z

деп

белгiлейiк.

M 0 M x x0 , y y0 ,

z z0

векторы

түзудiң

бойында жатыр

және

ол

векторына параллель.

, r

және

M 0 M

үш

векторлардың

арасында

мынандай

байланыс бар (5.3 сурет).

5.3-сурет

(5.33)

r r0

M 0 M

векторы a

векторына параллель болғандықтан

M M t a,

мұндағы t

әртүрлi сандық мән қабылдайтын параметр. Ендi (5.33) формуланы былай

жазуға болады

r r0 ta

(5.34)

түзудiң векторлық түрiндегi теңдеуi
x x0		a1t
		a2 t	t ;
y y	0	a2 t	t ;	(5.35)
		a3t
z z0		a3t

түзудiң параметрлiк түрiндегi теңдеуi.

ax , a y ,

M0M x x0 , y y0 , z z0

және a

векторлары коллинеар болғандықтан мына қатынастарды аламыз

x x0

y y0

z z0

(5.36)

теңдiктi L түзудiң кеңiстiктегi канондық теңдеулерi деп аталады.

Ендi

L түзудiң M1 x1 , y1 , z1 және

M 2 x2 ,

y2 , z2

нүктелерi арқылы ӛтетiн теңдеуiн

табу керек. Бұл жағдайда M1M 2 x2

x1, y2 y1,

z2 z1

векторы

L түзудiң бағыттауыш

векторы болатындығы анық. Сондықтан a1 x2

x1 ,

a2 y2 y1,

a3 z2 z1. Ал L түзуi

нүктесi арқылы ӛтетiн болғандықтан формула бойынша

x x1

y y1

z z1

(5.37)

(5.37) теңдiктер екi нүкте арқылы өтетiн кеңiстiктегi түзудiң теңдеулерi деп аталады.

Бiзге П1 және

Егерде A1

П2 екi жазықтықтың жалпы түрдегi теңдеулерi берiлсiн

A1 x B1 y C1 z D1	0	(5.38)
		(5.38)
A2 x B2 y C2 z D2 0

B1 C1 болса, онда екi жазықтық бiр-бiрiне параллель болады, егерде

B2 C2

A1	B1	C1	D1	болса, онда (5.38) теңдеулер тек бiр жазықтықтың теңдеуi болады.
A2	B2	C2	D2

Бұл екi шарт орындалмаса екi жазықтық бiр түзудiң бойымен қиылысады. Сондықтан

(5.38) теңдеулер жүйесi L түзудiң кеңiстiктегi жалпы түрдегi теңдеулерi деп аталады.

11-мысал.	M 3,2,1 нүктеден ӛтетiн	2x 3y z 2 0 жазықтығына
перпендикуляр түзудiң теңдеулерiн табыңдар.

Шешуi:			Берiлген				жазықтықтың										нормаль векторы iздестiрiп отырған түзуге
бағыттауыш вектор болады. Олай болса, берiлген																									M нүктеден ӛтетiн бағыттауыш

векторы N 2, 3, 1 болатын түзудiң теңдеулерi (5.37)																										бойынша былай анықталады
													x 3						y 2					z 1	.
															2						3			1	.
															2						3			1
12-мысал.				L түзуiнiң теңдеулерi жалпы түрде берiлген
															2x y 2z 3 0
												L :					2 y z 1 0
															x		2 y z 1 0
Осы түзудiң канондық теңдеулерiн жазыңдар.
Шешуi:			Теңдеулер жүйесiнен									x			және					y белгiсiздердi						z арқылы ӛрнектеп мынаны
аламыз
5x 7 3z,				осыдан			z		5x 7						,					5y 4z 1,					осыдан					z			5 y 1				.
										3																							5 y 1
																																4
																																4
										x	7					y				1						7						1
	5x 7		5y 1		z																		z				x				y					z
											5									5
											5									5								5						5
						немесе				3								4						немесе														.
	3		4		1	немесе				3								4				1		немесе			3					4			5			.
									5								5
		13-мысал.				x 1		y 5						z			түзуімен							қиылысатын						x			y			z			түзуінің
		13-мысал.															түзуімен							қиылысатын									3						түзуінің
							3		2		1																		2				3			n

теңдеуіндегі n параметрді және түзулердің қиылысу нүктесін табу керек.

	{3; 2;1},		{2; - 3; n} мен екі түзудің
Шешуі: Екі түзудің бағыттаушы векторлары s1		s2

бойындағы берілген нүктелер арқылы ӛтетін M1M 2{1 0; 5 0; 0 0} {1; 5; 0} векторы компланар болғандықтан, келесі анықтауыш мәні 0-ге тең (компланарлық шарт бойынша):

немесе 2n 10 3 15n 0, яғни n 1.

2 - 3 n

x 1

y 5

және

түзулерінің қиылысу нүктесін

табу

үшін соңғы

теңдеуден

x пен y -ті z

арқылы ӛрнектейік:

x 2z, y 3z.

Бұл

ӛрнектерді

x 1

y 5

теңдігіне қоялық. Сонда:

2z 1

3z 5 , бұдан

z 1.

Ендеше, x 2z 2, y 3z 3. Сонымен M (2; - 3;1).

Тҥзулердiң арасындағы бҧрыш

Кеңiстiкте L1 және L2 түзулерi канондық теңдеулерi арқылы берiлсiн

x x1

y y1

z z1

және

x x2

y y2

z z2

ax , ay , az

bx , by , bz

. Екi

Бұлардың бағыттауыш векторлары сәйкес a

және b

түзудiң арасындағы бұрыш екi бағыттауыш вектордың арасындағы бұрышқа тең. Сондықтан екi вектордың скалярлық кӛбейтiндiсiнiң анықтамасынан, мына формуланы аламыз

ax bx ay by

az bz

cos

(5.39)

ax2 ay2 az3

bx2 by2 bz2

Егер екi түзу перпендикуляр болса, онда cos 0 . Сондықтан

axbx ay by az bz 0

(5.40)

Егер екi түзу параллель болса, онда екi бағыттауыш векторлар коллинеар болады. Сондықтан олардың координаттары пропорционал болады

(5.41)

14-мысал.

y 2

z 2

және

2x y z 1 0

екi

түзудiң арасындағы

2x y 3x 5 0

бұрышты табу керек.

2, 1,3 , ал екiншi түзудiң

Шешуi: Бiрiншi түзудiң бағыттауыш векторы a

бағыттауыш векторы

былай

анықталады

N2 ,

мұндағы

N1 2,1, 1 ,

2; 8; 4 .

N2 2, 1,3 . Сонымен

N 2

2i 8 j

(5.38) формулаға a1 2,

a2 1,

a3 3,

b1 2,

b2 8,

b3 4 мәндерiн қойып,

cos -ы табамыз.

cos

a1b1 a2b2 a3b3

2 2 1 8 3 4

a12

a22 a33

b12 b22 b33

4 1 9 4 64 16

5.6. Кеңістіктегі тҥзу мен жазықтықтық арасындағы байланыс

1. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Doc

#
24.03.2015173.06 Кб21Metodicheskie_ukaz_2013_1.doc
#
24.03.201570.29 Кб172Pedagogika_shpor.docx
#
24.03.2015444.3 Кб30Programmirovanie.docx
#
24.03.2015220.8 Кб39seti_zhondelgen.docx
#
24.03.20151.48 Mб21S_1199_ndet_DIPLOM.docx
#
24.03.20152.56 Mб40КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ.pdf
#
24.03.20154.35 Mб33Отчет1.docx
#
24.03.201516.49 Mб10Отчет1.pdf
#
24.03.2015222.94 Кб19перевод.docx