Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Doc / КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

x			2		3	7	3			2 3 3 1 7 1				16		2
y	1			2	1	5		1	1		2 3 1 1 5 1		1		0		0
y				2	1	5		1			2 3 1 1 5 1				0		0
	8								8			8
z	8			4	2	6		1	8		4 3 2 1 6 1	8			8		1

яғни x 2,		y 0,			z 1		жүйенің шешімі.

б) Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешіңіз.

	2х 4 у z 3

x 5 y 3z 1
	x y z 1
	x y z 1

Шешуі. Жүйенің кез келген теңдеуін таңдап аламыз. Демек, 3-ші теңдеуді таңдап алып, 1-ші теңдеуді 1 -ге кӛбейтіп 2 - ші теңдеуге қосып 2-ші теңдеуден х-ті жоямыз және 1-ші теңдеуді 2 - ге кӛбейтіп 3-ші теңдеуге қосып 2-ші теңдеуден x - ті жоямыз:

x y z 1		x y x 1
		4 y 2z 2
x 5y 3z 1
	2x 4 y z 3	2 y z 1

2 - ші теңдеуді 2 - ге бӛліп 3-ші теңдеуге қосу арқылы мына жүйені аламыз:

	x y z 1			x y z 1
			2 y z 1		2 y z 1
			2 y z 1		2 y z 1
		2 y z 1			z 1
		2 y z 1			z 1

2-ші теңдеуден	y -ті табамыз:		2y 1 1 y 0
1-ші теңдеуден	x -ті табамыз:		x 1 0 1 2			2;0; 1
					Жауабы:	2;0; 1

3-тапсырма

21-30. Сызықтық теңдеулер жүйесін а) Крамер формулаларымен; ә) Гаусс әдісімен;

б) Матрица әдісімен шешіңіз.

21.

22.

3x1 2x2 x3 52x1 3x2 x3 1

2x1 x2 3x3 11

23.

24.

x1 2x2 3x3 62x1 3x2 4x3 203x1 2x2 5x3 6

4x1 3x2 2x3 9					x1 x2 2x3 1
	2x1	5x2	3x3	4		x2	2x3	4
					2x1
		6x2	2x3	18		x2	4x3	2
5x1					4x1
25.					26.

111

2x1 x2 x3 4				3x1 4x2			2x3 8
	4x2	2x3	11			x2 3x3		1
3x1				2x1
	2x2	4x3	11		x1	5x2	x3	0
3x1

27.					28.
x1 x2 x3 1					x1 4x2 2x3			3
		3x2	6x3	2		3x1 x2	x3	5
8x1
	4x1 x2		3x3	3			6x3	7
					3x1 5x2

29.						30.
x1 5x2 3x3 1						x1 2x2 4x3 3
	2x1 4x2		x3 6					x2		2x3 2
						5x1
3x 3x		2	7x	3	13	3x x			2	x	3	10
	1						1

№ 4. Вектор. Векторды базис бойынша жіктеу


		4-мысал. d			векторын		a	, b және	c	векторлары бойынша жіктеңдер.

a	, b және c векторларының базис құрайтынын кӛрсетіңіз.
	2;	4; 7			0; 1;	2		1; 0;	1		4
d	2;	4; 7	a		0; 1;	2	b	1; 0;	1	c 1; 2;	4
Шешуі.

	Алдымен		a	,	b және	c	векторларының базис құрайтынын кӛрсетеміз.

01 2

10 1 1 4 4 1 0

			1	2 4

Енді	d	векторын базис бойынша жіктейміз. d			x a		y b	z c
2; 4;		7 x 0; 1;	2 y 1;	0; 1 z 1; 2;		4

y z 2

x 2z 4

2x y 4z

	x 2

	y 1
7		z 1

Сонымен,


								Жауабы: d	2 a	y	c
								4-тапсырма
31-40.		,		және			векторларының базис құрайтынын кӛрсетіп,
31-40.	a	,	b	және		c	векторларының базис құрайтынын кӛрсетіп,				d

векторын			a	, b	және		c	векторлары бойынша жіктеңдер.

112

31.		1;4;7		1;1;2		1;0;1		1;2;4
	d	1;4;7	a	1;1;2	b	1;0;1	c	1;2;4
32.		6;12; 1		1;3;0		2; 1;1		0; 1;2
	d	6;12; 1	a	1;3;0	b	2; 1;1	c	0; 1;2
33.		1; 4;4		2;1; 1		0;3;2		1; 1;1
	d	1; 4;4	a	2;1; 1	b	0;3;2	c	1; 1;1
34.		9;5;5		4;1;1		2;0; 3		1;2;1
	d	9;5;5	a	4;1;1	b	2;0; 3	c	1;2;1
35.		5; 5;5		2;0;1		1;3; 1		0;4;1
	d	5; 5;5	a	2;0;1	b	1;3; 1	c	0;4;1
36.		13;2;7		5;1;0		2; 1;3		1;0; 1
	d	13;2;7	a	5;1;0	b	2; 1;3	c	1;0; 1
37.		19; 1;7		0;1;1		2;0;1		3;1;0
	d	19; 1;7	a	0;1;1	b	2;0;1	c	3;1;0
38.		3; 3;4		1;0;2		0;1;1		2; 1;4
	d	3; 3;4	a	1;0;2	b	0;1;1	c	2; 1;4
39.		3;3; 1		3;1;0		1;2;1		1;0;2
	d	3;3; 1	a	3;1;0	b	1;2;1	c	1;0;2
40.		1;7;4		1;2;1		2;0;3		1;1; 1
	d	1;7;4	a	1;2;1	b	2;0;3	c	1;1; 1

№ 5. Сызықты тҥрлендіру

5-мысал. Екі сызықтық түрлендіру берілген. Матрицалық есептеулер арқылы

x ,	x ,	x айнымалыларын			x ,			x	2	, x				3	арқылы ӛрнектейтін түрлендіруді табыңдар.
1	2	3			1				2					3
			x 4x 3x				2	5x					3			x x 3x			2x
			1	1			2						3			1	1	2	3
		x		6x 7x			2	x				3			x		4x x		2x
			2	1			2					3				2		1 2	3
		x		9x x		2	8x				3				x 3x			4x	5x
			3	1		2					3					3	1	2	3

Шешуі. Берілген сызықтық түрлендіруді матрица түрінде жазамыз:

					X A X		және X B X
						X	B A X
4	3	5				1		3	2
4	3	5
				B 4				1	2
Мұндағы A 6	7	1 ,		B 4				1	2
Мұндағы A 6	7	1 ,
							4
9	1 8					3	4		5
Орындарына қоятын болсақ:
			x			1 3	2		4 3 5			x
			1										1
		x				4 1	2		6 7 1		x		2
			2										2
		x				3 4	5		9 1 8	x			3
			3										3

113

4 18 18			3 21 2			5 3 16 x1

	16 6	18	12 7 2			20		1 16		x2
	12 24	45		9 28 5		15 4 40
	12 24	45		9 28 5		15 4 40			x3
			4x1 16x2			18x3

				8x1 3x2 3x3
				33x 14x	2	51x	3
				1	2		3

Олай болса

		x 4x 16x					2	18x		3
		1		1			2			3
Жауабы:	x 8x			3x	2	3x			3
		2	1		2				3
	x 33x 14x						2	51x		3
		3		1			2			3

5-тапсырма

41-50. Екі сызықтық түрлендіру берілген. Матрицалық есептеулер арқылы x ,
																																1
айнымалыларын x1 , x2 ,															x3			арқылы ӛрнектейтін түрлендіруді табыңдар.

	41.		x x				3x						2		2x							3				x	x		2x		x
			1		1								2									3				1		1		2		3
		x		4x x										2	2x								3		x 3x x						x
			2				1							2									3			2		1	2			3
		x		3x 4x									2		5x							3				x x			x	x
			3		1								2									3				3		1	2			3
	42.		x	x		x		2		x						3										x	9x 3x				5x
			1	1				2								3										1	1		2			3
		x		x 4x										2	7x								3		x		2x		3x
			2			1								2									3			2		1		3
		x		8x x						2				x			3								x		x	x
			3		1					2							3									3	2		3
	43.		x	7x			4x						3													x x			6x
			1		1								3														1	2		3
		x		4x		2	9x							3												x 3x 7x
			2			2								3												2		1			3
		x		3x x						2															x		x	x x
			3		1					2																3	1		2		3
	44.		x	2x		2																				x	3x x
			1			2																				1			1	3
		x		2x 3x											2	2x								3	x		2x		x
			2				1								2									3		2		2	3
		x		4x x						2				5x					3						x		x		3x
			3			1				2									3							3		2		3
	45.		x 3x				x				2			5x						3						x	4x		3x		x
			1			1					2									3						1		1		2		3
		x		x 2x						2				4x					3						x		3x		x	2x
			2	1						2									3							2		1	2			3
		x		3x 2x									2		x			3							x x 2x						x
			3		1								2					3								3	1		2			3
	46.		x 4x				3x					2			2x						3					x	x	2x		x
			1		1							2									3					1	1		2			3
		x		2x x										2	x				3						x		3x		x	2x
			2				1							2					3							2		1	2			3
		x		3x x					2				x				3								x		x	2x		2x
			3		1				2								3									3	1		2			3
	47.		x	4x			3x							2	8x							3				x	x		8x		2x
			1			1								2								3				1		1		2		3
		x		6x 9x										2	x				3						x		4x 3x					2x
			2			1								2					3							2			1		2	3
		x		2x x						2				8x					3						x		3x		8x		5x
			3		1					2									3							3		1		2		3

x , x

2 3

114

48.	x x			3x					2		4x				3		x		4x	5x		3x
		1	1						2						3			1	1	2		3
	x		2x x						2		5x				3		x		x x x
		2		1					2						3			2	1	2		3
	x		3x 5x											x
		3			1								2			3	x3		7x1	4x3
49.		x	3x		5x					3								x 2x		x	5x
		1	1							3								1	1	2		3
	x		x x					2	x					3			x		7x x		4x
		2	1					2						3				2	1	2		3
	x		3x	2		6x					3						x		6x	4x		7x
		3		2							3							3	1		2	3
50.		x	x 2x						2		2x				3			x 3x		x
		1	1						2						3			1	1	2
	x		3x			2	x					3					x		x 2x		x
		2				2						3						2	1	2		3
	x		2x 3x								3						x		3x	2x
		3		1							3							3	2		3

№ 6. Меншікті векторлар және меншікті мәндер

6-мысал. A матрицасында берілген сызықты түрлендірудің меншікті мәнін және меншікті векторын табыңдар.

	0	1	0

A	3	4	0
	2	1	2
	2	1	2

Шешуі. Матрицанын сипаттамалық теңдеуін құрамыз.

	1	0
	1	0
3	4	0	0
2	1	2

Теңдеуді шешеміз:		4 2			3 2 0
		4 2			3 2 0
		2 2 4 3 0
Мұның түбірлері 1	2 2	3, 3	1	меншікті мәндері болады.
Бірінші меншікті	векторды		табамыз.				Теңдеулер жүйесіне 1 2 қоямыз,
нәтижесінде мына жүйені аламыз:
		2x1 x2			0
				2x2	0
		3x1		2x2	0
			2x1	x2	0
			2x1	x2	0
Жүйені шешіп x1 =0	болса,	x2 2x1 , x1 0, x2					0 мәндерін табамыз.
Сонда
					0
				X 1		0
				X 1		0
						0
						0

115

Екінші меншікті векторды табамыз.									Теңдеулер		жүйесіне	2	3	қоямыз,
нәтижесінде
	3x1	x2					0
	3x1 x2						0
	3x1 x2						0
2x x			2	x				3		0
	1		2					3
Жүйені шешіп анықтауышы	нӛлге				тең					жүйені аламыз. Оның			нӛлдік емес
шешуі x2 3x1 , мұндағы x1 -кез-келген сан.
Дербес жағдайда егер x1 =1 болса,
x2 3x1 , x1 1, x3 2x1 x2								x1 1, x2 3, x3 1.
Сонда
					1

	X 2					3

						1
Үшінші меншікті векторды табамыз.							Теңдеулер				жүйесіне	3	1	қоямыз,
нәтижесінде
	x1 x2						0
	3x1 3x2 0
	3x1 3x2 0
2x x				2	x				3	0
	1			2					3

Теңдеулер жүйесін шешіп, дербес жағдайда, үшінші меншікті векторды табамыз:

							1

						X 3	1

							1
											0			1			1

								Жауабы:		X 1	0	,	X 2	3	, X	3	1
											0
											0			1			1
						6-тапсырма
51-60. Сызықты түрлендірудің меншікті мәні мен меншікті векторын табыңдар.
51.	2		1		2		52.	2		1		2

	A	5	3		3			A	5	3		3
		1 0			2				1 0		2
		1 0			2				1 0		2
53.	4		5	2			54.	1		3		3

	A	5	7	3				A	2	6 13
		6	9	4					1	4
		6	9	4					1	4		8
55.	1		3	4			56.	7		12		6

	A	4	7	8				A 10		19	10
		6	7	7						24 13
		6	7	7				12		24 13

116

57.	3		11		7	58.		3	1		0

	A	0	5 4				A	4	1		0
		0	1 1					4 8		2
		0	1 1					4 8		2
59.	5		0	21		60.	5		6	3

	A	21	2	16			A	1 0		1
		1	0	1				1 2		1
		1	0	1				1 2		1

№ 7. Тҥзу және жазықтық теңдеулері. Векторларды кӛбейту. Векторлар арасындағы бҧрыш

7-мысал. A1 A2 A3 A4 пирамида тӛбелері берілген.

				А1 (3; 2;2), А2 (1; 3;1), А3 (2;0;4), А4 (6; 4;6)
Табу керек:
1.				векторларының координаталарын және модулдарын;
	A1 A2 ,	A1 A3 , A1 A4
2.		және		векторларының скаляр кӛбейтіндісін;
	A1 A2		A1 A3
3.		және		векторларының арасындағы бұрышын;
	A1 A2		A1 A3

4.A1 A2 A3 жағының ауданын;

5.A1 A2 A3 A4 пирамида кӛлемін;

6.A1 A2 түзуінің теңдеуін;

7.A1 A2 A3 жазықтығының теңдеуін;

8.A1 A4 түзуі мен A1 A2 A3 жазықтығының арасындағы бұрышын;

9.A4 тӛбесінен A1 A2 A3 жазықтығына түсірілген биіктік теңдеуін және ұзындығын.

Шешуі.

1.A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 векторларының координаталарын табамыз.

x1; y2 y1; z2

z1 1 3 ; 3 2 ; 1 2 2; 1; 1 ;

А1 А2

x3 x1; y3 y1; z3 z1 2 3 ; 0 2 ; 4 2 1;2;2 ;

А1 А3

z1 6 3 ; 4 2 ; 6 2 3; 2;4 .

А1 А4

x1; y4

y1; z4

A1 A2 , A1 A3 ,

A1 A4 векторларының ұзындықтарын табамыз.

4 1 1 6 ;

A1 A2

b 2 b 2 b 2 1 4 4 9 3;

A A

1 3

c 2

9 4 16 29 .

A A

1 4

және

векторларының скалярлық кӛбейтіндісін табамыз.

A1 A2

A1 A3

a b ax bx ay by az bz 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 .

A1 A2

және A1 A3

векторларының арасындағы бұрышты табамыз

117

																														2																	2
																						a			b					2																	2
													cos																				arccos															.
													cos																				arccos															.
																														3	6																6
																						a				b				3	6												3				6
																						a				b

4.	A1 A2 A3	жағының ауданын табамыз
				SA A A											1			ax					ay				2			ay		az		2			az				ax		2
															1			ax					ay				2			ay		az		2			az				ax		2
														2				bx					by							by		bz					bz				bx
				1						2	3			2				bx					by							by		bz					bz				bx
				1						2	3


				1						2					1		2				1						1			2		1			2				2			1								5
																																							2
																																												25 25								2
																																2 1												25 25								2
					2					1 2											2 2											2 1								2										2
5.	A1 A2 A3 A4 пирамида кӛлемін табамыз
			1			ax					ay				az					1				2						1			1					1		16 6 2 6 4 8														26
						ax					ay				az									2						1			1
		V				b b						y			b										1 2								2																						.
		V				b b									b										1 2								2																						.
		пир	6					x								z				6																6																	6
			6			cx					cy				cz					6					3 2 4											6																	6
6.	A1 A2 түзуінің теңдеуін табамыз
								x x1								y y1												z z1											x 3						y 2				z 2		.
										x																														2											.
							x		2	x						y	2		y									z	2	2										2						1				1
									2			1					2			1									2
7.	A1 A2 A3	жазықтығының теңдеуін табамыз

A1 A2 A3 жазықтығының теңдеуі:

x x1		y y1
x2	x1	y2	y1
x3	x1	y3	y1

z z1			x 3	y 2	z 2
z z1			x 3	y 2	z 2
z2	z1	0	2	1	1	0
z3	z1		1	2	2

2x 6 y 2 4z 8 z 2 4 y 8 2x 6 0

5y 5z 22 0 N 0;5; 5

A1 A4

түзуі мен A1 A2 A3 жазықтығының арасындағы бұрышты табамыз.

A A түзуінің теңдеуі:

x x1

y y1

z z1

x4 x1

y4 y1

z4 z1

x 3

y 2

z 2

3; 2;4

A1 A2 A3

жазықтығының теңдеуі:

5y 5z 22 0 N 0;5; 5 .

3; 2;4 0;5; 5

sin

S N

9 4 16

0 25 25

arcsin

A4 тӛбесінен A1 A2 A3

жазықтығына түсірілген биіктіктің

теңдеуі.

тӛбесінен түсірілген биіктік A1 A2 A3

жазықтығына перпендикуляр.

A4O x x4 ; y y4 ; z z4 x 6; y 4; z 6 .

A1 A2 A3

жазықтығының теңдеуі:

5y 5z 22 0 N 0;5; 5 .

118

Екі вектордың параллелдік белгісі бойынша биіктік теңдеуі:

x 6

y 4

z 6

A4 тӛбесінен A1 A2 A3

жазықтығына түсірілген биіктіктің ұзындығы немесе

тӛбесінен A1 A2 A3

жазықтығына дейінгі қашықтықты табамыз:

Ax4 By4 Cz4 D

5 4 5 6 22

A2 B2

5 2

Жауабы:

7-тапсырма.

61-70.

A1 A2 A3 A4

пирамида

тӛбелері

берілген.

А1 (3; 2;2), А2 (1; 3;1),

А3 (2;0;4),

А4 (6; 4;6)

Табу керек:

векторларының координаталарын және модулдарын;

A1 A2 ,

A1 A3 ,

A1 A4

және

векторларының скаляр кӛбейтіндісін;

A1 A2

A1 A3

және

векторларының арасындағы бұрышын;

A1 A2

A1 A3

4.A1 A2 A3 жағының ауданын;

5.A1 A2 A3 A4 пирамида кӛлемін;

6.A1 A2 түзуінің теңдеуін;

7.A1 A2 A3 жазықтығының теңдеуін;

8.A1 A4 түзуі мен A1 A2 A3 жазықтығының арасындағы бұрышын;

9.A4 тӛбесінен A1 A2 A3 жазықтығына түсірілген биіктік теңдеуін және ұзындығын.

61.	A1 1; 2; 1		A2 2; 2;		5	A3 3; 3; 1	A4 1; 4; 3
62.	A1 2; 1; 1		A2 3; 1;		3	A3 4; 2; 1	A4 2; 3; 1
63.	A1 1; 1; 2		A2 0; 1; 6			A3 1; 2; 2	A4 1; 3; 4
64.	A1 1; 2;1		A2 2; 2; 5			A3 3; 1; 1	A4 1; 0; 3
65.	A1 2; 1; 1		A2 1; 1; 5			A3 0; 0; 1	A4 2; 1;		3
66.	A1 1; 1; 2		A2 2; 1;		2	A3 3; 2; 2	A4 1; 3; 0
67.	A1 1; 2; 1		A2 0; 2; 5			A3 1; 3; 1	A4 1; 4;		3
68.	A1	2; 1; 1	A2	3; 1; 5		A3 4; 0; 1	A4	2; 1;3
69.	A1	1; 1; 2	A2	0; 1;	6	A3 1; 0; 2	A4	1; 1;	4
70.	A1	1; 2; 1	A2	0; 2;	5	A3 1; 1; 1	A4	1; 0;	3

119

№ 8. Декарттық және полярлық координаталар. Екінші ретті қисықтар

8-мысал. Полярлық координата жүйесінде	r	3	сызықтық теңдеу берілген.

		1 sin

1. Берілген теңдеуді декарттық координата жүйесінде ӛрнектеңдер.

2. Табылған теңдеудің түрін анықтап, сызбасын салыңдар.

Шешуі. Полярлық координата декарттық координата арқылы мына формуламен ӛрнектеледі:

			x		y
r	x2 y 2 ,	cos	x	, sin	y


			x2 y 2		x2 y 2
			x2 y 2		x2 y 2

Осы формулаларды берілген теңдеуге қойып, аламыз.

x2 y2

x2 y2 y

x2 y2 y 3,

x2 y2 3 y

( x2 y 2 )2 (3 y)2 , x2 y 2 9 6 y y 2

x2 9 6 y 6 y x2 9 y

Жауабы: Бұл парабола теңдеуі.

8-тапсырма.

71-80. Полярлық координата жүйесінде сызықтық теңдеу берілген.

1.Берілген теңдеуді декарттық координата жүйесінде ӛрнектеңдер.

2.Табылған теңдеудің түрін анықтап, сызбасын салыңдар.

71.	r	1	72.	r	1
	r	1 cos		r	1 3cos
73.	r	1	74.	r	1

		1 sin			1 sin
75.	r	3	76.	r	8
	r	1 2sin		r	3 cos
77.	r	3	78.	r	3

		1 2 cos			1 2sin
79.	r	10	80.	r	5
	r	2 cos		r	3 4sin

№ 9. Екінші ретті қисықтарды зерттеу және оның графигін салу

9-мысал. 16x2 25y 2 32x 50y 359 0 теңдеуі қандай қисықты анықтайды?

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Doc

#
24.03.2015173.06 Кб26Metodicheskie_ukaz_2013_1.doc
#
24.03.201570.29 Кб176Pedagogika_shpor.docx
#
24.03.2015444.3 Кб35Programmirovanie.docx
#
24.03.2015220.8 Кб43seti_zhondelgen.docx
#
24.03.20151.48 Mб25S_1199_ndet_DIPLOM.docx
#
24.03.20152.56 Mб48КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ.pdf
#
24.03.20154.35 Mб39Отчет1.docx
#
24.03.201516.49 Mб14Отчет1.pdf
#
24.03.2015222.94 Кб24перевод.docx

57.	3		11		7	58.		3	1		0

	A	0	5 4				A	4	1		0
		0	1 1					4 8		2
		0	1 1					4 8		2
59.	5		0	21		60.	5		6	3

	A	21	2	16			A	1 0		1
		1	0	1				1 2		1
		1	0	1				1 2		1

57.	3		11		7	58.		3	1		0

	A	0	5 4				A	4	1		0
		0	1 1					4 8		2
		0	1 1					4 8		2
59.	5		0	21		60.	5		6	3

	A	21	2	16			A	1 0		1
		1	0	1				1 2		1
		1	0	1				1 2		1

57.	3		11		7	58.		3	1		0

	A	0	5 4				A	4	1		0
		0	1 1					4 8		2
		0	1 1					4 8		2
59.	5		0	21		60.	5		6	3

	A	21	2	16			A	1 0		1
		1	0	1				1 2		1
		1	0	1				1 2		1