Doc / КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

x, y

x

y

(3.10)

Шынында да, x y 0 векторы үшін:

x y, x y 0 немесе x, x 2 x, y 2 y, y 0

Бұдан

x, y 2 x, x y, y 0

немесе

x, y

x

y

Ескерту. Егер x және y векторлары

бағытталған

кесінділер болса,

онда (3.8)

Нақты евклид кеңістігінде берілген екі x 0 ,

y 0 векторлардың арасындағы

бұрышты

x, y

Cos

(3.11)

x

y

формуламен анықтауға болады.

1 теңсіздігін ескерсек,

Егер

Cos

онда (3.11)

формуладан Коши-Буняковский

теңсіздігін аламыз.

3.3-теорема. Егер берілген

x 0 векторын кез келген нақты санға кӛбейтсек,

онда x вектордың ұзындығы

x

берілген

x

вектордың ұзындығы

x

мен

санының модулінің кӛбейтіндісіне тең:

x

x

(3.12)

l1 , l2 , ..., ln

(3.13)

li , l j

0,

i j

i

(3.14)

1,

j

Дәлелдеуі. Кез

келген

y R

векторға x, y 0 теңдеуі орындалсын делік.

Дәлелдеу керек x 0,

y x болғанда

x, x 0 . Бұдан x 0 . Теорема дәлелденді.

3.5-теорема (Пифагор). Егер x және

y

векторлары ортогонал болса: x, y 0 , онда

x y

2

x

2

y

2

Дәлелдеу. x,

y 0 болса, онда (1.4)

формуладан Cos 0 , яғни . Ендеше x , y

2

векторлары бір-біріне перпендикуляр:

x y . Олай

болса,

x

,

y

тік бұрышты

үшбұрыштың

катеттері,

x y

оның

гипотенузасы

ретінде

қарастырылады.

Норманың анықтамасы бойынша:

x y

2 x y, x y x, x 2 x, y y, y x, x y, y

x

2

y

2

Теорема дәлелденді.

3.6-теорема. Ортонормалданған l1 , l2 , ..., ln

векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.

Дәлелдеу. Берілген векторлардың сызықты тәуелсіз екенін дәлелдеу үшін

c1l1 c2l2 ... cnln 0

(3.15)

теңдеуді қарастырып,

оның

тек c1 c2 ... cn 0

болғанда

ғана

орындалатынын

дәлелдесек жеткілікті. Ол үшін (5.7) теңдеудің екі

жағында

li

векторына скаляр

кӛбейтсек, яғни:

c1l1

... cnln , li 0,

c2l2

i 1, n

Осыдан

c1 l1 , li c2 l2 , li ... cn ln , li 0, i

1, n

i -дің біртіндеп 1, 2, ..., n мәндерін қабылдағанын және l1 , l2 , ..., ln

ортонормалданған

векторлар екенін ескерсек, онда c1 c2 ... cn 0 . Теорема дәлелденді.

3.7-теорема. Егер евклид R кеңістігіндегі a1 , a2 , ..., ak , ai

0, i 1, k

сызықты тәуелсіз

векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді l1 , l2 , ..., lk

ортогоналды векторлар

жүйесі мына тӛмендегі

l1 a1 0,

li ai ai1 ... a1i 1li 1 ,

i 2, k

(3.16)

ai ,l j

aij

, i 2, k, j 1, i 1

(3.17)

li ,li

Дәлелдеуі. Теореманы индукция әдісімен дәлелдейміз. Іздеп отырған

l1 векторын

берілген a1 векторға тең деп аламыз: l1 a1

0 , ал l2 векторды

l2

a2 a21l1

(3.18)

теңдеуінен анықтаймыз, мұндағы a21 белгісіз

тұрақты коэффициент.

Егер l2

0

болса, онда a1 , a2 векторлары сызықты тәуелді,

ал бұл теореманың шартына қарама-

қайшы, себебі a1 , a2 векторлары сызықты тәуелсіз. Сондықтан l2 0 .

Белгісіз

a21

коэффициентті табу үшін (3.18) теңдікті l1

0 векторына скаляр кӛбейтеміз:

l1 , l2 , ..., ln 1 ортогонал векторларын (3.16)-ден, оның

aij , i 2, k 1,

j 1, i 1

коэффициенттерін (3.17) формуламен ӛрнектелетіндей етіп ek

векторын ізделік.

Ол ek векторды

lk

ak ak1l1

... ak k 1lk 1

(3.19)

теңдігінен анықтаймыз,

мұндағы ak j ,

j 1, k 1

белгісіз тұрақты коэффициенттер.

Егер lk 0 болса, онда

a1 , a2 , ..., ak 1 векторлары сызықты тәуелді, ал ол теореманың

шартына қарама-қайшы. Ендеше,

lk 0 .

Белгісіз

akj , j 1, k 1

тұрақты

коэффициенттерді табу

үшін, (3.19)

теңдеуді l1 , l2 , ..., lk 1

векторларына скаляр

кӛбейтіп және l1 , l2 , ..., lk ортогонал векторлар екенін ескеріп,

белгісіз

ak j ,

j 1, k 1

коэффициенттері (3.17),

i k,

j 1, k 1 формулалардан анықталатынын дәлелдейміз.

Теорема дәлелденді.

3.8-теорема. Егер евклид R

кеңістігіндегі

a1 , a2 , ..., ak , ai

0, i 1, k

ортогоналды

векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді l1 , l2 , ..., lk

ортонормалданған

векторлар жүйесін мына тӛмендегі

ai

li

,

i 1, k

(3.20)

ai

формулалармен ӛрнектеуге болады.

ai

a j

ai

, a j

li , l j

,

0

ai

a

a

a

Ал, егер i j болса, онда:

j

i

j

ai , ai

l , l

1

i

i

ai

2

Теорема дәлелденді.

Дәлелдеу. a1 , a2 , ..., an векторлар жүйесі евклид

R кеңістігінің базисі болсын делік.

Сондықтан, 5.7-теорема бойынша a1 , a2 , ..., an

векторларына сызықты тәуелді

bi , bj 0, i j

Енді 3.8-теореманы пайдаланып,

b1 , b2 , ..., bn векторларына

сызықты

тәуелді

l1 , l2 , ..., ln

ортонормалданған векторлар жүйесін құрамыз, ал ол жүйе 3.6-теорема

бойынша

сызықты тәуелсіз, яғни l1 , l2 , ..., ln евклид R кеңістігінің ортонормалды

базисі. Теорема дәлелденді.

1-мысал.

1; 1

сегментте

анықталған

дәрежесі

үштен

аспайтын

кӛпмүшеліктер кеңістігіндегі ортогонал базисті табу керек.

Шешуі. Ортогонал базисті табу үшін

f0 t 1,

f1 t t,

f2 t t 2 ,

f3 t t 3

элементтерін базис ретінде қарастыралық. Енді 1,

t, t 2 , t 3 элементтеріне

сызықты

тәуелді g0 t ,

g1 t , g2 t ,

g3 t ортогонал базисті (3.16) формула бойынша:

g0 t f0 t 1, g1 t f1 t a10 g0 t

мұндағы

f1 , g0

f1 , g0

0

a

10

g0

, g0

2

Сонымен,

g1 t f1

t t

n

n

n

x1 y1 l1

, l1 x2 y1 l2 , l1

... xn y1 ln , l1

xi yi

xi li

x, y

y j l j

i 1

i 1

j 1

x1 y2

l1 , l2 x2 y2

l2

, l2 ... xn y2 ln , l

2 ... x1 yn l1 ,

ln

x2 yn

l2 , ln ... xn yn ln , ln

li , l j

0,

i j

j

(3.22)

1,

i

Жеткіліктілігі. Евклид Rn кеңістігінің

l1 , l2 , ..., ln базисі ортонормалданған

n

x, y x1

l1 ... xn ln , y1

l1 ... yn ln

xi y j li l j

i, j 1

n

n

n

n

xi y1 li

, l1 xi y2 li , l2

... xi yn li , ln x1 y1 ... xn yn xi yi

i 1

i 1

i 1

i 1

Теорема дәлелденді.

3.11-теорема. Евклид Rn кеңістігіндегі l1 , l2 , ...,

ln

базисі ортонормалданған базисте

x x1 ,..., xn Rn

вектордың координаттары x1 ,

x2 ,..., xn :

x, li ,

xi

i 1, n

(3.23)

формуламен ӛрнектеледі.

Дәлелдеу. Берілген x Rn , векторды l1 , l2 , ...,

ln

базис бойынша жіктейік:

x x1

l1

x2l2 ... xnln

Осы жіктеудің екі жағында li векторына скаляр кӛбейтсек және l1 , l2 , ...,

ln

ортонормалданған жүйесі екенін ескерсек, онда

x,li x1 l1 , li x2 l2 ,

li ... xn ln , li xi

Теорема дәлелденді.

f1 ,

..., f n

Егер Rn кеңістігінің кез келген базисі

f 2 ,

берілген болса, онда

k 1

e1 f1 ,

ek

f k

ci k 1 ei , k 2, 3,..., n ,

(3.24)

i 1

мұндағы

k 1

f k , ei

(3.25)

ci

ei

, ei

2-мысал.

1, 2, 2 ,

1, 0, 1 ,

5, 3, 7 берілген болса,

f1

f 2

f3

Шешуі.

1, 2,

2 делік,

векторын

түрінде іздейміз.

e

f

1

e

2

e

2

f

2

с 1 e

1

1

1

1, 0, 1 1, 2, 2

1

f 2 , e1

3

1

c1

1, 2, 2 1,

2, 2

e1 , e1

9

3

1, 0, 1

1

1, 2, 2

2

2

1

Демек,

e2

,

,

.

3

3

3

3

Енді

векторын

c

сызықты комбинация түрінде

e

3

e

3

f

3

c 2 e

2 e

2

1

1

2

іздейміз.