Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Doc / КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Вектордың ұзындығы (модулі) оның
сандық			проекцияларының
квадраттарының				қосындысының
квадрат			түбіріне	тең.		(4.9)
формуламен			A x1 , y1 , z1			және
B x2 , y2 , z2			екі	нүктенің		ара
қашықтығын табуға				болады.	Себебі

бұл	ара	қашықтық		а (ax	, ay , az )
		(bx ,by ,bz )
және	b			векторлардың
ұштарының			ара қашықтығына			тең.

Сонымен 2.7-суреттен								2.7-сурет
Сонымен 2.7-суреттен

				(x2 x1)	2	(y2 y1)	2	2
					2		2	2
	AB	b	a					(z2 z1)	.

(2.12) формуладан мынандай тұжырым шығады:

(2.13)


a	ax i			ay j	az k (npx a)i (npy a) j						(npz a)k
(								(
(		a	cos )i (			a	cos ) j	(	a	cos )k .

(2.15)

(2.16)

Мұндағы ,	және	- бұрыштары		векторымен координат ӛстерінің арасындағы
			a

, ay

cos , az

cos .

сәйкес бұрыштары. (2.16) формуладан ax

cos

ax 2 ay 2 az 2

(2.17)

cos

ax 2 ay 2 az 2

cos

ax 2 ay 2 az 2

Бұл cos , cos

cos -

және

лар

векторының бағыттауыш косинустары деп

аталады және

cos2 cos2 cos2 1.

(cos , cos , cos ).

Егер a 0 векторы

a вектордың бірлік векторы болса, онда a0

1-мысал.

3 :

3; 4 векторының модулін және бағыттауыш косинустарын табу

керек.

cos

Шешуі.

9 16

34 ;

; cos

;

Векторлардың коллинеарлық және ортогоналдық болу шарттары

		(bx ,by ,bz ) векторлары коллинеарлы болса, онда оларды
Егер а	(ax , ay , az ) және b	(bx ,by ,bz ) векторлары коллинеарлы болса, онда оларды


былай жазуға болады a b, мұндағы R.
Олай болса

a \|\| b	a	b (ax , ay , az ) (bx , by , bz ) (ax , ay , az ) ( bx , by , bz ),
онда ax bx ,		ay by ,	az bz , яғни

a	x	ay	a	z	(2.18)
bx		by	bz

(2.18) формуланы векторлардың коллинеарлы болу шарттары деп атайды.

Егер (2.18) формуланың бӛлімдерінің біреуі немесе екеуі нӛл болса, онда оны нӛлге бӛлу деп түсінуге болмайды, олай жазылу векторлардың коллинеарлы болуының символикалық жазылуы деп түсіну керек.

(4,8,12) векторлары

коллинеар, себебі олардың

2-мысал. a (1,2,3) және

координаттары (2.18) шарттарды қанағаттандырады.

олай болса

a || b.

(bx ,by ,bz ) перпендикуляр векторлар

Егер а (ax , ay , az )

және

болса, онда

олардың скалярлық кӛбейтіндісі нӛлге тең, яғни

b 0. Осыдан

ax bx ay by az bz

(2.19)

(2.19) формуланы векторлардың перпендикуляр болу шарты деп атайды.

Екі векторлардың

скалярлық

кӛбейтіндісінен,

екі

векторлардың

арасындағы

бұрышты анықтауға болады. Скалярлық кӛбейтіндінің бірінші анықтамасынан

			cos cos

a,b	a	b

axbx ay by az bz

(a,b)

cos

(2.20)

ax 2

ay 2 az 2

bx 2 by 2

bz 2


3-мысал.	a	i	2 j	3k ,	b	4i j		4k	вексорлары берілген. λ - ның	қандай
мәнінде вексорлар перпендиктляр болады?
Шешті: (2.19)			формуланы пайдаланып
					ax bx ay by az bz 0
		және					векторларының скаляр кӛбейтіндісін			нӛлге
а ( , 2, 3)		және		b (4, , 4)			векторларының скаляр кӛбейтіндісін			нӛлге
теңестіріп	λ - ның мәнін сабамыз:
					4 2 12 0,				2
a	b 4 2 12 ,				4 2 12 0,				2

2.5. Векторлардың векторлық кӛбейтіндісі


		2.18-анықтама.				және		векторларының векторлық кӛбейтіндісі деп
		2.18-анықтама.			а	және	b	векторларының векторлық кӛбейтіндісі деп
				белгіленетін және келесі шарттармен анықталатын векторды айтады:
с	а	b	а,b

а)

sin ,

(a^ b);

ә)

b векторлардың әрқайсысына перпендикуляр;

а,b векторы a,

б)

векторы ОХ ,ОУ ӛстері ОZ ӛсіне қарағанда қалай бағытталса a, b

векторларына қарағанда солай бағытталған, яғни а,

с -оң үштік құрайды.

Векторлық кӛбейтіндінің қасиеттері:

а)

sin , (a^ b) ;

ә)

а // b,

а 0 ;

б) векторлық кӛбейту қарсы коммутативті: b, а а,b ;

в) терімділік заңы:

;

( а) b

а ( b)

(а

г) үлестірімділік заңы: (а b) с

с b

с ,

(а

b) с а

b .

Координаттары берілген векторлардың векторлық кӛбейтіндісі

Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінің i ,

j , k

базистік бірлік

векторлары оң үштік құрсын. Онда векторлардың векторлық кӛбейтіндісінің

анықтамасы бойынша

k , j

i , k

i k , k j i ,

(2.21)

j, i i

k k

Бізге

ax , ay

, az

ax i

ay j

az k және b

bx ,by ,bz bx i by j

bz k

векторлары берілсін.

Онда

формуланы пайдаланып және векторлық кӛбейтіндінің

қасиеттерінен мына ӛрнекті аламыз:

ax i

j az k bx i

by j

bz k axbx i

ay by j j

az bz k k axby i

axbz i

k ay bx j i

ay1bz j

az bx k

ay bz

bx az

axby

ay bx k

az1by k j

by az i

axbz j

(2.22)

k .

(2.22) формуласын үшінші ретті анықтауыш түрінде де жазуға болады:

a y

(2.23)

Векторлық кӛбейтіндінің анықтамасы бойынша

және

b векторларына құрылған

параллелограммның ауданы

a b

(2.24)

формуласымен анықталады.

1-салдар. Ортақ бір нүктеге үйлестірілген коллинеар

емес

мен

векторларынан құралған параллелограмм және үшбұрыш аудандары

а у аz

ax az

ax ay

ау

аz

ax az

ax ay

bу

bх bу

;

a b

bу bz

bх bу

bх

bх bz

формуласымен табылады.

2-салдар. Егер

немесе

векторлары коллинеар болады.

теңдігі орындалса, онда а мен b

4-мысал.

3; 4;

және

1; 5; 1 векторларының векторлық кӛбейтіндісін табу

керек.

Шешуі:

[

] =

4 2

3 2

3 4

а, b

={-14, -1, 19}.

5-мысал. A1 (3,2, 1),

A2 ( 1,0,2, ),

тӛбелері

берілген үшбұрыштың

A3 (1,2,5)

ауданын табу керек.

Шешуі: Алдымен

A A

мен

A A

векторларынан тұрғызылған параллелограммның

ауданын табамыз. Параллелограммның ауданы векторлық кӛбейтіндінің анықтамасы

бойынша	A A		және	A A		векторлардың векторлық кӛбейтіндісiнің модуліне тең,
	1	2		1	3

яғни

S A1 A2 A1 A3 .

мұндағы A1 A2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1

A1 A3 x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 .

Ал A1 A2 A3 үшбұрыштың ауданы мына формула бойынша анықталады

											S			1	S.
											S				S.
													2
													2
Сонымен A1A2 4, 2,3 ,							A1A3	2,0,6


							i		j		k
	1				1 mod		4	2								24

S			a b								3	1 mod 12i						6 j	4 i
	2					2							2
	2					2	2		0		6		2
							2		0		6


											12		2 182 4			2	1
	1 mod 12i					18j 4k			1		12		2 182 4			2	1	144 324 16
	2								2								2
1				1 22 11.						11			кв.бiрлiк .
1		484		1 22 11.				S		11			кв.бiрлiк .
	2			2
	2			2

2.6. Ҥш вектордың аралас кӛбейтіндісі

R3 кеңістігіндегі әрбір компланарлы емес бастары бір нүктеге орналасқан кез келген үш вектор параллелепипедті анықтайды. (2.8-сурет).

2.8-сурет Осы үш векторлар параллелепипедтің қырларын құрайды. Параллелепипедтті оң

(теріс) бағытталған дейді, егерде а,b , с векторлары оң (сол) үштік құрайтын болса.

2.19-анықтама.

Кез келген

векторлары

берілсін.

Егер

векторын

а,b , с

векторына скаляр

векторына векторлық кӛбейтіп, содан кейін а

b векторын

векторларының

аралас кӛбейтіндісі

деп

аталатын

кӛбейтсек нәтижесінде а,b , с

b, c саны шығады.

Үш вектордың

аралас

кӛбейтіндісін

b, c ,

а, b

, c

немесе

а, b, c

символдарымен белгілейміз.

2.1-теорема. Компланар емес

векторларының аралас кӛбейтіндісінің

а,b , с

модулі осы векторлар арқылы тұрғызылған параллелепипед кӛлеміне тең болады, егер векторлар оң үштік құраса бұл кӛбейтінді “оң”, ал теріс үштік құраса «теріс» болады.

а, b , с - оң үштік құрайды.

2.2-теорема. Егер


a	ax i	ay j	az k	,

онда аралас кӛбейтіндісі

V				,	(2.25)

	a	b	c

bx i

by j

bz k ,

cx i cy

cz k

a y

a, b, c

a, b

(2.26)

формуласымен есептелінеді.


1-салдар. Бір нүктеге үйлестірілген компланар емес а,b , с векторларының
аралас кӛбейтіндісінің модулінің	1	бӛлігі			осы		векторлар		арқылы тұрғызылған
	6
пирамида кӛлеміне тең болады.
2-салдар. Ӛз координаталарымен берілген								векторлары компланар болуы
2-салдар. Ӛз координаталарымен берілген						а, b, с		векторлары компланар болуы
үшін мына теңдіктің
			ax	a y		az
			ax	a y		az
			bx	by		bz	0		(2.27)
			cx	cy		cz

орындалуы қажетті әрі жеткілікті.

Векторлардың аралас кӛбейтіндісінің қасиеттері

1. Кӛршілес екі вектордың орнын алмастырсақ, оның таңбасы ӛзгереді:

abc bac

acb

2. Векторлардың орнын толық алмастырсақ, онда таңба ӛзгермейді:

a,b, c

c, a,b

b, c, a

3. a

c, d, g

a, d , g

b, d, g

c, d , g

4. a,b, c

a,b, c

5. Егер

0 .

a, b, c компланар болса, онда

a, b, c

6-мысал.

2, 4, 6

векторларын

a 1, 3,1 ,

b 2, 4, 1 ,

компланарлыққа тексеру керек. Шешуі.

a, b, c

16 0.

Демек,

a, b,

c векторлары компланарлы емес.

Координаттары берілген векторлардың аралас кӛбейтінділері

Тік бұрышты декарт координат жүйесінің

i , j , k базистік бірлік векторлары оң үштік

құрсын. Онда векторлардың векторлық кӛбейтіндісінің анықтамасы бойынша

Бізге

ах i

ay j

az k , b

bх i bу

j bz k ,

c cx ,cy

, cz cx i cy

cz k

векторлары берілсін. Онда аралас кӛбейтіндінің анықтамасы бойынша (2.26) формуланы пайдаланып мына ӛрнекті аламыз:

(2.28)

b), c cx

және

векторларынан

құрылған

бағытталған параллелепипедтің кӛлемі,

a, b

аралас кӛбейтіндінің анықтамасы бойынша былай анықталады:

(2.29)

формуладағы анықтауыштың бірінші жолы

векторының, екінші жолы b

векторының ал үшінші жолы

с векторының координаттары.

7-мысал.

1,3,1 ,

2, 4, 6

2, 4, 1 , c

вексорлары берілген.

Оры вексорлардың компланарлы екендігін анықсаңдар, егер компланарлы болмара, онда қандай үшсік құрайсынын анықсап, рол вексорлар арқылы құрылған параллелепипедсің көлемін анықса.

Шешті:

	1	3	1
	2	4	1	78 = -78,
abc	2	4	1	78 = -78,
	2	4	6

аралар көбейсіндінің нәсижерінен вексорлардың компланарлы емер екендігі белгілі болды. Олар рол үшсік құрайды, V 78.

8-мысал. Тӛбелері
	A 1,2,3 ,	A	0, 1,1 ,	A 2,5,2 және		A 3,0, 2
	1	2		3		4
болатын пирамиданың кӛлемін табу керек.

Шешуі.	Алдымен	A1 A2 , A1 A3		және	A1 A4	векторларын тұрғызылған

параллелепипедтің кӛлемін аралас кӛбейтінің анықтамасы бойынша мына формуламен табамыз:

											ax	ay	az

					Vпар mod a,b, c mod						bx	by	bz		.
											cx	cy	cz
Ал үшбұрышты пирамиданың кӛлемі:
							V		1 V .
							пир		6	пар
							пир			пар
Алдымен		A A ,		A A		және	A A		векторлардың					координаттарын табамыз.
		1	2	1	2		1	4
Сонымен
			A A 1, 3, 2 ,				A A 1,3, 1 ,					A A 2, 2, 5 .
			1	2			1	3				1	4
		1	3	2
		1	3	2
V 1 mod		1	3		1	1 mod 15 4 6 12 15 2 1 mod 24 1 24 4.
пир	6					6							6	6
	6	2	2		5	6							6	6
		2	2		5
						Vпир 4			(куб бір).

3.ЕВКЛИД КЕҢІСТІГІ

3.1.Нақты евклид кеңістігінің анықтамасы және оның қасиеттері

3.1-анықтама. Нақты сызықты векторлық R кеңістіктің кез келген екі x, y R элементіне (векторына) скаляр кӛбейтінді деп аталатын x, y нақты саны сәйкес келсе

және оған мына тӛмендегі аксиомалар орындалса:
1. x,	y y, x
	2. x,	y x,	y ,	- нақты сан,

3.x y, z x, z y, z

4.x, x 0, егер x 0, x, x 0, егер x 0

онда бұл кеңістікті нақты евклид кеңістігі деп атайды.

Евклид кеңістігі кез келген шекті ӛлшемді немесе шексіз ӛлшемді болып бӛлінеді.

Скаляр кӛбейтіндінің 1) – 3) аксиомаларын пайдаланып, оның мына тӛмендегі қасиеттерін дәлелдейік:

1.x, y x, y

2.x, y z x, y x, z

3.1 x1 2 x2 ... k xk , y 1 x1 , y ... k xk , z

4.x, 1 y1 ... k 1 x, y ... k x, yyk

Шынында да,

1. x, y y, x y, x x, y

2. x, y z y z, x y, x z, x x, y x, z

3. 1 x1	2 x2 ... k xk ,			y 1 x1 , y 2 x2 , y ... k xk , y
1	x1 , y ... k xk , y
4. x, 1 y1		... k	yk 1		y1 ... k yk ,		x 1 y1 , x ... k yk ,	x
1 x, y1		... k	x, yk
2. Нақты n сандар x1 , x2 , ...,					xn	жиынын x	вектордың координаттары деп
қарастыралық: x x1 , x2				, ...,	xn	.
x x1 ,	x2 , ..., xn пен y			y1 , y2 , ..., yn векторларды қосу, оларды нақты санға
кӛбейту			x y x1 y1 ,..., xn yn , x x1 , ..., xn
			x y x1 y1 ,..., xn yn , x x1 , ..., xn
формулаларымен анықтайық, ал олардың скаляр кӛбейтіндісін
							n
						x, y xi yi		(3.1)

i 1

формулаларымен ӛрнектейік. Бұл формуламен ӛрнектелген скаляр кӛбейтіндіге анықтамадағы тӛрт аксиома түгелімен орындалады. Олай болса, бұл векторлар жиыны n ӛлшемді Евклид кеңістік.

3.2. Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері

Евклид R кеңістігінің анықтамасындағы 4-аксиома бойынша кез келген x 0 элементтің (вектордың) скаляр x, x кӛбейтіндісі нақты оң сан. Сондықтан, бұл скаляр x, x кӛбейтіндіден квадрат түбір былай табылады:

					x, x		(3.2)
3.2-анықтама. Евклид	R		кеңістігінің		x 0 элементіне		сәйкес келетін x, x
скаляр кӛбейтіндінің квадрат		түбірін x, x				оның нормасы	(немесе ұзындығы,
модулі) деп атаймыз және оны		x	символымен белгілеп, мына
модулі) деп атаймыз және оны		x	символымен белгілеп, мына
				x		x, x	(3.3)
				x		x, x	(3.3)

формуламен ӛрнектейміз.

Ұзындығы бірге тең вектор нормаланған вектор деп аталады.

3.1-теорема. Евклид R кеңістігінің кез келген x, y R элементіне Коши-Буняковский

	x, y 2		x, x y, y		(3.4)
немесе
	x, y		x	y
	x, y		x	y
теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеуі. Егер нақты сан болса,		онда x y векторы үшін
	x y, x y 0				(3.5)
теңсіздігі орындалады. Бұдан
2 x, x 2 x, y y, y 0					(3.6)