Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Doc / КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

an x1 a1n
		x1	a2n
a	21



a	n1	x	a	nn
		1

xn b1 xn b2

xn bn

a11 a12 a1n				x1			b1

a21 a22 a2n				x2			b2
А		,	X		,	В


	an1 an2 ann
	an1 an2 ann			xn			bn

мұндағы А - жүйе матрицасы, ( А ) 0 , Х -белгісіз, n 1 ӛлшемді матрица,

В - бос мүше, n 1 ӛлшемді матрица.

Матрицаларға қолданылатын амалдарға сүйене отырып А мен Х матрицалардың кӛбейтіндісі (бұл кӛбейтінді анықталған – бар) мына матрицаға тең деп аламыз. Сонда

	а11		x1 a12 x2 a1n xn

	a21		x1 a22 x2 a2n xn
	А Х




	an1		x1 an2 x2 ann xn

А Х пен В матрицаларының теңдігінен мына теңдеуді аламыз.

А Х В .

(1.24)

Бұл теңдеу берілген жүйенің матрица түріндегі теңдеуі деп аталады.

Берілген жүйенің матрицасы ерекше емес ( ( А ) 0 ) матрица, олай болса оның кері матрицасы бар.

Енді (1.24) теңдеуінің шешімін табу үшін осы теңдеуді солдан оңға қарай А

матрицасының кері матрицасына кӛбейтейік							А 1 А Х А 1 В , мұндағы				А 1 А Е
және Е Х Х . Олай болса
						Х А 1 В					(1.26)
болады, мұндағы А 1 В - кӛбейтіндісі бар.
								x 3y z 4
12-мысал. Жүйені матрица әдісімен шешу керек. 2x y 5z 15.

							5x y 4z 19
Шешуі.
1 3		1		4			x

A	2 1	5	, B		15	,	X y	.	A 105.
	5 1	4			19
	5 1	4			19		z
Кері A 1 матрицаны табамыз.:
A11 1, A12 33, A13 7,		A21	13,		A22	9,	A23 14,		A31 16,	A32 3, A33 7.

		1	13	16
A 1	1	33
			9	3	,
			9	3	,
	105
	105	7	14	7
		7	14	7

			1 4 13( 15) 16 19		105		1
A 1B	1		33 4 9( 15) 3 19	1		210
							2 .
							2 .
	105			105
	105		7 4 14( 15) 7 19	105		315	3
			7 4 14( 15) 7 19			315	3
x 1; y 2;		z 3.

1.3.5. Біртекті теңдеулер жҥйесі

n белгісізі бар біртекті т теңдеулер жүйесі берілсін.

a11 x1 a12 x2 a1n xn 0

a2n

a21 x1 a22

(1.27)

ò 1

x a

ò 2

òn

немесе À Õ 0,

0 (0,0 ,0) .

(1.27) жүйе үшін rang A rang A , Кронекер – Капелли теоремасы бойынша

берілген біртекті жүйе әрқашанда үйлесімді және оның әрқашанда нӛлдік шешімі бар: х1 0,x2 0, ,xn 0 , ал бізге жүйенің нӛлдік шешімінен ӛзге шешімдерін табу керек.

Енді (1.27) жүйенің рангісі r - ге тең болсын деп ұйғарайық: rang A r . A матрицасының алғашқы r жатық жолы сызықты тәуелсіз болады.

1.6-теорема. (1.27) біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нӛлден ӛзге шешімдері бар болуы үшін r n теңсіздігінің орындалуы қажетті әрі жеткілікті.

1.7-теорема.	n	белгісізі	бар	т n		біртекті		сызықты	теңдеулер	жүйесінің
нӛлден ӛзге шешімдері		бар болуы		үшін		жүйенің		анықтауышы нӛлге		тең болуы
( ( А) 0) қажетті әрі жеткілікті.
(1.27) жүйенің	x1, x2 , ,		xr ,	cr 1,	cn		шексіз кӛп		шешімдері болады,

мұндағы ci xi , i r 1, n - кез келген сандар.

1.24-анықтама. Біртекті сызықты (1.27) теңдеулер жүйесінің кез келген n r сызықты тәуелсіз шешімі осы жүйенің іргелі шешімі деп аталады, мұндағы n - жүйенің белгісіздер саны, r саны А - матрицаның рангісі rang A r .

1.25-анықтама. Егер rang A r n (1.27) жүйенің кез келген Х шешімінде n r тұрақты сан болса, онда ол шешім осы жүйенің жалпы шешімі деп аталады.

13-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешу керек.

x y z 0x 2 y 2z 02x 3y 4z 0

Шешуі: A матрицасының жол элементтерін түрлендіреміз:


	1	1	1		1	1	1		1	1	1

A	1	2	2	~	0	1	1	~	0	1	1
	2	3	4		0	1	2		0	0
	2	3	4		0	1	2		0	0	1

r A 3 саны белгісіздер санына тең болғандықтан жүйенің жалғыз шешімі бар, ол әрине мардымсыз шешім: x1 x2 x3 0

14-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешу керек.

x y z 0x 2 y 2z 02x 3y 3z 0

Шешуі: A матрицасының жол элементтерін түрлендіреміз:

	1	1	1		1	1	1		1	1	1
													1 1 1
A
	1	2	2	~	0	1	1	~	0	1	1	~
													0 1 1
	2	3	3		0	1			0	0	0
							1

r A 2 3

саны белгісіздер санынан кіші болғандықтан жүйенің бір параметрге тәуелді ақырсыз кӛп шешімі бар.

Мұнда, мысалы, x пен y базистік айнымалы бола алады. Теңдеулер жүйесін құрып, оны шешеміз:

x y z 0

y z 0

z c

x y c 0y c 0

x 0

y c с – кез келген сан.

z c

2. ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА

2.1. Вектор ҧғымы

Ӛзiнiң сандық мәнiмен толық анықталатын шамаларды скалярлық шамалар деп атайды. Скалярлық шамаларға мысалдар: аудан, ұзындық, кӛлем, масса, жұмыс, температура.

b AB

Векторлық шамалар ӛздерiнiң сандық мәндерiмен және бағыттарымен анықталады. Векторлық шамаларға мысалдар: күш, жылдамдық, үдеу.

2.1-анықтама. Вектор деп бас нүктесi A -да соңғы нүктесi B -да жататын

бағытталған AB кесiндiсiн айтады.

Берілген вектор үлкен екі латын әріпімен немесе кіші бір латын әріптерімен

белгіленеді. Мысалы,		АВ - вектор, А нүктесі осы вектордың бастапқы нүктесі, ал
В - соңғы нүктесі, вектордың бағыты А нүктеден В нүктеге бағытталған.
	В	Берілген АВ векторының ұзындығы:
А			АВ	немесе		деп белгіленеді.

	а				а

2.1-урет
2.2-анықтама. Коллинеар, бағыттас және модульдері бірдей векторларды тең
		.
векторлар дейді a	b	.
2.3-анықтама.
2.3-анықтама.		а векторына параллель, модулі тең, бірақ бағыты қарама-қарсы
вектор қарама-қарсы бағытталған вектор деп аталады.				және BA	векторы (бас
вектор қарама-қарсы бағытталған вектор деп аталады.			а	және BA	векторы (бас

нүктесi B -да, ал соңғы нүктесi A -да) AB векторға қарама-қарсы вектор деп аталады.


a	векторына қарама-қарсы вектор a деп белгiленедi.

AB вектордың ұзындығы немесе модулi деп кесiндiнiң ұзындығын айтады да оны AB деп белгiлейдi. Ұзындығы нӛлге тең векторды нөлдiк вектор деп атайды да 0

деп белгiлейдi..

Ұзындығы бiрге тең векторды бiрлiк вектор немесе орто деп атайды.							вектордың
						a	вектордың

		0	a
бiрлiк векторының бағыты осы вектормен бағыттас, оны	a	0		e	деп белгiлейдi.
бiрлiк векторының бағыты осы вектормен бағыттас, оны	a			e	деп белгiлейдi.
			a

2.4-анықтама. Егер векторлар бір түзудің бойында немесе параллель

түзулердің бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп аталады,

онда оларды a || b деп жазады.

а -қарама-қарсы векторлар.

2.5-анықтама. Параллель жазықтықтардың немесе бір жазықтықтың бойында жатқан кеңiстiктегi үш векторларды компланар векторлар дейді.

Вектордың бас нүктесiн кеңiстiктiң кез келген нүктесiне параллель жылжытып алып келуге болады.

2.2. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Векторларды қосу, азайту және векторларды	санға		кӛбейтудi векторларға
қолданылатын сызықтық амалдар дейдi. Кеңiстiкте		және
	a		b кез келген екi вектор

		OA векторын тұрғызамыз. A
берiлсiн. Кез келген	O нүктесiн алып a	OA векторын тұрғызамыз. A	нүктесiнен

векторын тұрғызамыз.


2.6-анықтама. a	және b	векторлардың қосындысы деп a	вектордың басы мен b


вектордың соңғы нүктесiн қосатын OB a		b векторын айтады

Келесi суретте үш a, b	және c векторлардың қосындысы келтiрiлген.

2.2-сурет

					векторлардың
2.7-анықтама. Екi a және		b	векторлардың айырымы деп a	және b	векторлардың

қосындысы болатын c	a	b векторын айтады (2.3-сурет).

а	а	с=а-b
b		b

2.3-сурет

Атап ӛтетiн жағдай,

диагоналы, a және сурет).


a	және b векторларынан тұрғызылған параллелограммның бiр

b	векторлардың қосындысы, ал екiншiсi айырымы болады (2.4-

					а+b
		а		а	а+b
		а		а
					а-b
					а-b
			b		b
				2.4-сурет
				санға көбейтiндiсi деп ұзындығы
2.8-анықтама. a вектордың нақты				санға көбейтiндiсi деп ұзындығы		a
				0 болса,
тең, a векторына коллинеарлы, егер				0 болса,	онда a векторына бағыттас, егер

	0 онда a векторына қарама-қарсы бағыттас b				a векторын айтады.

Векторларға қолданылатын сызықтық амалдардың қасиеттері:

1)Векторларды қосу коммутативті

ab b a ,

2)Векторларды қосу ассоциативті

(a b) c a (b c) ,

a, b

a, b , c

3)				,
3)	a	0	a	,	a
4)
4)	a	( a) 0 ,			a

5)Векторларды санға кӛбейту ассоциативтi

		,		,	, R
( a) ( )a			a


6)	1 a	a ,	a

7)Векторды санға кӛбейту сандарды қосуға қарағанда дистрибутивті

					, R
( )a	a	a ,	a	,	, R

8)Векторларды санға кӛбейту векторларды қосуға қарағанда дистрибутивті

					R
(a	b) a		b ,	a, b,	R

Осы сегіз қасиетті қанағаттандыратын векторлар жиын кеңістігі, сызықты немесе векторлық кеңістік деп аталады. Бұл кеңістікті R3 деп белгілейді.

2.3. Векторлардың сызықты тәуелділігі

2.9-анықтама. Берілген						векторларының сызықты комбинациясы
2.9-анықтама. Берілген			а1	, а2	,..., аm	векторларының сызықты комбинациясы
деп

		1a1	2a2 ... mam
ӛрнегін айтады, мұндағы 1 , 2 ,..., m - кез келген нақты сандар.

Егер а векторы	a1, a2 ,..., an			векторларының сызықты комбинациясы				болса,
яғни

		b	1a1 2a2				... nan	(2.1)

теңдігі орындалса,	онда	b векторы			a1, a2 ,..., an		векторлары арқылы сызықты
ӛрнектеледі дейміз.

2.10-анықтама. Берілген a1 , a2 ,..., am						векторлары үшін кемінде біреуі нӛлге тең

емес 1 , 2 ,..., m сандары табылып, олардың сызықты комбинациясы нӛлге тең болса,

онда бұл векторлар сызықты тәуелді деп, қарсы жағдайда сызықты тәуелсіз деп аталады.

2.11-анықтама.

Егер

векторы

векторларының сызықты

а1

, а2 ,..., аm

комбинациясы арқылы ӛрнектелсе, онда b

векторы

а1 ,

а2

,..., аm векторлары арқылы

жіктелінеді дейді.

Егер

векторларының бірі қалған векторлар арқылы жіктелсе, онда

а1

, а2

,..., аm

векторлары сызықты тәуелді векторлар деп аталады.

а1

, а2

,..., аm

2.12-анықтама. Түзу бойындағы базис деп осы түзу бойындағы кез келген нӛл емес векторды айтады.

2.13-анықтама. Жазықтықтағы базис деп осы жазықтықтың кез келген коллинеар емес екі векторын айтады.

Жазықтықтағы кез келген с векторы үшін мен нақты сандары табылып,

(2.2)

с а b

векторы

теңдігі орындалса, онда с

а, b базисінде жіктелінген деп аталады.

2.14-анықтама. Кеңістікте

компланар емес (сызықты тәуелсіз)

а,

b, с

векторлары базис құрайды.

Кез келген d

векторы осы векторлардың сызықты комбинациясы болса,

яғни

, нақты сандары табылып,

(2.3)

векторы

теңдігі орындалса, онда d

а,

с базисінде жіктеледі дейді.

2.4. Векторлардың проекциялары. Векторлардың скалярлық кӛбейтіндісі

Бізге кеңістікте бағытталған l түзуі, AB,

A B векторлары берілсін.

AB векторының L түзуіндегі сандық проекциясы деп

2.15-анықтама: a

a AB

L түзудің арасындағы бұрышының

векторының ұзындығы мен a векторы мен

косинусына кӛбейтіндісін айтады, яғни

пpL a

cos(a, L)

cos

(2.4)

Сонымен,

вектордың L

бағытындағы проекциясы мен оның сандық

проекциясының арасындағы байланыс мына теңдік арқылы беріледі:

прLa

eпрLa,

(2.5)

мұндағы

векторы L түзудің бірлік векторы.

А прl АВ

В прl A B А

2.5-сурет

прl

АВ

cos 0,

онда

l AB.

прl

A B

cos 0,

онда l A B .

ax ,ay , az векторы үшін

проха, ау проу а,

аz

прoz a .

Проекцияның негізгі қасиеттері:

а)

прl АВ

АВ

cos , (e^ , AB) ;

ә) векторды параллель кӛшіргеннен проекциясы ӛзгермейді;

б)

npl a

0 l a

;

в) қосынды проекциясы

npl (a

b) прl а

прl b ;

г) прl

прl а .

Кеңістікте

бағытталған L түзуi берілсін.

L бойындағы сандық проекцияларының қасиеттері:

және b

векторлардың

1. прL (a b) прL a прL b

2. прL ( a) прL a

және

2.16-анықтама. a

b екі вектордың скалярлық кӛбейтіндісі деп екі вектордың

ұзындықтарының кӛбейтіндісін, олардың арасындағы

бұрышының косинусына

кӛбейткенге тең санды айтады, яғни

cos .

(2.6)

(a,b)

cos(a, b)

және

2.17-анықтама. a

b екі вектордың скалярлық кӛбейтіндісі деп

вектордың

ұзындығын

векторына түсірілген

проекциясына

кӛбейтіндісін

b векторының a

немесе

векторының

түсірілген

b вектордың

ұзындығын a

b векторына

проекциясына кӛбейтіндісін айтады, яғни

(a, b)

праb

прbа.

(2.7)

Скаляр кӛбейтіндінің негізгі қасиеттері:

Екі вектордың скаляр кӛбейтіндісі нӛлге тең, егер:

а)

б)

векторлар бірі нӛлдік

вектор болса.

мұндай векторлар

Екі вектордың скаляр кӛбейтіндісі нӛлге тең болса a

b 0 ,

ортогональ векторлар деп аталады.

a орын ауыстыру (коммутативтi) қасиеті

4. a,b

c a,b

a, c үлестірімділік (дистрибутивтi) қасиеті

5. (a, b )

(a, b ).

және b

векторлары коллинеар болса, онда (a

Бірінші қасиет скалярлық кӛбейтіндінің анықтамасынан тікелей шығады. Тӛртінші қасиеттің дәлелдеуін келтірейік

(a,b

пра

(праb

пра с)

праb

пра

(a,b) (a, c)

Бұл жерде векторлардың сандық проекцияларының қасиеттерін және векторлардың скалярлық кӛбейтіндісiнің анықтамасын пайдаландық.

Бесінші қасиеттің дәлелдеуі:


(a, b)		a	пра( b)	a	праb		a	праb	(a, b).

Осы қасиеттерден мыналар шығады:


(a	b,c) (a,c) (b

( a, b) (a, b)

,c).

Координаттары берілген векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Үш ӛлшемді кеңістікте тік бұрышты OXYZ координаталар жүйесін енгіземіз. O нүктесі арқылы ӛтетін ӛзара үш перпендикуляр бағытталған түзулер координат ӛстері

деп аталады. Мұндағы O нүктесі координаттардың бас нүктесі деп аталады. i , j , k арқылы OX , OY және OZ координаттар-дың бірлік векторлары белгіленген. Осы кеңістікте кез келген M нүктесі берілсін. (2.6-сурет). Бағытталған OM кесінді M нүктесінің радиус векторы деп аталынады.


a OM радиус вектордың координат ӛстеріндегі сандық проекциялары x, y, z деп
белгіленген.		Бұл x, y, z - тер	M нүктесінің координаттары; x - абсцисса, y -
ордината,	z - аппликата деп аталады.
Сонымен,	x
		a вектордың OX ӛстегі проекциясы, y OY ӛстегі проекциясы, z OZ
			(ax , ay , az ) деп жазылады.
ӛстегі проекциясы болса, онда а


а (ax , ay , az ) және				b (bx ,by ,bz )		векторлары берілсін. Онда		мына үш теңдік
дұрыс:
				bx ,	ay by ,		bz ,	(2.8)
1)	a	b	ax	bx ,	ay by ,	az	bz ,	(2.8)
							bx , ay by , az bz ),	(2.9)
2)	а	b (ax , ay , az ) (bx ,by ,bz ) (ax					bx , ay by , az bz ),	(2.9)
				, az ) ( ax , ay		, az ).
3)	а (ax		, ay	, az ) ( ax , ay		, az ).		(2.10)

(2.8) теңдіктің дұрыстығы, векторлардың анықтамасынан шығады. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар, олардың проекцияларына да қолданылады,

сондықтан (2.9) және (2.10)

теңдіктері дұрыс.

i , j , k координат ӛстерінің бірлік векторлары болғандықтан мына теңдіктер дұрыс:

(0,1,0) ,

i (1,0,0)

(0,0,1) ,

| i | |

j | | k | 1,

(2.11)

i i

k k 1,

(ax , ay , az )

Кез келген а

векторын былай жазуға болады

(2.12)

a ax , ay , az axi ay j az k

(2.9) және (2.10), (2.11) формулалардан

ax i ay

az k ax (1,0,0) ay (0,1,0)

az 0,0,1 (ax ,0,0) (0, ay ,0) (0,0, az ) a

а(ax , ay , az ) және b (bx ,by ,bz ) векторлары берілсін. Онда

(2.13)

а b (a,b) axbx ay by az bz

шынында да, (2.11)

пайдаланып

(axi

az k )(bxi

by j bz k )

axbxi i

ayby j j

azbz k

axby i

j axbz i

aybx j

aybz j

az bx k

az by k

axbx

ayby azbz .

, ay

by ,

bz , онда

Егер а

b болса, яғни ax

| а |

(2.14)

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Doc

#
24.03.2015173.06 Кб21Metodicheskie_ukaz_2013_1.doc
#
24.03.201570.29 Кб172Pedagogika_shpor.docx
#
24.03.2015444.3 Кб30Programmirovanie.docx
#
24.03.2015220.8 Кб39seti_zhondelgen.docx
#
24.03.20151.48 Mб21S_1199_ndet_DIPLOM.docx
#
24.03.20152.56 Mб40КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ.pdf
#
24.03.20154.35 Mб33Отчет1.docx
#
24.03.201516.49 Mб10Отчет1.pdf
#
24.03.2015222.94 Кб19перевод.docx