Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Doc / КОЩАНОВА Г.Р.АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
2.56 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

cij aij , i 1, m,

j 1, k.

(1.11)

Матрицаны санға кӛбейткенде мына қасиеттер орындалады:

1. 1 A A

1 A A

о A 0

 

 

 

 

 

 

2. A A , R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A A A

, R

 

 

 

 

 

 

4. A B A B

R

 

 

 

 

 

 

б) матрицаны матрицаға кӛбейту. Берілген m n -ретті A матрицаның

n k - ретті

B матрицаға кӛбейтіндісі деп,

m k - ретті C матрицаны айтады:

C A B .

Ал оның

кез келген элементтері ci j мына формуладан анықталады

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ci j aij bij , i

1, m

,

j 1, k.

 

 

(1.12)

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

A матрицасын

B матрицасына кӛбейту үшін A матрицасының тік жол саны B

матрицасының жатық жол санына тең болуы қажет, басқаша жағдайда кӛбейту мүмкін емес.

 

1

2

 

3

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-мысал.

A

 

 

,

 

3

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 1

1 6 3

2 4 3

10

9

Шешуі: C A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

1 1 3 1 1

2 2 1 2 1 1

 

 

2

3 1

4 2 1

 

 

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жалпы жағдайда

A B B A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрицаны кӛбейтудің қасиеттері:

1.AE EA A

2.A 0 0 A 0

3.AB C A BC

4.A B C AC BC

5.A B С AB AC.

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

2

0

1

2

 

 

 

3

2

 

 

 

6-мысал.

B

 

 

матрицалары берілген.

AB C матрицасын

A

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

1

 

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

табу керек. Шешуі:

11

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0 1 2

 

 

3

2

 

 

2 0 0 10

4 0 3 0

12

7

 

 

 

 

C AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

3 2 1

 

 

0

3

 

 

9

0 5

2 6 6 0

 

 

14

 

1

 

 

 

 

 

1

 

15

 

 

 

 

 

 

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.3. Кері матрица

Бізге n-ші ретті А мен В матрицалары берілсін.

1.17-анықтама. Егер А мен В матрицалары үшін АВ мен ВА кӛбейтінділері

бар және

АВ ВА Е болса,

онда В матрицасын А матрицасының кері матрицасы

деп атап,

былай белгілейді: В А 1 , яғни

А А 1 А 1

А Е , мұндағы Е n -ші ретті

бірлік матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3-теорема (кері матрицаның бар болуы). Кез келген квадратты

А

матрицаның кері

А 1

матрицасы бар болуы үшін матрица ерекше емес

( ( А ) 0 )

матрица болуы қажетті әрі жеткілікті және ол мына тӛмендегі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А11 А21 Аn1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A12 A22 An2

 

 

 

 

 

 

 

А 1

1

 

 

 

(1.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( А)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1n

2n

nn

 

 

 

формуласымен анықталады,

мұндағы

Aij

берілген

A матрицаның элементтерінің

алгебралық толықтауыштары,

( А ) - берілген А матрицасының анықтауышы.

 

( А ) 0

жағдайда

А матрицасының

кері

матрицасы жоқ,

яғни

кері

матрицасы болмайды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

- 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-мысал.

А = 2

1

- 2 -матрицасының кері матрицасын табу керек.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шешуі. Алдымен матрицаның анықтауышын есептейді.

 

 

2

- 2

1

 

 

 

 

 

 

det A

2

1

- 2

27 0 , олай болса, кері матрица табылады.

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

Ол мына формуламен анықталады:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11

A21

A31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1 1/ A12

A 22

A32

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

A23

A33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A13

 

 

 

 

- 2

 

 

2 - 2

 

A11

( 1)1+1

1

2 4 6,

A12 ( 1)1+2

(4 2) 6,

 

 

2

2

 

 

 

 

1

2

 

12

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

A13

( 1)1+3

2

 

4 1 3,

 

 

 

 

 

A 21

( 1)

2+1

 

 

 

( 4 2) 6,

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

A22

( 1)

 

2 + 2

 

 

1

 

4 1 3,

 

 

 

 

 

A 23

( 1)

2+3

 

2

- 2

 

 

(4 2) 6,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

A 31

( 1)

3+1

 

 

 

4 1 3,

 

 

 

 

 

A32

( 1)

3+2

 

( 4 2) 6,

 

 

 

 

1

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

- 2

 

 

 

 

 

 

 

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A33

( 1)

3+3

2

 

2 4 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

3

 

 

 

2

2

 

1

 

 

 

 

 

Олай болса, A 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 6

3

6

 

 

 

- 2

1

 

2

.

 

 

 

 

 

27

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 - 6

6

 

 

 

- 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.4. Матрица рангысы

 

 

Біз m n -ші ретті А матрицасын қарастырайық.

 

 

Берілген

m n -ші

ретті

матрицадан

k

ретті

Cmk Cnk - минор құруға болады,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мұндағы k n ,

k m C m

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m!(n m)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бұл минорлардың кейбіреулері нӛлге тең, ал кейбіреулері нӛлден ӛзгеше.

 

1.18-анықтама.

А матрицаның нӛлге тең емес минорларының ең жоғарғы реті

оның рангісі деп аталады және ол rang A немесе r A деп белгіленеді.

Сонда, егер матрицаның рангісі r -ге тең болса, онда барлық r -ші ретті минорлардың кем дегенде біреуінің мәні нӛлге тең емес, ал r - ден жоғарғы ретті минорлардың барлығының мәні нӛлге тең. Берілген матрицаның рангісін табу үшін жоғарыдағыдай барлық минорларды есептемей табу әдістеріне тоқталайық. Матрицаның рангісін табу үшін элементар түрлендірулер, кӛмкерілген минорлар әдістері қолданады.

Элементар түрлендірулер деп мына түрлендірулерді айтады:

1)матрицаны транспонирлеу, яғни барлық тік жолдарын сәйкес жатық жолдарымен орын ауыстыру;

2)екі тік (жатық) жолдарының орнын ауыстыру;

3)кез келген тік (жатық) жол элементтерін 0 санына кӛбейту;

4)кез келген тік (жатық) жолының элементтерін 0 санына кӛбейтіп, келесі кез келген тік (жатық) жолының сәйкес элементтеріне қосу.

Элементар түрлендіру жасап түгелдей нӛлден тұратын тік (жатық) жолы бар матрица алуға болады. Мұндай тік (жатық) жолды алып тастағаннан матрица рангісі ӛзгермейді. Элементар түрлендіру жасап кез келген матрицаны

 

10 0 0

 

0 10 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 1

диагоналы 1- ден, ал қалған элементтері 0- ден тұратын матрица түріне келтіруге болады. Диагональ бойындағы 1-лер саны матрицаның рангісіне тең болады.

13

 

 

1

1

2

1

2

 

 

 

 

 

1

2

3

1

1

 

 

8-мысал.

A

 

 

матрицасының рангын табу керек.

 

0

1

5

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

Шешуі. Бұл матрицаның рангі 1 ден 4-ке дейінгі мәндерді қабылдайды. А матрицасына элементар түрлендірулер жүргіземіз. Біріші бағанның a11 1

элементінен басқа элементтерді нӛлге айналдырамыз. Сондықтан 1-ші жолды 2-ші жолға қосып екінші жолға, 1-ші жолды -2 -ге кӛбейтіп 2-ші жолға қосып үшінші жолға жазамыз:

 

1

1

2

1

2

 

 

 

0

1

5

0

1

 

~

 

 

A

0 1

5

0

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

5

0

1

 

 

 

 

Енді 2-ші жолды -1-ге кӛбейтіп 3-ші жолға қосып 3-ші жолға және 2-ші жолды 4-ші жолға қосып 4-ші жолға жазамыз:

 

1

1

2

1

2

 

 

 

0

1

5

0

1

 

~

 

 

A

0

0

0

0

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

Нӛлдік жолдарды алып тастаймыз. Сонда 2 5 ӛлшемді матрица аламыз:

 

 

 

 

 

~

1

1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

0

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

1 0,

 

 

 

 

~

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Оның миноры

0

1

 

сондықтан,

r( A) r( A) 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Көмкерген минорлар әдісі

1.19-анықтама. Матрицаның сызықты тәуелсіз жатық (тік) жолдарының ең үлкен саны матрицаның рангісі деп аталады.

Берілген матрицаның рангісін кӛмкерген минорлар әдісімен табу үшін:

-нӛлге тең емес бірінші ретті кез келген минорды алу;

-содан соң осы минорды кӛмкерген екінші ретті минорды есептеу;

-егер мұндай екінші ретті минорлардың бірі нӛлге тең болмаса, онда осы минорды кӛмкерген үшінші ретті минорларды есептеу;

-егер мұндай үшінші ретті минорлардың бірі нӛлге тең болмаса, онда осы минорды кӛмкерген келесі минорларды есептеу;

14

-осылайша нӛлге тең емес кӛмкерген минорларды есептей келе нӛлге тең емес r ретті минорды анықтаймыз.

-r ретті минорды кӛмкерген r 1 ретті минорлардың барлығы нӛлге тең болса, онда берілген матрицаның рангісі r -ге тең.

 

 

 

6

8

2

1

3

 

 

 

 

1

3

1

1

2

 

 

9-мысал.

A

 

 

матрицасының рангісін кӛмкерген

 

4

2

0

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

1

4

3

 

 

 

 

 

 

 

минорлар әдісімен табу керек.

Шешуі. Алдымен нӛлге тең емес кез келген бірінші ретті минор аламыз. Ондай 19 минор бар (нӛлге тең емес элементтер саны). Бірінші ретті минор ретінде 2-ні алайық. Осы минорды кӛмкерген бірнеше минор бар. Нӛлге тең емес

8 2 0

3 1

екінші ретті минорды қарастырайық. Енді осы минорды кӛмкерген үшінші ретті минорларды ғана есептейік:

6

8

2

 

 

6

8

2

 

 

8

 

2

1

 

1

3

1

0,

1

3

1

0,

3

 

1

1

0,

4

2

0

 

 

3

1

1

 

 

2

 

0

3

 

 

2

1

 

 

8

2

3

 

 

8

2

3

 

 

8

 

 

 

 

 

 

3

1

1

0,

 

3

1

2

0,

 

3

1

2

0

 

1

1

4

 

 

2

0

1

 

 

1

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Демек, нӛлге тең емес екінші ретті минорды кӛмкерген үшінші ретті барлық минорлардың мәні нӛлге тең. Олай болса, rangA 2 болады.

1.3. Сызықты теңдеулер жҥйесі

1.3.1. Негізгі ҧғымдар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.20-анықтама. n

белгісізі бар

m сызықты теңдеулер жүйесі:

 

 

a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2 ,

 

 

a21x1 a22 x2 a2n xn

(1.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x a

n 2

x

2

a

mn

x

n

b .

 

 

 

n1 1

 

 

 

m

 

мұндағы ai j - жүйенің коэффициенттері, нақты сандар,

xi - белгісіз шамала,

вi - бос

мүшелер, i 1, m,

j 1, k , ai j -

коэффициенттері екі

 

индекспен берілген,

бірінші

15

индексі i теңдеу нӛмірін, ал екінші индекс j белгісіз нӛмірін кӛрсетеді. bi 0 болса,

онда жүйе біртекті емес жүйе деп аталады.

Сызықты теңдеулер жүйесінің коэффициенттерінен анықталған мына матрица

a11 a12 a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21 a22 a2n

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1 am2 amn

жүйе матрицасы,

 

 

 

 

 

 

 

a11 a12 a1n b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21 a22 a2n

b2

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

m1

a

a

b

 

 

 

 

m2

mn

т

 

(1.15)

(1.16)

жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады.

1.21-анықтама. Егер õ1 1 , x2 2 , , xn n - сандар жиыны (1.14)

теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің барлығын қанағаттандырса, онда осы сандар жиыны сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

1.22-анықтама. Егер (1.14) сызықты теңдеулер жүйесінің кем дегенде бір шешімі бар болса, онда ол үйлесімді жүйе, ал егер бірде-бір шешімі болмаса (жоқ болса), онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.

1.23-анықтама. Тек бір ғана шешімі бар жүйе анықталған жүйе деп, ал кем

дегенде екі шешімі бар жүйе анықталмаған жүйе деп аталады.

 

1.3.2. Крамер ережесі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n белгісізі бар біртекті емес n сызықты теңдеулер жүйесі

берілсін

a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,

 

 

 

 

 

 

a2n xn

b2

 

a21x1 a22 x2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x a

n 2

x

2

a

nn

x

n

b .

 

n1 1

 

 

 

n

 

Берілген жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі

матрицасы n жатық, n тік жолдардан тұрады.

 

 

 

 

 

 

 

 

a11 a12 a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21 a22 a2n

 

 

 

 

(1.18)

 

À

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a a

n1 n2 nn

Аматрицасының анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің анықтауышы деп аталады. (1.17) жүйенің анықтауышы нӛлге тең болмасын, яғни ( А ) 0 .

16

 

а11 а12 а1;k 1 a1 k a1, k 1 a1n

 

( А )

a21

a22 a2 , k 1 a2k a2 , k 1 a2n

(1.19)

 

 

 

 

 

an1

an2 an , k 1 ank an , k 1 ann

 

анықтауышының бірінші тік жолының элементтері х1 белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолының элеметтері х2 белгісіздің коэффициенттері, т.с.с.

Осы анықтауыштың кез келген тік жолының (мысалы, k -ші тік жолының - хk белгісізінің коэффициенттерін) элементтерін (1.17) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен

орын алмастырғанда алынған анықтауышты k

таңбасымен белгілейік

 

 

а11 а12 а1; k 1 b1

a1, k 1 a1n

 

 

 

 

 

k

a21 a22 a2, k 1 b2

a2, k 1 a2n

, k 1, n.

(1.20)

 

 

 

 

 

an1 an2 an, k 1 bn

an, k 1 ann

 

 

1.4-теорема (Крамер теоремасы). Егер (1.17) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нӛлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе (үйлесімді жүйе). Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:

 

 

 

 

 

 

x1

1 ,

x2

2 ,

,

xn n

 

(1.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

a12

a1n

 

 

 

a11

 

b1

a1n

 

 

a11

a12

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

b2

a22

a2n

,

2

 

a21

b2

a2n

n

 

a21

a22

b2

(1.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

an2 ann

 

 

 

an1

bn ann

 

 

an1

an2

bn

 

10-мысал. Крамер формуласы арқылы берiлген жүйенiң шешiмдерiн табыңдар

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 2x3 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 3x2 x3 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x3 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

Шешуі: Негiзгi матрицаның анықтауышын және 1, 2 ,

3 -дердi есептейiк

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3 1

6 4 1 6 1 4 10 ,

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

5

 

 

1

2

 

 

 

1

9

 

 

3 1

30 18 3 18 5 18 10,

 

 

 

 

3

 

 

1

2

 

 

 

 

5

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

2 9

1

18 12 5 18 3 20 20,

 

 

1

3

 

2

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

2

3

 

9

 

9 10 9 15 9 6 10.

 

 

1

1

 

3

 

 

 

 

x 1

 

10

1, x

 

2

 

20

2 ,

x 3

 

10

1.

 

2

 

 

1

 

10

 

 

10

 

3

 

10

 

 

 

 

 

 

 

Сонымен жүйенiң шешiмi (1, 2, 1).

Кронекер – Капелль теоремасы

1.5-теорема. Біртекті емес (1.17) сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болуы үшін жүйенің матрицасының рангісі оның кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы, яғни rang A rang A , қажетті әрі жеткілікті.

Теоремадан мынадай қорытынды аламыз:

а) егер rang A r n , онда (1.17) жүйенің тек бір ғана шешімі бар;

б) егер rang A rang A r n болса, онда (1.17) жүйенің шексіз кӛп шешімі бар және ол шешімдер r теңдеуден тұратын жүйеден анықталады.

a11 x1 a1r xr b1 à1, r 1 xr 1 a1n xn

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.23)

a

x a

x b a

x

a x

 

 

r1 1

rr r

r

r, r 1 r 1

 

rn n

 

мұндағы xr 1, ,xn белгісіздер

бос

мүшелер, олар

кез келген

тұрақты сандарды

қабылдайды. (1.17) жүйеден анықталған

x1 ,x2 , ,xr

шешімдері

жүйенің жалпы

шешімі деп аталады.

 

 

 

 

 

 

 

1.3.3. Гаусс әдісі

Гаусс әдiсi сызықты теңдеулер жүйесiн шешудегi универсалды әдiстердiң бiрi деп есептелiнедi. Бұл әдiс кейде айнымалыларды бiртiндеп жою әдiсi деп те аталынады.

A X B

(1.24)

теңдеулер жүйесiн қарастырайық. Мұндағы

18

a11

a12

a1n

 

a

a

a

 

A

21

22

2n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

am2

amn

 

 

x1

 

 

 

 

X

x2

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

b1

 

 

 

b

 

 

B

2

 

(1.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm

 

Осы теңдеулер жүйесiнiң кеңейтiлген матрицасының жолдарына элемен-тарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрица түрiне келтiруге болады. Мысалы, бiр

айнымалыны таңдап аламыз (кӛбiнесе x1 ) және оны осы айнымалының алдындағы

коэффициенттердi және сол айнымалы бар теңдеудi шешушi деп атаймыз. Егер шешушi коэффициент бiрден ӛзге болса, онда шешушi теңдеудегi барлық коэффициенттердi осы шешушi коэффициентке бӛлiп, қалған барлық теңдеулерден шешушi айнымалыны жоямыз. Содан кейiн келесi шешушi айнымалыны таңдап

аламыз (кӛбiнесе x2 ), шешушi теңдеудi шешушi коэффициентке бӛлемiз және қалған теңдеулерден осы шешушi айнымалыны жоямыз. Осы процестi әрi қарай жалғастырамыз. Осы процесс кезiнде 0 x1 0 x2 0 xn 0 түрiндегi теңдеу

кездессе, мұндай теңдеудi немесе кеңейтiлген матрицадағы осыған сәйкес барлығы нӛлден тұратын жолды алып тастауға болады. Себебi бұл теңдеудi кез келген

x1 , x2 , , xn

сандар жиыны қанағаттандырады. 0 x1 0 x2 0 xn b,

b 0 ,

түрдегi теңдеу немесе кеңейтiлген матрицада барлық элементтерi нӛлден тұратын, бiрақ соңғы элементi нӛл емес жол кездесуi мүмкiн. Онда бұл теңдеудiң сонымен қатар берiлген теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ, яғни жүйе үйлесiмсiз.

Сонымен кеңейтiлген матрицаның жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрицаға келтiремiз:

a

11

a21

am1

a

 

a

 

b

 

a

a

 

a

 

a

 

b

 

 

 

12

 

1n

 

1

 

 

11

12

 

1k

 

1n

 

1

 

a

 

a

 

b

 

0

c

 

c

 

c

 

d

 

22

 

2n

 

2

 

~

 

22

 

2k

 

2n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

b

 

 

0

0

c

 

c

 

d

 

m2

 

mn

 

m

 

 

 

 

 

kk

 

kn

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

Бұл матрицаға мынадай теңдеулер жүйесi сәйкес келедi:

a11x1 a12 x2 a1k xk a1n xn b1

 

ñ22 x2 c2k xk c2n xn d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ckk xk ckn xn d k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мұндағы k m, a11

0, cii 0,

i 2, k. Осы теңдеулер жүйесiнiң соңғы теңдеуiнен

xk белгiсiздi басқа

xk 1 , , xn

арқылы ӛрнектеймiз. Содан кейiн xk -ы жүйенiң

соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып xk 1 белгiсiздi xk 1 , xk 2 , , xn арқылы

19

ӛрнектеймiз, содан

 

кейiн

xk 2, , x2, x1 белгiсiздердi осылай табамыз. Сонымен

xk 1 , xk 2 , , xn бос айнымалыларға кез келген мәндер берiп, жүйенiң шексiз кӛп

шешiмдерiн аламыз.

 

 

 

 

 

 

4x1 2x2 x3 7

 

 

 

x2

x3 2

 

11-мысал.

x1

теңдеулер жүйесiн Гаусс әдiсiмен шешу керек.

 

 

3x2 3x3 11

 

2x1

 

 

4x

x

2

x

3

7

 

 

 

1

 

 

 

 

Шешуі.

Бұл

жүйенiң

кеңейтiлген матрицасын құрып, оған элементарлы

түрлендiрулер қолданамыз.

 

4

1

A B 24

 

1

1

 

 

 

~

0

1

0

2

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

 

 

2

 

1

7

 

 

1

 

 

 

1

1

2

~

4 2

 

1

7

 

4 С C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

11

 

 

 

2 3

 

3

11

 

2 C2 C3

1 1

7

 

 

 

4 1

 

1

7

 

4 C C

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1 2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

1 C2 C3

~

0 1

 

3

.

 

1

5

 

 

0 1

0 2

 

 

1

3

 

1 C C

4

 

0 0

0 0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

2

 

 

0

6

3

15

C2

: 3

~

~

 

 

 

 

 

0

5

5

15

C3 : 5

 

 

 

5

 

 

 

 

0

5

15 C4

: 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Осыдан

x1 x2 x3 2

x1 1

 

x3 3

x3

1

x2

x

2

x

2

2

 

2

 

Айнымалыларды бірте-бірте жою жүйені элементар түрлендіру арқылы жасалады. Элементар түрлендірулер матрицаның рангісін ӛзгертпейді.

Оған келесі түрлендірулер жатады: а) екі теңдеудің орнын алмастыру;

ә) нӛлден ӛзге санға теңдеудің екі жағын да кӛбейту; б) кез келген с 0 санға кӛбейтілген бір теңдеудің екі жағын да басқа теңдеуге

сәйкесінше қосу.

1.3.4. Матрица әдісі

n белгісізі бар біртекті емес n сызықты теңдеулер жүйесі берілсін.

20

Соседние файлы в папке Doc
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности