Приклад 1.22. Довести лінійну залежність рядків матриці
æ1 |
1 |
2 |
- 4 |
6 |
ö |
|
ç |
|
3 |
5 |
2 |
1 |
÷ |
A = ç0 |
÷. |
|||||
ç |
2 |
11 |
19 |
- 2 |
|
÷ |
è |
15ø |
|||||
► e3 = 2e1 + 3e2 Û 2e1 + 3e2 - e3 = 0 – рядки лінійно залежні. <
Приклад 1.23. Довести лінійну незалежність рядків матриці
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
æ1 |
-2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è3 |
5 ø |
|
|
► c e |
+ c |
2 |
e |
2 |
= 0 Þ c |
|
(1 - 2)+ c |
2 |
(3 5 |
=)0 0(Þ íì c)1 + 3c2 = 0 Û |
||||
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
î- 2c1 + 5c2 = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìc |
= -3c |
2 |
, |
= c |
|
= 0 Þ рядки e , e |
|
лінійно незалежні. < |
||||||
Û í 1 |
|
|
|
|
c |
2 |
2 |
|||||||
î 11c2 = 0, |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо рядки матриці А лінійно залежні, то хоча б один із них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших рядків.
Теорема про базисний мінор. Якщо ранг матриці дорівнює r,
то r базисних рядків лінійно незалежні, а останні рядки виражаються у вигляді лінійної комбінації базисних рядків
Наслідок. Для того щоб визначник квадратної матриці дорівнював нулю, необхідно й достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.
1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
Приклад 1.24. Підприємство випускає 2 види виробів: P1, P2 і при цьому використовує 3 види сировини: S1, S2, S3. Витрати сировини на один комплект продукції описуються матрицею:
æ2 |
3 |
ö |
|
ç |
|
4 |
÷ |
A = ç5 |
÷, |
||
ç |
1 |
5 |
÷ |
è |
ø |
||
де aij – кількість одиниць сировиниSi, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції Pj. Розрахувати витрати ресурсів на 6 комплектів продукції.
æ2 |
3ö |
æ12 |
18 |
ö |
|||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
► B = 6 A = 6 ×ç5 |
4÷ |
= ç30 24÷. < |
|||||
ç |
1 |
5 |
÷ |
ç |
6 |
30 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
21
Приклад 1.25. Підприємство розмістило для продажу2 види виробів P1, P2 у магазини А і В. Кількість проданих у магазинах А і В виробів за 4 тижні подається матрицями:
æ2 |
3 |
0 |
5ö |
æ1 |
4 |
3 |
2ö |
||||
A = ç |
|
|
|
|
÷, |
B = ç |
|
|
|
|
÷, |
ç |
4 |
6 |
1 |
2 |
÷ |
ç |
3 |
4 |
2 |
3 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
||||||||
де i-й рядок відповідає виробу Pi, а j-й стовпець – j-му тижню. Знайти матрицю сумарних тижневих продажів виробів.
► Сумарні тижневі продажі виробів описуються матрицею
æ2 |
3 |
0 |
5ö |
æ1 |
4 |
3 |
2ö |
æ3 |
7 3 |
7ö |
||||||
T = A + B = ç |
|
|
|
|
÷ + ç |
|
|
|
|
÷ = ç |
|
|
|
÷. < |
||
ç |
4 |
6 |
1 |
2 |
÷ |
ç |
3 |
4 |
2 |
3 |
÷ |
ç |
7 |
10 3 |
5 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
|||||||||||
Приклад 1.26. Нехай підприємство випускає 3 види виробів: P1, P2, P3 і при цьому використовує 4 види сировини: S1, S2, S3, S4 (табл. 1.1).
Потрібно знайти:
·кількість сировини, що затрачається на виробництво усіх видів продукції;
·загальну вартість сировини;
·сумарний прибуток від реалізації продукції.
|
|
|
|
Таблиця 1.1 |
|
|
Кількість сировини, що затрачається |
|
Вартість |
||
Вид сировини |
на виробництво одиниці продукції Pj |
|
|||
|
одиниці |
||||
|
|
|
|
|
сировини |
|
P1 |
P2 |
P3 |
|
|
|
|
|
|||
S1 |
2 |
1 |
3 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
S 2 |
4 |
5 |
2 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
S3 |
3 |
4 |
6 |
|
40 |
S4 |
6 |
3 |
5 |
|
10 |
Прибуток від реалізації |
10 |
15 |
30 |
|
– |
одиниці продукції Pj |
|
||||
|
|
|
|
|
|
План виробництва |
20 |
25 |
30 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
► Позначимо bi (i = 1, 2, 3, 4) – запас сировини Si; di – вартість одиниці сировини Si; xj ( j = 1, 2, 3) – кількість одиниць продукції Pj, яка запланована до виробництва; aij – кількість одиниць сировини Si, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції Pj; Cj – прибуток від реалізації одиниці продукції Pj.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
22