- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
4.4.1. Основні поняття |
|
Нехай дане загальне рівняння лінії другого порядку: |
|
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + K = 0, |
(4.34) |
де A2 + B2 + C2 ≠ 0.
Тип лінії, заданої цим рівнянням, можна визначити за знаком дискримінанта D = B2 - AC:
·якщо дискримінант D < 0, то рівняння має еліптичний тип і визначає або еліпс, або точку (х2 + у2 = 0), або уявну криву (напри-
клад, х2 + у2 + 1 = 0);
·якщо дискримінант D > 0, то рівняння має гіперболічний тип і
визначає або гіперболу, або пару прямих, що перетинаються
(а2х2 - b2у2 = 0);
·якщо дискримінант D = 0, то рівняння має параболічний тип і визначає або параболу, або пару паралельних прямих(напри-
клад, х2 - а2 = 0), або уявну криву (наприклад, х2 + а2 = 0).
Лінія 2-го порядку називаєтьсявиродженою, якщо рівняння (4.34) визначає на площині порожню множину, точку, пряму, пару прямих. Розглянемо невироджені лінії другого порядку.
4.4.2. Коло
Коло - множина точок площини, рівновіддалених від фіксованої
точки (центра кола). |
радіусаR з |
|
|
|
|
|
Рівняння |
кола |
центром у |
початку |
координат |
||
(рис. 4.22) дано |
формулою (4.35), |
а з центром |
у точціM0(x0, y0) |
|||
(рис. 4.23) – формулою (4.36). |
|
|
|
|
||
x2 + y2 = R2. |
(4.35) |
(x - x0 )2 + ( y - y0 )2 = R2 . |
(4.36) |
|
||
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x, y) |
|
M(x, y) |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
x |
M0(x0, y0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
O |
x |
|
|
Рис. 4.22. Коло |
Рис. 4.23. Коло |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” |
|
|
|
93
4.4.3. Еліпс
Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є сталою величиною, більшою за відстань між фокусами.
Нехай фокуси еліпса розташовані на осіOx у точкахF1(c, 0), F2(-c, 0), M(x, y) - довільна точка еліпса. Тоді за означенням еліпса
F1M + F2M = 2а. |
(4.37) |
Відстані r1 = F1M і r2 = F2M від довільної точки М(x, y) еліпса до фокусів називаються фокальними радіусами точки М.
Канонічне рівняння еліпса:
x 2 |
+ |
y 2 |
= 1. |
(4.38) |
|
a 2 |
b 2 |
||||
|
|
|
Осі координат є осями симетрії еліпса. Параметр c = a2 - b2 . Точки перетину еліпса з осями координат(±а, 0), (0, ±b) назива-
ються вершинами еліпса (рис. 4.24), а, b - його півосями.
Форма еліпса характеризується ексцентриситетомε = c / a (0 £ e < 1). При ε → 1 еліпс вироджується у відрізок [- a, a].
Прямі x = ± a / e називаються директрисами еліпса.
Директоріальна властивість еліпса. Якщо r – відстань від точки М до фокуса еліпса, d – відстань від точки М до однобічної з цим фокусом директриси, то відношення r / d = e
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
y |
K1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
M(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
d1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
F1 |
|
M(x, y) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
d1 |
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
r2 |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
–a F2(–c, |
0) |
|
|
F1(c, 0) a |
|
a |
|
||||||||||||||||||||||
- |
a |
|
|
|
|
x |
|
F2 |
|
–c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
d2 |
||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
b |
|
|
|
K2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 4.24. Еліпс (a ³ b) |
|
|
Рис. 4.25. Еліпс (a £ b) |
Зауваження 1. Якщо задані півосі еліпсаа, b, причому a ³ b, то його фокуси розташовані на осіOx в точкахF1(c, 0), F2(-c, 0), де
с = а 2 - b2 (див. рис. 4.24).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
94
Зауваження 2. Якщо a < b і с = |
b2 - a2 , то фокуси еліпса роз- |
||||
ташовані на осіOy в точкахF1(0, |
c), F2(0, -c), ексцентриситет |
||||
e = с / b, директриси еліпса y = ± b / e (рис. 4.25). |
|
||||
Зауваження 3. Рівняння еліпса в параметричній формі: |
|
||||
ìх = асоs t |
(a > 0), |
0 £ t < 2p. |
(4.39) |
||
í |
|
(b > 0), |
|||
î y = b sin t |
|
|
|||
Зауваження 4. Рівняння еліпса, осі якого паралельні координат- |
|||||
ним осям, а центр знаходиться у точці M0(x0, y0), має вигляд: |
|
||||
|
(x - x0 )2 |
+ |
( y - y0 )2 |
= 1. |
(4.40) |
|
a 2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
||
Зауваження 5. При а = b = R |
еліпс перетворюється |
вколо з |
|||
центром у початку координат і радіусом R (див. рис. 4.22). |
|
||||
Приклад 4.24. Звести до канонічного вигляду рівняння4x2 + y2 – |
|||||
–16x - 6y +21 = 0. Визначити тип кривої. |
|
||||
► Виділимо в рівнянні повні квадрати: |
|
||||
4(x 2 - 4x + 4) -16 + ( y 2 - 6 y + 9) - 9 + 21 = 0, 4(x - 2)2 + ( y - 3)2 = 4, |
x¢2 |
y¢2 |
|
ìx¢ = x - 2, |
|||
|
+ |
|
|
=1, |
де |
í |
2 |
2 |
2 |
||||
1 |
|
|
|
|
îy¢ = y - 3. |
|
У системі координат x¢O¢y¢ отримане канонічне рівняння еліпса з |
|||||||||||
центром у |
точціO¢(2, 3). Півосі |
еліпса a = 1, b = 2, параметр |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
|
b2 - a 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3, фокуси розташовані на осіOy в точках F1(0, |
|
), |
|||||||||
|
3 |
|||||||||||
F2(0, |
|
- |
|
), ексцентриситет e = c / b = |
|
|
/ 2. < |
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
4.4.4. Гіпербола
Гіперболою називається множина точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою, меншою за відстань між фокусами.
Нехай M(x, y) - довільна точка гіперболи, фокуси якої розташовані на осі Ox у точках F1(c, 0), F2(-c, 0). Тоді за означенням гіперболи
|F1M - F2M| = 2а Û F1M - F2M = ±2а. |
(4.41) |
Відстані r1 = F1M і r2 = F2M від довільної точки М(x, y) гіперболи до фокусів називаються фокальними радіусами точки М (рис. 4.26).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
95
Канонічне рівняння гіперболи:
x2 |
- |
y2 |
=1, |
( c |
2 |
= a |
2 |
+ b |
2 |
). |
(4.42) |
a2 |
b2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гіпербола симетрична відносно осей координат.
Рис. 4.26. Гіпербола
Точки перетину гіперболи з віссюOx (-a, 0) і (a, 0) називаються вершинами гіперболи. Гіпербола (4.42) не перетинає вісьОу. Параметр а називається дійсною піввіссю, а b – уявною піввіссю гіперболи.
Прямі y = ±(b / a)x, що проходять через діагоналі прямокутника розміром 2а´2b, називаються асимптотами гіперболи.
Величина ε = с / a ( c = a 2 + b2 ) називається ексцентриситетом гіперболи (e > 1), а прямі x = ± a / e - її директрисами.
Директоріальна властивість гіперболи. Якщо r – відстань від точки М до фокуса гіперболи, d – відстань від точки М до однобічної з цим фокусом директриси, то r / d = e
Зауваження 1. Якщо фокуси гіперболи розташовані на осіOy у точках F1(0, -c), F2(0, c), то її рівняння має вигляд:
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
- |
+ |
=1, |
(с = a2 + b2 ), |
(4.43) |
|||||
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ексцентриситет e = с / b, директриси: y = ± b / e.
Зауваження 2. Параметричні рівняння гіперболи мають вигляд:
ìх = ±асht = ±a(et + e-t ) / 2, (a > 0) |
- ¥ < t < ¥. (4.44) |
||
í |
y = bsht = b(et - e-t ) / 2, |
(b > 0) |
|
î |
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
96
Зауваження 3. Рівняння гіперболи, осі якої паралельні координатним осям, а центр знаходиться у точці M0(x0, y0), має вигляд:
(x - x ) |
2 |
|
( y - y ) |
2 |
|
|
0 |
|
- |
0 |
|
=1. |
(4.45) |
a2 |
|
b2 |
|
|||
|
|
|
|
|
y = –x |
y |
y¢ |
|
a |
|
–a |
|
a |
O |
–p/4 |
x |
–a
y = x x¢
Рис. 4.27. Рівнобічна гіпербола
Зауваження 4. При а = b гі-
пербола називається рівнобічною. Її канонічне рівняння:
x2 - y2 = a2. |
(4.46) |
Асимптоти y = ±x є бісектрисами координатних кутів. Якщо повернути систему координатxOy на кут a = -p / 4 (рис. 4.27), то рівняння рівнобічної гіперболи в системі координат х'Оу':
у' = k / x¢. |
(4.47) |
Приклад 4.25. Звести до канонічного вигляду рівняння: 3x2 - 2y2 + 8y - 6x – 11 = 0.
► Виділимо в рівнянні повні квадрати:
3(x2 - 2x + 1) - 3 - 2(y2 - 4y + 4) + 8 - 11 = 0,
2 |
2 |
|
x¢2 |
|
y¢2 |
|
|
ìx¢ = x -1, |
||||
3(x - 1) |
- 2(y - 2) |
= 6, |
|
|
|
- |
|
|
|
|
= 1, де |
í |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
( 2)2 |
|
( 3) |
2 |
|
îy¢ = y - 2. |
У системі координат О'х'у' отримане канонічне рівняння гіперболи. Центр гіперболи - точка О'(1, 2). Півосі гіперболи a = 2 , b = 3. <
Параболою називається множина точок площини, кожна з яких рівновіддалена від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).
Нехай M(x, y) - довільна точка параболи, фокус якої міститься в точці F(p / 2, 0), а директриса перпендикулярна до осі Ox і має рівняння x = - p / 2. Відрізок FM називається фокальним радіусом точки M, а відстань p від фокуса до директриси – параметром параболи.
Проведемо відрізок KM перпендикулярно до директриси (рис. 4.28). За означенням параболи: FM = KM.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
97
Канонічне рівняння параболи: |
|
|
y2 = 2 px, |
( p > 0). |
(4.48) |
Парабола |
симетрична |
відносно |
осі Ox. При p > 0 парабола розташована справа від осі Oy.
Точка О(0, 0) перетину параболи з віссю симетрії називається її вершиною.
Рис. 4.28. Парабола
Зауваження 1. Рівняння y2 = -2px, x2 = ±2py (p > 0) також визначають параболи (рис. 4.29).
Рис. 4.29. Параболи (p > 0)
Зауваження 2. Рівняння параболи з вершиною у точціM0(x0, y0) і віссю симетрії, що паралельна координатній осі, має вигляд:
( y - y0 )2 = ±2 p(x - x0 ) або (x - x0 )2 = ±2 p( y - y0 ). |
(4.49) |
Приклад 4.26. Звести до канонічного вигляду рівняння параболи x2 - 4x - 8y – 20 = 0.
► Запишемо рівняння параболи у вигляді:
(x - 2)2 = 8(y + 3), (х')2 = 8у', де х' = x - 2, у' = y + 3.
Вершина параболи - точка О'(2, –3). Канонічна система координат х'О'у'. Параметр р = 4. <
Приклад 4.27. Знайти геометричне місце точок площиниxOy, для яких відношення відстаней до точки F(1, 0) і прямої х = 5 є сталою величиною, рівною ε. Розглянути випадки: 1) ε = 1 / 3; 2) ε = 1; 3) ε = 3.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
98
y |
|
x = 5 |
M(x, y) |
|
K(5, y) |
F(1, 0) |
5 |
x |
|
|
|
Рис. 4.30
► Покажемо, що при будьякому значенні ε шукане геометричне місце точок є кривою другого порядку, тип якої істотно залежить від величини ε (ε < 1 - еліпс, ε = 1 - парабола, ε > 1 - гіпербола).
Нехай M(x, y) – довільна точка шуканої множини(рис. 4.30), тоді:
FM = (x -1)2 + y2 , MK = | 5 - x |,
FM / MK = e Þ FM 2 = e2MK2, Þ (x -1)2 + y2 = e 2 (5 - x)2 , (x2 - 2x +1) - e 2 (25 -10x + x2 ) + y2 = 0,
|
|
(1 - e 2 )x2 - 2(1 - 5e 2 )x + (1 - 25e 2 ) + y2 = 0. |
|
(4.50) |
||||||||||||||||
Випадок 1: ε = 1 / 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
æ |
2 |
|
1 |
|
1 |
ö |
|
|
|
2 |
|
|
8x |
|
- 8x + 9 y |
|
=16 |
Þ |
8ç x |
|
- 2 × |
|
|
x + |
|
÷ |
- 2 + 9 y |
|
=16, |
||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ |
1 ö |
2 |
|
2 |
|
|
(x - 1 / 2)2 |
|
|
y 2 |
|
|
||||||
|
|
8ç x - |
|
÷ |
+ 9 y |
|
= 18, |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
9 / 4 |
|
|
2 |
|
|
|
Зробимо заміну змінних x¢ = x - 1/2, y¢ = y і введемо нову систему координат x¢O¢y¢ із центром O¢(1/2; 0), що виходить із xOy паралельним переносом. У системі координат x¢O¢y¢ отримаємо канонічне рівняння еліпса з півосями a = 3 / 2, b = 2:
x¢2 |
y¢2 |
(4.51) |
|||||
|
+ |
|
|
|
|
= 1. |
|
(3 / 2 2) |
( |
|
|
)2 |
|||
2 |
Випадок 2: ε = 1. З (4.50) одержуємо:
8x + y2 |
= 24, |
y 2 = -8(x - 3). |
|
|
Зробимо заміну зміннихx¢ = x - 3, y¢ = y. У |
системі координат |
|||
x¢O¢y¢ отримаємо параболу з параметром p = – 4: |
|
|||
y |
¢2 |
¢ |
|
(4.52) |
|
= -8x . |
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
99