Випадок 3: e = 3. З (4.50) одержуємо:

У системі координат x¢O¢y¢, де x¢ = x - 11 / 2, y¢ = y, отримали гіперболу з півосями a = 3 / 2, b = 32. <

4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення

Кривою другого порядку називається множина точок площини, відношення відстаней кожної з яких від фіксованої точкиF (фокуса) і від деякої прямої (директриси) є величиною сталою, яка позначається ε і називається ексцентриситетом кривої (рис. 4.31).

Рис. 4.31

При переході від однієї системи координат до іншої рівняння кривої змінюватиметься. Найбільш просте рівняння крива має вканонічній системі координат, одна з осей якої спрямована уздовж перпендикуляра, опущеного з фокуса F на директрису, а інша – паралельно директрисі. Рівняння кривої у канонічній системі координат називається канонічним рівнянням кривої. Будь-яке рівняння (4.34) можна звести до канонічного вигляду за допомогою паралельного переносу

й повороту системи координат на кутa, що визначається з рівняння tg2a = 2B / ( A - C) при A ¹ C і на кут a = 45° при A = C.

Приклад 4.28. Відстань між двома підприємствами, що виробляють однакову продукцію, – 100 км. Відпускна вартість одного виробу однакова і дорівнюєp. Транспортні витрати на перевезення одного виробу на 10 км для першого підприємства– 10 грн., для другого – 20 грн. Знайти межу районів, для яких однаково вигідно купувати продукцію обох підприємств.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

100

► Нехай підприємства розташовані на осіOx симетрично відносно початку координат – у точках F1 (-50; 0), F2 (50; 0). Якщо M (x, y) – точка на межі шуканих районів, то витрати споживачів на придбання одного виробу підприємств становлять

Знайдемо множину точок, для яких P1 = P2 .

10(x + 50)2 + y2 + p = 20(x - 50)2 + y2 + p,

(x + 50)2 + y2 = 2(x - 50)2 + y2 ,

Межею районів є коло радіусомR = 200 / 3 км, центр якого знаходиться у точці N(250 / 3; 0). <

Питання для самоперевірки

1.Як можна визначити тип лінії, заданої загальним рівнянням другого порядку?

2.Яка лінія називається кривою другого порядку? Скільки типів кривих другого порядку існує? Як визначається тип кривої за ексцентриситетом?

3.Яка система координат називається канонічною?

4.Намалювати еліпси, задані рівняннями 4x2 + 9y2 = 36 і 9x2 + y2 = 36. Знайти їх фокуси, ексцентриситети й директриси.

5. Намалювати гіперболи, задані рівняннями 4x2 - 9y2 = 36 і -4x2 + + 9y2 = 36. Знайти їх фокуси, ексцентриситети, директриси й асимптоти.

6.Намалювати параболи y2 = 4x, y2 = –4x, x2 = 4y, x2 = –4y. Знайти їх фокуси й директриси.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

101