Рис. 4.9. Астроїда |
Рис. 4.10. Кардіоїда |
4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
Пряма на площині фіксується, якщо відомі:
1)точка на прямій і вектор, перпендикулярний до прямої;
2)точка на прямій і вектор, паралельний прямій;
3)точка на прямій і кутовий коефіцієнт прямої;
4)дві точки на прямій.
|
4.3.1. Різні форми рівнянь прямої |
|
|
|||
y |
r |
( A, B) |
1. Рівняння прямої, |
що |
проходить |
|
n = |
через задану точку М0(х0, у0) перпендику- |
|||||
|
|
|
||||
|
M(x, y) |
|
лярно до |
заданого |
вектораn = (A, B) |
|
|
M0(x0, y0) |
(рис. 4.11) у векторній (4.13) і координат- |
||||
|
ній (4.14) формах: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
n |
× M 0 M = 0, |
|
(4.13) |
|
|
|
|
|||
Рис. 4.11 |
|
А(х - х0) + B(y - у0) = 0. |
(4.14) |
|||
Окремі випадки рівняння (4.14):
1) рівняння прямої, що проходить через початок координат:
Ах + Ву = 0; |
(4.15) |
2)при B = 0, A ¹ 0 одержуємо рівняння вертикальної прямої: х = х0;
3)при A = 0, B ¹ 0 одержуємо рівняння горизонтальної прямої: y = y0.
2.Загальне рівняння прямої
Ах + Ву + D = 0. |
(4.16) |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
79
Коефіцієнти A і B при змінних х, y у загальному рівнянні прямої є координатами вектора нормалі до прямої.
y 3. Рівняння прямої, що проходить через задану точкуМ0(х0, у0) па-
r |
= (l, m) |
M(x, y) |
ралельно заданому вектору a = (l, m) |
|||||
a |
M0(x0, y0) |
(рис. 4.12): |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x - x0 |
= |
y - y0 |
. |
(4.17) |
|
|
x |
|
l |
|
|||
|
|
|
|
m |
|
|||
Рис. 4.12 |
Рівняння (4.17) також називають |
|
канонічним рівнянням прямої. |
||
|
4. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точкиМ1(х1, у1),
M2(х2, у2) (рис. 4.13):
y - y1 |
= |
x - x1 |
. |
(4.18) |
||||
|
|
|||||||
y |
2 |
- y |
|
x |
2 |
- x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
5. Рівняння прямої, що відтинає на осях Ox, Oy не рівні нулю відрізки a, b (рис. 4.14) (рівняння прямої у відрізках на осях):
|
x |
+ |
y |
=1. |
(4.19) |
|
|
|
|||
|
a b |
|
|||
y |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
M(x, y) |
b |
|||
M2(x2, y2)
M1(x1, y1)
|
|
|
x |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.13 |
|
|
|
Рис. 4.14 |
|
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. |
|
||||
y |
|
M(x, y) |
|
Рівняння прямої, що проходить |
|
|
|
через задану точку М0(х0, у0) і має за- |
|||
a |
|
y – y0 |
даний кутовий коефіцієнт k = tga: |
||
|
|
|
y - y0 = k(x - x0 ). |
(4.20) |
|
M0(x0, y0) |
|
|
|
||
b |
|
|
|
При x0 = 0 одержимо |
рівняння |
x0 |
x |
x |
прямої з кутовим коефіцієнтом: |
||
|
y = kx + b, |
(4.21) |
|||
|
|
|
|
||
Рис. 4.15
де b = y0 – відрізок, що відтинається прямою на осі Оу (рис. 4.15).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
80