2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ

Розглянемо методи, придатні лише для розв’язання системn-го порядку (n рівнянь із n невідомими):

2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)

Приклад 2.10. Методом оберненої матриці розв’язати систему:

► Позначимо:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

37

За формулою (2.12) знаходимо розв’язок системи:

Зауваження. Метод оберненої матриці зручно застосовувати для багаторазового розв’язування систем з однією і тією ж матрицеюA і різними матрицями вільних членів B.

2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера

Нехай ∆ – визначник матриці А системи (2.10), ∆j – визначник, отриманий з визначника∆ заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді:

·при ∆ ¹ 0 система має єдиний розв’язок, що визначається формулами Крамера:

·якщо ∆ = 0, а хоча б один із визначників∆j ¹ 0, то система несумісна;

·при ∆ = D1 = ... = Dn = 0 система або несумісна, або має безліч розв’язків.

Приклад 2.11. Розв’язати методом Крамера систему

ì x1 - x2 + 2x3 = 5,

ï

í2x1 + 2x2 - 3x3 = -3,

який знайдемо за формулами Крамера (2.13).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

38

Приклад 2.12. Розв’язати методом Крамера систему:

Приклад 2.13. Розв’язати методом Крамера систему:

ìï x1 - 2x2 +3x3 =5,

í2x1 - 4x2 + 6x3 =3,

ïî3x1 -6x2 + 9x3 =8.

► Третє рівняння системи дорівнює сумі першого та другого рівнянь, отже, усі визначники третього порядку дорівнюють нулю: ∆ = D1 = D2 = D3 = 0. Однак перше рівняння несумісне з другим. Система несумісна. <

Приклад 2.14. Розв’язати методом Крамера систему:

► Третє рівняння системи дорівнює сумі першого та другого рі-

нійно незалежні рівняння і три невідомі. Така система має безліч розв’язків. Базисні змінні x1, x2 можна виразити через вільну змінну x3. Залишимо в системі два перші лінійно незалежні рівняння та запише-

мо її у вигляді: ìí x1 + x2 = 3 - x3 ,

î2 x1 + 3x2 = 2 + 4 x3 .

Знайдемо розв’язок за формулами Крамера (2.13):

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

39