|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r r |
|
|
|
Лінійні операції над векторами в базисі i , j, k |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
|
r |
Лінійні операції над векторами a |
= ax i + ay j + az k = (ax , ay , az ), |
||||||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
b = bx i + by j + bz k = (bx , by , bz ) |
визначаються так: |
|
|
|||||||
|
|
r |
|
r |
r |
r |
|
|
|
(3.10) |
|
|
la |
= lax i + lay j + laz k = (lax , la y , laz ), |
|
||||||
r |
r |
|
r |
|
r |
r |
|
ay ± by , az ± bz ). |
(3.11) |
|
a |
± b = (ax ± bx )i + (ay ± by ) j +(az ± bz )k = (ax ± bx , |
|||||||||
|
Приклад |
3.3. |
Дано |
вектори a = (1, - 2, 4), b = (3, 5, 6). |
Знайти |
|||||
r |
r r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
a |
+ b, a |
- b, 2a - 3b. |
|
|
|
|
|
|
||
rr
►a + b = (1, - 2, 4) + (3, 5, 6) = (1+ 3, - 2 + 5, 4 + 6) = (4, 3, 10),
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
- b = (1, - 2, 4) - (3, 5, 6) = (1 - 3, - 2 - 5, 4 - 6) = (-2, - 7, - 2), |
||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
- 3b = 2(1, - 2, 4) - 3(3, 5, 6) = (2, - 4, 8) - (9, 15, 18) = (-7, -19, -10).< |
|||||||||||||
|
|
3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
Напрямними |
|
|
косинусами |
вектора |
|||||||
|
|
a |
= (ax , ay , az ) називаються косинуси кутів |
|||||||||||
|
|
a, b, g, які утворює вектор з координатни- |
||||||||||||
|
|
ми осями (рис. 3.13): |
ay |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ax |
|
az |
|
|||||||
|
|
|
cosa = |
|
r |
, cosb = |
|
r |
, cosg |
= |
|
r |
. |
(3.12) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
Напрямні косинуси задовольняють умову: |
||||||||||||
|
|
Рис. 3.13 |
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. |
(3.13) |
||||||||||
Координати орта вектора є його напрямними косинусами:
r |
|
|
|
r |
|
æ a |
|
|
|
ay |
||||
|
|
a |
|
x |
|
|
||||||||
a |
|
= |
|
|
|
= ç |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
v |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
è |
|
a |
|
|
|
a |
|
|||
|
a |
z |
ö |
= (cosa, cos b, cosg ). |
|
||
, |
|
|
|
÷ |
(3.14) |
||
|
v |
|
|||||
|
|
÷ |
|
|
|||
|
|
a |
ø |
|
|
||
Приклад 3.4. Чи може вектор складати з координатними осями ку-
ти: a = 45o , b =135o , g = 60o?
► Обчислимо косинуси кутів:
cosa = cos 45o = 
2 / 2, cosb = cos 135o = -
2 / 2, cosg = cos 60o =1/ 2.
Напрямні косинуси вектора повинні задовольняти умову (3.13):
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 / 2 + 1 / 2 + 1 / 4 = 5 / 4 ¹ 1.
Вектор не може складати з координатними осями задані кути. <
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
55
3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
Координати точки M(x, y, z), яка поділяє відрізок M1M2 у відношенні l = M1M / MM2 (рис. 3.14), визначаються через координати точок M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) за формулами:
M 2 (x2 , y2 , z2 )
λ = M1M / MM2
M (x, y, z)
M 1 (x1 , y1 , z1 )
Рис. 3.14
x = |
x1 + lx2 |
, |
y = |
y1 + ly2 |
, |
|
1 + l |
1 + l |
|||||
|
|
|
|
z = |
z1 + lz2 |
. |
(3.15) |
|
|||
|
1 + l |
|
|
При l = 1 отримаємо координати середини відрізка M1M2:
x = x1 + x2 , y = y1 + y2 ,
2 |
z1 + z2 |
|
2 |
|
z = |
. |
(3.16) |
||
|
||||
2 |
|
|
||
Приклад 3.5. Знайти координати точки перетину медіан трикутни-
ка з вершинами A(xA , yA , z A ), B(xB , yB , zB ), |
C(xC , yC , zC ). |
||||||||
► Знайдемо координати точки D - середини відрізка BC: |
|||||||||
xD = |
xB + xC |
, |
yD = |
yB + yC |
, |
z D = |
z B + zC |
. |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||
Медіани трикутника перетинаються в точціМ, яка поділяє відрізок АD у відношенні l = AM / MD = 2 / 1. Координати точки М:
xM |
= |
xA + lxD |
= |
xA + 2xD |
= |
xA + xB + xC |
, |
yM |
= |
yA + lyD |
= |
y A + yB + yC |
, |
|||||
1 + l |
|
|
|
|
|
1 + l |
|
|||||||||||
|
|
1 + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
z M |
= |
z A + lz D |
= |
z A + z B + zC |
. < |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 + l |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
Приклад 3.6. Знайти координати кінців відрізкаAB, який поділений на 3 рівні частини точками P(1, 0, 3) і Q(–1, 2, 6).
► Точка P є серединою відрізка AQ, тому її координати:
xP |
= |
xA + xQ |
, |
y P |
= |
y A + yQ |
, |
z P |
= |
z A + zQ |
. |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
Звідси знаходимо координати точки A:
xA = 2xP - xQ = 2 ×1 - (-1) = 3, yA = 2 yP - yQ = 2 ×0 - 2 = -2, zA = 2zP - zQ = 2 ×3 - 6 = 0 Þ A(3, - 2, 0).
Аналогічно знаходимо координати точки B:
xB = 2xQ - xP = 2 ×(-1) -1 = -3, yB = 2 yQ - yP = 2 × 2 - 0 = 4, zB = 2zQ - zP = 2 ×6 - 3 = 9 Þ B(-3, 4, 9). <
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
56