r

= (1, 0, 0, 0),

r

r

r

a1

a2 = (1, 1, 0, 0),

a3 = (1, 1, 1, 0),

a4 = (1, 1, 1, 1).

► Покажемо, що лінійна комбінація векторів дорівнює нулю

тільки при нульових коефіцієнтах, тобто:

r

r

r

r

r

c1a1

+ c2 a2

+ c3a3

+ c4 a4 = 0 Û c1 = c2 = c3 = c4 = 0.

ì c1

= 0,

1

0

0

0

ï

+ c2

= 0,

1

1

0

0

ïc1

= 1 ¹ 0 Þ c1 = c2 = c3 = c

4 = 0.

Þ í

c

+ c

+ c

Þ D =

1

1

1

0

ï

2

3

= 0,

1

ï c

+ c

2

+ c

3

+ c

4

= 0

1

1

1

1

î

1

r

r

,

r

,

r

лінійно незалежна. <

Отже, система векторів a1,

a2

a3

a4

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів простору на-

зивається розмірністю простору.

Базисом n-вимірного простору називається впорядкована

сукуп-

стору Rn є сукупність векторів

r

r

r

= (0, 0, ...,1).

(3.39)

e1

= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0),

..., en

Крім цього базису, в n-вимірному просторі існує незліченна без-

ліч інших базисів.

r

простору може бути розкладе-

Будь-який

вектор x n-вимірного

r

r

r

:

ний по n лінійно незалежних векторах q

, q

,…, q

r

r

r

1

r 2

n

x = λ1 q1 + λ2 q2 +…+ λn qn .

r

(3.40)

Числа λ1, λ2,…, λn

називаються координатами вектора x

у дано-

r

му базисі. Для вектора x = (х1, x2, …, xn) числа х1, x2, …, xn є коорди-

r

r

r

(3.39).

натами у базисі e1

, e2 ,

..., en

3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En

Нехай

у

r

(1,

0, …,

0),

r

=

(0, 1,

…,

0),

…,

базисіe1 =

e2

r

…,

1)

простору Rn

задані

r

= (x1,

x2,

…,

xn) і

en = (0, 0,

вектори x

r

y = ( y1, y2 , ..., yn ).

r

r

Скалярним добутком векторів x і

y називається число

r

r

(3.42)

(x

, y) = x1y1 + x2y2 +…+ xnyn.