Матриці A і B, одержані одна з одної у результаті елементарних перетворень, називають еквівалентними і позначають так: A ~ B.

Для обчислення оберненої матриці введемо допоміжну матрицю ГА = (А|Е) розміром n´2n, приписавши праворуч до матриці А одиничну матрицю Е. Елементарними перетвореннями рядків матриці ГА зведемо її до вигляду (Е|В). Якщо А невироджена, то В = А–1.

Приклад. 1.19. Методом елементарних перетворень обчислити матрицю, обернену до матриці

► Припишемо праворуч до матриці А одиничну матрицю E і перетворимо одержану матрицю ГА = (А|Е) до вигляду (Е|А–1):

1.5. РАНГ МАТРИЦІ

Виділимо в матриці Аm´n k довільно обраних рядків іk стовпців. Визначник k-го порядку, складений з елементів, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором k-го порядку і позначають Мk.

Рангом матриці А називається найбільший порядок відмінного від нуля мінора матриці. Ранг матриці А позначається rang(A), rg(A), r(A).

Якщо r(А) = r, то знайдеться хоча б один мінор Мr ≠ 0, а всі мінори порядку, більшого ніж r, дорівнюють нулю.

Зауваження 1. Ранг матриці визначається кількістю рядків ненульового мінора, а не його значенням.

Зауваження 2. Ранги еквівалентних матриць співпадають.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

19

► Оскільки третій рядок пропорційний першому(e3 = 2e1), то будь-який мінор 3-го порядку М3 = 0 (за властивістю 6 визначників).

Мінор 2-го порядку:

Нехай ранг матриці А дорівнює r. Тоді будь-який, відмінний від нуля, мінор порядку r називають базисним. Рядки й стовпці матриці А, на перетині яких розташовані елементи базисного мінора, називають базисними. Матриця може мати кілька базисних мінорів.

Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень

Елементарними перетвореннями можна звести матрицюA до еквівалентної трапецієподібної матриці:

Ранг такої матриці дорівнюєкількості ненульових рядків, а оскільки ранги еквівалентних матриць співпадають, то r(A) = r.

Приклад 1.21. Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень.

Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці

Рядки матриці e1, e2, …, en називаються лінійно незалежними, якщо рівність c1e1 + c2e2 +…+ cnen = 0 виконується лише приc1 = = c2 =…= cn = 0. Якщо ця рівність виконується при відмінних від нуля коефіцієнтах, то рядки називаються лінійно залежними.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

20