- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
|
► A2 = A × |
|
æ1 2ö |
æ1 2ö |
æ |
1×1 + 2 × 0 1× 2 + 2 × 3 ö |
æ1 |
8ö |
||||||||||
|
A = ç |
|
|
÷ ×ç |
÷ = ç |
|
÷ = ç |
|
|
÷, |
||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
|
9 |
÷ |
||
|
|
|
|
è0 3 |
ø |
è0 3ø |
è |
0 ×1 + 3 × 0 0 × 2 + 3 ×3ø |
è0 |
ø |
||||||||
A3 |
= A2 |
æ |
1 |
8ö |
æ |
1 |
|
2ö |
æ1 |
×1 |
+ |
8 × 0 1× 2 + 8 × 3 ö |
æ1 |
26 |
ö |
|
||
× A = ç |
|
÷ ×ç |
|
|
÷ = ç |
|
|
÷ = ç |
|
|
÷. < |
|||||||
|
|
ç |
0 |
÷ |
ç |
0 |
|
÷ |
ç |
×1 |
+ |
÷ |
ç |
27 |
÷ |
|
||
|
|
è |
9ø |
è |
|
3ø |
è0 |
9 × 0 0 × 2 + 9 ×3ø |
è0 |
ø |
|
6.Транспонування матриці – перехід від матриці Аm´n до матриці АTn´m, в якій рядки й стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку їх слідування, наприклад, якщо
æ0 |
-12 |
5 |
ö |
æ |
0 |
4ö |
||
ç |
|
|
÷ |
|||||
A = ç |
|
|
|
÷, то AT = |
ç |
-12 3 . |
||
ç |
4 |
3 |
1 |
÷ |
|
|
÷ |
|
è |
ø |
ç |
5 |
1 |
÷ |
|||
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
Властивості транспонування матриці |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1) (A + B)T = AT + BT; |
|
3) (AB)T = BTAT; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2) ( |
l |
A) |
T |
l |
|
T |
|
|
|
4) (AT)T = A. |
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
A ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Приклад 1.6. Перевірити властивість (AB)T = BTAT, якщо |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
|
0 |
2ö |
|
æ2 |
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
ç |
6 |
÷ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A =ç |
|
|
÷, |
ç |
-3 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
5 |
÷ |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è3 |
|
4ø |
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
8 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 4 |
|
16ö |
|
|
|
|
æ 4 |
40ö |
||
|
► Оскільки A× B = ç |
|
|
÷ (приклад 1.3), то ( A× B)T |
= ç |
|
÷. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
17 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è40 |
17ø |
|
|
|
|
è16 |
ø |
|||
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
3ö |
æ |
2 ×1+ 6 ×0 |
+1× 2 2 |
×3 + 6 ×5 +1×4ö |
æ 4 40ö |
|||||
B |
T T |
æ2 6 1öç |
|
÷ |
||||||||||||||
A |
= ç |
|
|
|
֍ |
0 5÷ = ç |
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
÷. |
|||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
0 ×1- 3×0 |
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
è0 |
- 3 8øç |
2 |
÷ è |
+8 × 2 0 ×3 -3×5 + 8 × 4ø |
è16 17 |
ø |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
4ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівність (AB)T = BTAT виконується. <
1.3. ВИЗНАЧНИКИ
Квадратній матриці Аn´n можна поставити у відповідністьчисло-
ву характеристику – визначник (детермінант) n-го порядку. Визнач-
ник позначають так: | A |, ∆(А), ∆, ∆n, det(A) і записують у вигляді
|
a11 |
a12 |
... |
a |
1 n |
|
|
D (A )= |
a 21 |
a 22 |
... |
a |
2 n |
. |
(1.3) |
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
a n 1 |
a n 2 |
... |
a nn |
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
11
Мінором Мik елемента aik називається визначник (n - 1)-го поряд-
ку, отриманий із визначника n-го порядку викреслюванням i-го рядка
та k-го стовпця. Величина Аik = (-1)i + kМik |
називається алгебраїчним |
|||||||||||||||||||
доповненням елемента aik. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
æ1 |
0 |
3ö |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Приклад 1.7. Для матриці |
ç |
5 |
÷ |
маємо: D( A) = |
|
4 |
|
5 |
6 |
|
, |
|||||||||
A = ç4 |
6÷ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
8 |
÷ |
|
|
|
|
2 |
|
8 |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
è2 |
9ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M 11 = |
|
5 6 |
|
, M 23 = |
|
1 0 |
|
, |
A11 = (-1)1+1 M 11 = M 11, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
8 9 |
|
|
2 8 |
|
A = (-1) 2 +3 M |
23 |
= -M |
23 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Лапласа: визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення
n
· ∆(А) = åaij Aij – розклад визначника за елементами i-го рядка;
j=1 n
· ∆(А) = åaij Aij – розклад визначника за елементами j-го стовпця.
i =1
Визначник першого порядку: ∆1(А) =│a11│= a11. Визначник другого порядку:
|
|
∆2(А) = |
|
a11 |
a12 |
= a |
a |
22 |
- a |
21 |
a . |
(1.4) |
||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
11 |
|
|
12 |
|
|||
Визначник третього порядку: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 ( A) = |
a21 |
a22 |
a23 |
= |
a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 - |
(1.5) |
||||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
- (a31a22 a13 + a21a12 a33 + a32 a23a11 ). |
|
Формулу (1.5) можна записати символічно у вигляді правила трикутника (правила Саррюса):
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
12
Властивості визначників
1. При транспонуванні визначник не змінюється:
D( A) = D( AT ).
Приклад 1.8. Обчислимо визначники:
D( A) = |
1 |
- 2 |
= 1×5 - 3 × (-2) = 11, |
D( AT ) = |
1 |
3 |
= 1×5 - (-2) ×3 = 11. |
|
3 |
5 |
|
|
- 2 |
5 |
|
2.Якщо всі елементи деякого рядка(стовпця) визначника дорівню-
ють 0, то det(A) = 0.
3.Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника помножити на число λ, то і визначник помножиться на це число.
Наслідок: спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
Приклад 1.9. Обчислимо визначник: D = 2 8 = 2 ×15 - 3 ×8 = 6. 3 15
Винесемо за знак визначника спільні множники для елементів першого та другого рядків (2 і 3 відповідно) і обчислимо визначник:
D= 2 ×31 4 = 6(1×5 -1× 4) = 6.
15
4.При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак.
Приклад 1.10. Обчислимо визначники:
D = |
3 |
1 |
= 3 ×5 - 2 ×1 = 13, |
D1 |
= |
2 |
5 |
= 2 ×1 - 3 ×5 = -13. |
|
2 |
5 |
|
|
|
3 |
1 |
|
5.Визначник, що має однакові рядки (стовпці), дорівнює 0.
6.Визначник, що має пропорційні рядки (стовпці), дорівнює 0.
Приклад 1.11. Обчислимо визначник із пропорційними рядками:
D = 1 3 = 1× 6 - 2 ×3 = 0.
26
7.Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка(стовпця) дорівнює 0:
n
åaik Ajk = 0 (i ¹ j).
k = 1
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
13
Приклад 1.12. Обчислимо суму добутків елементів 1-го рядка визна-
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чника D = |
-1 |
4 |
5 |
на алгебраїчні доповнення елементів 3-го рядка: |
||||||||||||||
|
0 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11A31 +a12A32 |
+a13A33 |
3+1 |
|
2 |
3 |
|
3+2 |
|
1 3 |
|
3+3 |
|
1 2 |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
=1×(-1) |
|
4 |
5 |
|
+2×(-1) |
|
-1 5 |
|
+3×(-1) |
|
-1 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(2 ×5 - 4 ×3) - 2(1×5 - (-1) ×3) + 3(1× 4 - (-1) × 2) = -2 -16 +18 = 0.
8.Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка(стовпця), помножені на одне і те саме число.
Приклад 1.13. За формулою трикутника обчислимо визначник:
1 2 3
D = -1 4 5 =1×4 ×1+ 2 ×5 ×0 + (-1) ×1×3 - (0 ×4 ×3 + 2 ×(-1) ×1+1×5×1) =1- 3 = -2.
0 1 1
Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи третього рядка, помножені на 2 і обчислимо цей визначник:
1 4 5
D1 = -1 4 5 =1×4×1+ 4 ×5×0 + (-1) ×1×5 - (0×4 ×5 + 4 ×(-1) ×1+1×5×1) = -1-1 = -2. 0 1 1
Визначники співпадають: D = D1.
9.Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників: C = A × B Þ │C│=│A│×│B│.
Приклад 1.14. Обчислити визначник матриці C = A × B, якщо
|
|
|
|
æ1 |
2 |
ö |
æ -1 |
5 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
3 |
4 |
÷, |
B = ç |
7 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
è- 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|||
► Обчислимо матрицю C і її визначник: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
æ1 |
2ö æ -1 |
5ö æ |
1×(-1) + 2 ×(-2) 1×5 |
+ 2 |
×7 ö æ |
- 5 19 ö |
|||||||||
C = A × B = ç |
÷ |
×ç |
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
÷, |
ç |
÷ |
ç |
7 |
÷ |
ç |
3×(-1) + 4 ×(-2) 3×5 + 4 ×7 |
÷ |
ç |
÷ |
||||||
è3 |
4ø è- 2 |
ø è |
ø è |
-11 43ø |
C= - 5 19 = -5 ×43 - (-11) ×19 = -215 + 209 = -6.
-11 43
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
14
Обчислимо визначники матриць A, B і застосуємо властивість 9:
A |
|
= |
1 |
2 |
= 4 -6 = -2, |
|
B |
|
= |
-1 |
5 |
= -7 +10 =3, |
|
C |
|
= |
|
A |
|
× |
|
B |
|
= -2×3 = -6. |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
-2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Визначник діагональної чи трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
Приклад 1.15. За формулою трикутника обчислимо визначник:
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
D = |
0 |
4 |
5 |
= 1× 4 ×1 + 2 ×5 ×0 + 0 ×0 ×3 - (0 × 4 ×3 + 2 ×0 ×1 + 0 ×5 ×1) = 4. |
||||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
За властивістю 10 маємо: D = |
|
0 |
4 |
5 |
|
=1×4 ×1 = 4. |
||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
Зауваження 1. При обчисленні визначника доцільно одержати в рядку (стовпці) значну кількість нулів, а потім розкласти його за елементами цього рядка (стовпця) або перетворити визначник до трикутного вигляду і застосувати властивість (10).
Зауваження 2. Для наочності виду перетворень визначника позначимо i-й рядок - ei. Тоді запис e2/2 означає ділення кожного елемен-
та 2-го рядка на2 (при цьому за знак визначника виноситься множник 2), запис e2 - 2e1 означає, що з кожного елемента 2-го ряд-
ка необхідно відняти відповідні елементи 1-го рядка, помножені на 2.
1 2 3
|
|
|
Приклад 1.16. Обчислити визначник 3-го порядку: 2 |
2 |
6 . |
|||
|
|
|
|
2 |
0 |
4 |
||
|
|
|
► Обчислимо визначник чотирма способами: |
|
|
|||
1) за формулою (1.5) (за правилом трикутника): |
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
=1× 2 × 4 + 2 × 6 × 2 + 2 × 0 ×3 - (3 × 2 × 2 + 2 × 2 × 4 + 6 × 0 ×1)= 32 - 28 = 4; |
||
|
|
|||||||
|
|
2 |
2 |
6 |
|
|||
|
|
2 |
0 |
4 |
|
|
|
|
2) розкладом за елементами 2-го стовпця, що містить 0:
1 |
2 |
3 |
1+2 |
|
2 |
6 |
|
2+2 |
|
1 |
3 |
|
3+2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
= -2(8 |
-12) |
+2(4-6) |
= 4; |
|||||||||
=2×(-1) |
|
2 |
4 |
|
+2×(-1) |
|
2 |
4 |
|
+0×(-1) |
|
2 |
6 |
|||||||
2 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
15
3) розкладом за елементами 1-го стовпця з одержанням у ньому нулів:
|
1 |
2 |
3 |
|
ì |
ü |
|
1 |
2 |
3 |
|
ì |
ü |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
2 |
6 |
|
ï |
ï |
=2×21 |
1 |
3 |
|
ï |
ï |
=4 |
0 |
-1 |
0 |
=4×1×(-1 |
1+1 |
=4(1-0) |
=4; |
|||
|
|
=íe2 |
/ 2ý |
|
=íe2 |
-e1ý |
) |
-2 |
-1 |
||||||||||||||
|
2 |
0 |
4 |
|
ï |
ï |
1 |
0 |
2 |
|
ï |
ï |
|
0 |
-2 |
-1 |
|
|
|
|
|||
|
|
îe3 |
/ 2þ |
|
îe3 |
-e1þ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) зведенням визначника до трикутного вигляду:
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
= {e3 - 2e2 }= 4 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
2 |
6 |
={див. спосіб 3} = 4 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
= 4. < |
|
2 |
0 |
4 |
|
0 |
- 2 |
-1 |
|
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Правило трикутника (1.5) застосовується лише для обчислення визначників третього порядку, а способи 2-4 - для обчислення визначників будь-якого порядку. Спосіб 2 дозволяє звести обчислення одного визначника n-го порядку до обчисленняn визначників (n – 1)-го порядку, а спосіб 3 – до обчислення одного визначника (n – 1)-го порядку. Найбільш економічним для обчислення визначників порядку n > 3 є спосіб 4.
Приклад 1.17. Обчислити визначник 4-го порядку:
2 1 1 8
1 - 3 - 6 9 .
0 2 2 - 5
1 4 6 0
►Обчислимо визначник трьома способами:
1)розкладом за елементами 1-го стовпця, що містить 0:
|
2 |
1 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
- 3 |
- 6 |
9 |
|
1 |
1 |
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
- 3 |
- 6 |
9 |
= 2 ×(-1)1+1 |
+1×(-1)2+1 |
|
|||||||||||||
D = |
2 |
2 |
- 5 |
2 |
2 |
- 5 |
+ 0 + |
|||||||||||||
0 |
2 |
2 |
- 5 |
|||||||||||||||||
|
1 |
4 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
4 |
6 |
0 |
|
4 |
6 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+1×(-1)4+1 |
|
1 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
- 3 |
- 6 |
9 |
|
|
= 2[0 +120 +108- (72 + 90 - 0)] - |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
- 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-[0 - 20+96-(64-30+0)]-[30+18- 48-(-96+18+15)] = 27;
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
16