можна знайти із системи (2.16) з точністю до довільного ненульового множника, котрий можна підібрати так, щоб норма вектора (сума квадратів його компонент) дорівнювала одиниці.
æ1 3ö
Приклад 2.15. Знайти власні числа і власні вектори матриці A = ç ÷.
çè3 1÷ø
► Запишемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
det(A - lE) = |
(1- l) |
|
|
3 |
|
|
= (1- l)2 |
- 9 = 0 |
Þ l |
= -2, |
l |
2 |
= 4. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
(1- l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При l1 = -2 система (2.16) має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ì |
- l )x |
(1) |
+ 3x |
(1) |
= 0 |
|
|
ì |
|
(1) |
+ 3x |
(1) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
t1 |
ö |
||||||||||
ï(1 |
|
|
2 |
|
|
|
ï3x |
|
2 |
Þ x(1) |
= -x(1) Þ X (1) |
|
|||||||||||||||||||||
í |
1 |
1 |
|
|
|
= 0 |
Þ í |
1 |
+ 3x |
= 0 |
= ç |
- t |
÷. |
||||||||||||||||||||
ï3x(1) |
+ (1 - l )x |
(1) |
|
|
ï3x |
(1) |
(1) |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
ç |
÷ |
|||||||||||||||||
î |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
1 |
ø |
||
При l2 = 4 система (2.16) має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ì |
- l |
|
)x |
(2) + |
3x |
(2) |
= |
0 |
|
ì-3x(2) |
+3x(2) = 0 |
|
|
|
|
|
|
æt |
2 |
ö |
|||||||||||||
ï(1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
ï |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Þ x |
(2) |
= x(2) |
Þ X (2) = ç |
÷. |
||||||||||
í |
|
|
1 |
|
)x |
|
= 0 |
Þí |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ï3x(2) |
+ (1 - l |
(2) |
|
ï |
3x(2) -3x(2) = 0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
çt |
2 |
÷ |
||||||||||||||||||
î |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
î |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|||||
Величини t1, t2 |
|
|
можна підібрати ,такщоб норми |
|
власних |
||||||||||||||||||||||||||||
векторів (сума |
|
квадратів |
|
компонент |
|
вектора) дорівнювали |
|
одиниці: |
|||||||||||||||||||||||||
t12 + ( -t1)2 =1 Þ t1 =1/ 
2, аналогічно знаходимо t2 =1/ 
2. <
2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
Приклад 2.16. Підприємство випускає 3 види виробів: P1, P2, P3 і при цьому використовує 3 види сировини: S1, S2, S3. Знайти план виробництва й прибуток від реалізації продукції уI та II кварталах за даними, наведеними в табл. 2.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2.1 |
|
|
|
Затрати сировини на виробництво |
Кількість сировини |
||||||
Вид сировини |
|
|
одиниці продукції Pj |
|
по кварталах |
||||
|
|
P1 |
|
P2 |
|
P3 |
І |
|
ІІ |
S1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
140 |
|
90 |
S 2 |
|
4 |
|
5 |
|
2 |
200 |
|
130 |
S3 |
|
3 |
|
4 |
|
2 |
170 |
|
110 |
Прибуток від реалізації |
10 |
|
15 |
|
30 |
– |
|
– |
|
одиниці продукції |
Pj |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
► Позначимо biк (i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2) – запас сировини Si у k-му кварталі; xjk ( j = 1, 2, 3) – кількість одиниць продукції Pj, яка запланована
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
41
до виробництва уk-му кварталі; aij – кількість одиниць сировиниSi, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції Pj; Cj – прибуток від реалізації одиниці продукції Pj. Введемо матриці:
æ1 |
2 |
3 |
ö |
æ140 |
90 |
ö |
æ x |
x |
ö |
|
ç |
5 |
2 |
÷ |
ç |
130 |
÷ |
ç 11 |
12 |
÷ |
30). |
A = ç4 |
÷; |
B = ç200 |
÷; |
X = ç x21 |
x22 |
÷; C = (10 15 |
||||
ç |
4 |
2 |
÷ |
ç |
110 |
÷ |
ç |
x32 |
÷ |
|
è3 |
ø |
è170 |
ø |
è x31 |
ø |
|
||||
Витрати сировини Si у k-му кварталі на виробництво x1k |
одиниць |
|||||||||
продукції P1, |
x2k |
одиниць продукції P2 і x3k |
одиниць продукції P3 по- |
|||||||
винні дорівнювати її запасам bik:
ai1 × x1k + ai2 × x2k + ai3 × x3k = bik (i = 1, 2, 3; k = 1, 2). |
(2.18) |
При k = 1 із (2.18) отримаємо систему для визначення плану ви- |
|
робництва у I кварталі: |
|
ìa x |
+ a x |
|
+ a |
|
x |
|
= b , |
|
||
ï |
11 |
11 |
12 |
21 |
13 |
|
31 |
11 |
(2.19) |
|
ía21 x11 |
+ a22 x21 |
+ a23 x31 |
= b21 , |
|||||||
ïa |
31 |
x |
+ a x |
21 |
+ a |
33 |
x |
31 |
= b , |
|
î |
11 |
32 |
|
|
31 |
|
||||
а при k = 2 – у II кварталі:
ìa x + a x |
|
+ a x |
|
|
= b , |
|
||||
ï |
11 |
12 |
12 |
22 |
13 |
32 |
12 |
(2.20) |
||
ía21 x12 |
+ a22 x22 |
+ a23 x32 |
= b22 , |
|||||||
ïa |
31 |
x + a x |
22 |
+ a x |
32 |
= b |
|
|||
î |
|
12 |
32 |
33 |
|
32. |
|
|||
Оскільки матриці коефіцієнтів при невідомих у системах(2.19), (2.20) однакові, а стовпці вільних членів ,різніто зручно для розв’язування систем застосувати матричний метод. Запишемо систему (2.18) у матричному вигляді:
A × X = B. |
(2.21) |
Якщо матриця A невироджена, то |
вона має обернену матри- |
цю A-1 , і розв’язок системи (2.21) можна подати у вигляді: |
|
X = A-1 × B. |
(2.22) |
Обернену матрицю обчислимо за формулою (1.7). Обчислимо визначник D й алгебраїчні доповнення Аik елементів аik:
1 2 3
D = 4 5 2 =1×5 × 2 + 2 × 2 ×3 + 4 × 4 ×3 - (3 ×5 ×3 + 2 × 4 × 2 + 2 × 4 ×1) =1.
3 4 2
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
42
A |
|
=(-1 1)+1 |
|
5 |
2 |
=10-8 = 2, |
|
A |
|
=(-1 2)+1 |
2 |
3 |
|
=8, |
A |
=(-1 3)+1 |
2 |
3 |
= -11, |
|||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
31 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
|
=(-1 1)+ 2 |
|
|
4 |
2 |
|
= -(8-6) = -2, |
|
A |
=(-1 2)+ 2 |
|
1 |
3 |
|
= -7, |
A |
=(-1 3)+ 2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
=10, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A |
= (-1 1)+ 3 |
|
4 5 |
|
=16-15=1, |
|
A |
|
=(-1 2)+ 3 |
|
1 |
2 |
|
= 2, |
A |
=(-1 3)+ 3 |
|
1 2 |
|
= -3. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
33 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
За формулою (1.7) знайдемо обернену матрицю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
|
8 |
-11ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A-1 |
= |
ç |
- 2 - 7 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
|
2 |
- |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
За формулою (2.22) знаходимо розв’язок системи і плани виробництва у I та II кварталах:
æ x |
x |
ö |
æ |
2 |
8 |
-11öæ140 |
90 ö |
æ10 |
10 ö |
|
|||
ç 11 |
12 |
÷ |
ç |
- 2 |
- 7 |
10 |
֍ |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
ç x21 x22 ÷ |
= ç |
֍ 200 |
130 ÷ |
= ç 20 |
10 ÷ |
Þ |
|||||||
ç |
|
÷ |
ç |
1 |
2 |
- 3 |
֍ |
170 |
÷ |
ç |
30 |
÷ |
|
è x31 |
x32 ø |
è |
øè |
110 ø |
è |
20 ø |
|
||||||
|
|
|
|
|
ì x |
= 10, |
ì x |
= 10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï 11 |
|
|
ï 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ íx21 = 20, |
íx22 = 10, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ï |
= 30, |
ï |
= 20. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
îx31 |
îx32 |
|
|
|
||||
Зауваження. Систему (2.21) можна розв’язати методами Гаусса або Жордана-Гаусса, перетворюючи розширену матрицю з двома стовпцями вільних членів:
æ1 |
2 |
3 |
140 |
90 öe |
- |
4e |
æ1 |
2 |
3 |
140 |
90 |
ö |
- e |
+ e |
æ1 |
2 |
3 |
140 |
90 |
ö |
||||
ç |
|
5 |
2 |
200 |
÷ |
2 |
~ |
1 |
ç |
|
- 3 |
-10 |
- 360 |
|
÷ |
2 |
3 |
ç |
|
1 |
3 |
110 |
70 |
÷ |
ç4 |
130÷ |
|
|
ç0 |
- 230÷ |
~ |
ç0 |
÷~ |
||||||||||||||||
ç |
3 |
4 |
2 |
170 |
110÷ e |
- |
3e |
ç |
0 |
- 2 |
- 7 |
- 250 |
-160 |
÷ |
- e |
ç |
0 |
2 |
7 |
250 |
160 |
÷ |
||
è |
|
|
|
|
ø |
3 |
|
1 |
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
3 |
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
e |
- 2e |
2 |
æ1 0 |
- 3 |
- 80 |
- 50ö e |
+ 3e |
æ1 0 0 |
10 |
10 ö |
æ x |
x |
ö |
æ10 10 |
ö |
||||||||||||
1 |
~ |
ç |
|
1 |
3 |
110 |
70 |
÷ |
1 |
3 |
ç |
|
1 |
0 |
20 |
10 |
÷ |
ç 11 12 |
÷ |
ç |
|
10 |
÷ |
||||
|
|
ç0 |
÷ |
|
~ |
ç0 |
÷; X = ç x21 x22 |
÷ = ç20 |
÷. |
||||||||||||||||||
e |
- 2e |
|
ç |
0 |
0 1 |
30 |
20 |
÷e |
|
- 3e |
ç |
0 |
0 |
1 |
30 |
20 |
÷ |
ç x |
|
x |
|
÷ |
ç |
30 |
20 |
÷ |
|
3 |
|
2 |
è |
|
|
|
|
|
ø |
2 |
3 |
è |
|
|
|
|
|
ø |
è |
31 |
|
32 |
ø |
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Прибуток від реалізації продукції у I та II кварталах:
æ10 |
10 |
ö |
|
P = C × X = (10 15 30)×çç |
20 |
10 |
÷÷ = (100 + 300 + 900 100 +150 + 600 )= 1( 300 850 ). < |
ç |
30 |
20 |
÷ |
è |
ø |
||
Приклад 2.17. З листового матеріалу необхідно вирізати130 заготовок типу S1, 160 – типу S2 і 220 – типу S3. При цьому використовується
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
43
3 способи розкрою. Кількість заготовок і відходів, що вийде з одного листа при кожному способі розкрою, наведено у табл. 2.2. Скільки листів матеріалу треба розкроїти кожним способом, щоб отримати необхідну кількість заготовок? Визначити сумарну кількість відходів.
|
|
|
|
Таблиця 2.2 |
|
Кількість заготовок при способі розкрою Pj |
Необхідна |
||
Тип заготовки |
|
|
|
кількість |
|
P |
P |
P |
заготовок |
|
1 |
2 |
3 |
|
S1 |
1 |
3 |
2 |
130 |
|
|
|
|
|
S 2 |
5 |
4 |
1 |
160 |
|
|
|
|
|
S3 |
2 |
1 |
6 |
220 |
Кількість відходів |
20 |
30 |
10 |
– |
|
|
|
|
|
► Позначимо xj – кількість листів матеріалу, що необхідно розкроїти j-м способом ( j = 1, 2, 3); aij – кількість заготовок Si, що вийде з одного листа при j-му способі розкрою (i = 1, 2, 3); cj – кількість відходів при j-му способі розкрою, і введемо матриці:
æ1 |
3 |
2 |
ö |
æ130 |
ö |
æ x |
ö |
||
ç |
|
4 |
1 |
÷ |
ç |
|
÷ |
ç 1 |
÷ |
A = ç5 |
÷; |
B = ç160 |
÷; |
X = ç x2 |
÷; C = (20 30 50). |
||||
ç |
2 |
1 |
6 |
÷ |
ç |
220 |
÷ |
ç |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
è x3 |
ø |
||||
Для виконання плану виробництва по заготовкахSi повинна виконуватись рівність: ai1x1 + ai2 x2 + ai3 x3 = bi (i = 1, 2, 3).
Звідси отримаємо систему лінійних рівнянь:
ìïx1 + 3x2 + 2x3 = 130, í5x1 + 4x2 + x3 = 160, ïî2x1 + x2 + 6x3 = 220.
Розв’яжемо систему методом Гаусса:
æ1 |
3 |
2 |
130 |
öe |
- |
5e |
æ1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
130 |
ö- e |
+ 2e |
æ1 |
|
3 |
2 |
|
130 |
ö e |
- 3e |
||||||||||||||||
ç |
|
4 |
1 |
160 |
÷ 2 |
~ |
1 |
ç |
|
|
-11 |
|
- 9 |
- 490 |
÷ |
2 |
~ |
3 |
ç |
|
1 |
13 |
410 |
÷ |
1 |
~ |
2 |
|||||||||||||
ç5 |
÷ |
|
ç0 |
|
|
÷ |
|
|
ç0 |
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ç |
2 |
1 |
6 |
220 |
÷e |
- |
2e |
ç |
0 |
|
- 5 |
|
2 |
|
- |
40 |
÷ |
- e |
|
ç0 |
|
5 |
- 2 |
40 |
|
÷e |
- 5e |
|||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
ø 3 |
|
|
1 |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
3 |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
æ |
1 |
0 |
- 37 |
|
-1100 |
ö e - 3e |
|
æ |
1 |
0 |
- 37 |
|
-1100 |
öe |
|
+ 37e |
æ |
1 |
0 |
0 |
|
10 |
ö |
ìx = |
10, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
1 |
13 |
|
|
410 |
|
÷ |
1 |
~ |
2 |
ç |
|
1 |
|
13 |
|
|
410 |
÷ |
1 |
~ |
3 |
ç |
|
1 |
0 |
|
20 |
÷ |
ï |
1 |
|
|||||||
~ ç0 |
|
|
|
÷ |
|
|
ç0 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç0 |
|
÷; |
íx1 = 20, |
||||||||||||||||||||||
ç |
0 |
0 |
- 67 |
|
- 2010 |
÷ |
- e |
|
/ 67 |
ç |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
30 |
÷e |
|
-13e |
ç |
0 |
0 |
1 |
|
30 |
÷ |
ïx = |
30. |
|||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
3 |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
2 |
|
3 |
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
î |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
44