Лінійні операції над векторами
r
Добутком вектора x = (x1, x2 , ..., xn ) на число l називається вектор
|
r |
= (lx1, lx2 , ..., lxn ). |
|
|
(3.37) |
||
|
lx |
|
|
||||
Сумою (різницею) векторів |
r |
, ..., xn ) і |
r |
= ( y1, y2 , ..., yn ) |
|||
x = (x1, x2 |
y |
||||||
називається вектор |
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
± y1, x2 |
± y2 , ..., xn |
± yn ). |
|
(3.38) |
x |
± y = (x1 |
|
|||||
Множина всіх п-вимірних векторів, для яких введені операції додавання й множення на дійсне число, називається п-вимірним лінійним векторним простором і позначається Rп.
Якщо y = lx, |
то вектори y і x вважаються колінеарними. |
Приклад 3.17. |
Дано вектори x = (1, 0, 4, - 3, 5) і y = (2, - 7, 0, 8, 1). |
Знайти: x + y, x - y, 2x + 3y.
►x + y = (1, 0, 4, - 3, 5) + (2, - 7, 0, 8, 1) =
=(1 + 2, 0 - 7, 4 + 0, - 3 + 8, 5 +1) = (3, - 7, 4, 5, 6),
x- y = (1, 0, 4, - 3, 5) - (2, - 7, 0, 8, 1) =
=(1 - 2, 0 - (-7), 4 - 0, - 3 - 8, 5 -1) = (-1, 7, 4, -11, 4), 2x + 3y = 2(1, 0, 4, - 3, 5) + 3(2, - 7, 0, 8, 1) =
=(2, 0, 8, - 6, 10) + (6, - 21, 0, 24, 3) = (8, - 21, 8, 18, 13). <
3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
r |
r |
r |
називаються лінійно незалежними, якщо їх |
Вектори a1 |
, a2 |
, ..., an |
лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c1 = c2 =…= cn = 0:
|
r |
r |
|
r |
r |
Û |
c1 = c2 = ... = cn = 0. |
|
|||||
|
c1a1 |
+ c2 a2 |
+ ... + cn an |
= 0 |
|
||||||||
|
Якщо хоча б одне із чиселсk ¹ |
|
|
|
|
r |
r |
r |
назива- |
||||
|
0, то вектори a1 |
, a2 |
, ..., an |
||||||||||
ються лінійно залежними. |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
Система |
векторів a1 = (a11, a21 |
, ..., an1 ), |
a2 = (a12 , a22 , ..., an2 ), ..., |
|||||||||
an |
= (a1n , a2n , ..., ann ) |
є лінійно незалежною, якщо визначник |
|
||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
D = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
an |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і лінійно залежною, якщо D = 0.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
65