- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Знайдемо обсяг реалізації, при якому прибуток дорівнює
2 млн. грн.: P = 0,008 x - 4 = 2 Þ x = 750 од. <
Приклад 4.23 (вибір “виробляти або купувати”). Для ремонту обла-
днання потрібні запчастини. Якщо виготовляти їх на обладнанні підприємства, то сталі витрати становитимуть100 тис. грн. на рік, а змінні витрати на одиницю продукції– 50 грн. Запчастини можна купити за ціною p = 150 грн. од. Що вигідніше: виробляти чи купувати запчастини?
► Якщо купити x запчастин, то їх вартість буде:
Y = px =150x.
Якщо виробляти запчастини, то собівартість x запчастин: y = 50x +100000.
При Y < y підприємству вигідніше купувати запчастини, ніж виробляти. Знайдемо відповідну мінімальну кількість потрібних запчас-
тин: 150x = 50x +100 000 Þ x =1 000 од.
Якщо потреба у запчастинах менше ніж1 000 од., то вигідніше купувати запчастини, а якщо більше – виробляти. <
Питання для самоперевірки
1.Запишіть такі рівняння прямих і поясніть зміст усіх величин у цих рівняннях:
·векторне й канонічне рівняння прямої;
·загальне рівняння прямої;
·рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;
·рівняння прямої, що проходить через задану точку із заданим кутовим коефіцієнтом;
·рівняння прямої, що проходить через дві дані точки;
·рівняння прямої у відрізках;
·нормальне рівняння прямої.
2.Як знайти кут між двома прямими?
3.Сформулюйте умови паралельності й перпендикулярності 2-х прямих.
4.Як обчислити відстань від точки до прямої?
4.3.7.Вправи
1.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих: х + 2у + 3 = 0, 2х + 3y + 4 = 0 паралельно прямій 5х + 8у=0.
2. Дано сторони трикутника АВС: х – у = 0 (АВ), х + у – 2 = 0 (ВС), у = 0 (АС). Знайти рівняння висоти, що проходить через вершину А.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
90
3.Дано вершини трикутника АВС: А(1; 2), В(2; –2), С(6; 1). Написати рівняння сторони АВ, рівняння висоти СD й обчислити її довжину.
4.Дано сторону прямокутника 3x – 4y + 5 = 0 та дві його вершини
|
A(1;–3), С(1; 2). Знайти рівняння решти сторін прямокутника. |
||
5. |
Знайти |
точку В, симетричну |
точці A(–2; 4) відносно прямої |
|
3х + у – 8 = 0. |
трикутникаАВС, якщо A(–8; 3), |
|
6. |
Знайти |
точку перетину висот |
|
|
B(8; 5), С(8; –5). |
|
|
7. |
Знайти рівняння прямої: |
|
|
|
а) що має кутовий коефіцієнт1/2 і відтинає на осі ординат від- |
||
|
різок 3; |
|
|
|
б) що проходить через точку(1; 3) та кутовий коефіцієнт якої |
||
|
дорівнює –2; |
|
|
|
в) що проходить через точку (–1; 2) і утворює з віссю Ох кут p / 3. |
||
8. |
Знайти рівняння прямої: |
|
|
|
а) яка відтинає на осяхОх й Оу відрізки, що відповідно дорів- |
||
|
нюють 3 і –4; |
|
|
|
б) яка проходить через точку(3; 1) і відтинає на осяхОх та Оу |
||
|
відрізки однакової довжини. |
|
9.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку(2; 2) та відтинає від координатного кута трикутник площею 1 од.2.
10.Знайти відстань d між паралельними прямими:
а) х – 2у + 4 = 0, 2х – 4у + 5 = 0; б) 2x – 3y – 1 = 0, – 6х + 9y – 5 = 0.
11.Через точку (–2; 2) провести прямі, відстань до кожної з яких від точки (2; 5) дорівнює 3.
12.Точки A(1; 2), В(–1; –1), С(2; 1) – вершини трикутника. Знайти рівняння бісектриси внутрішнього кута трикутника при вершині В.
13.Дані вершини трикутника A(1; –1), В(–2; 1), С(3; 5). Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з вершини А на медіану, що проведена з вершини В.
14.Дано рівняння двох сторін трикутника: 4x + 3y - 5 = 0, x - 3y + 10 = 0. Його медіани перетинаються в точці (2; 2). Знайти рівняння третьої сторони.
15.Витрати на перевезення вантажу двома видами транспорту задані функціями: y1 = 50x + 150 і y2 = 25x + 250, де x - відстань перевезень, км; y - транспортні витрати, грош. од. При яких відстанях доцільно скористатися першим видом транспорту?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
91
16.Перевезення вантажу від даного міста в перший пункт, що знаходиться на відстані 100 км, коштує 200 грош. од., а в інший, що знаходиться на відстані 400 км, - 350 грош. од. Установити лінійну залежність вартості перевезення y від відстані x.
17.Скласти лінійну залежність повних витрат на виробництво продукції від обсягу виробництва x, якщо при максимальному обсягу виробни-
цтва продукції хmax = 1 000 од. загальні витрати ymax = 200 млн. грн. Мінімальному обсягу виробництва хmin = 500 од. відповідають загальні витрати ymin = 100 млн. грн.
18.Підприємство виробляє 1 000 виробів, кожен з яких реалізує за вартістю 5 000 грн. Сталі витрати на виробництво 1 млн. грн., змінні витрати на одиницю продукції – 2 000 грн. Скласти лінійні залежності доходу Y від реалізації продукції та повних витрат на виробництво y від обсягу виробництваx. Знайти залежність прибутку P від обсягу виробництваx, максимальний прибуток, мінімальний обсяг прибуткового виробництва, обсяг реалізації, при якому прибуток дорівнює 1 млн. грн.
19.Підприємству потрібний вантажний автомобіль для перевезення вантажу протягом 5 днів у кожному місяці. Загальний річний обсяг
вантажоперевезень – 60 000 ткм. Якщо купити вантажний автомобіль, то річні сталі витрати складуть2 400 000 грн., а змінні – 120 грн. на 1 ткм. Якщо замовити вантажний автомобіль у транспортному підприємстві, то вартість 1 ткм становитиме 200 грн. При яких обсягах перевезень вигідніше купити автомобіль, ніж користуватися послугами транспортного підприємства? Задачу розв’я- зати аналітично і проілюструвати графічно.
20. Підприємство купує деталі, збирає з них вироби, які продає. При цьому річні сталі витрати становлять400 млн. грн., а змінні – 170 000 грн. на один виріб (варіант А). Підприємство може купити додаткове устаткування, за допомогою якого можна удосконалити процес збирання. При цьому річні сталі витрати становитимуть 925 млн. грн., а змінні – 100 000 грн. на один виріб (варіант Б). Максимальна кількість виробів – 10 000 од. на рік. Вартість реалізації одного виробу – 250 тис. грн. Знайти максимальний прибуток і поріг прибутковості для кожного варіанта. При яких обсягах реалізації варіант А вигідніший, ніж варіант ?Б Задачу розв’язати аналітично і проілюструвати графічно.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
92