Паралельне перенесення й поворот осей на кут a
Якщо нова система координат x¢O¢y¢ одержана переносом початку старої системи в точкуO¢(a; b) і поворотом осей на кутa (проти годинникової стрілки), то нові координати точкиМ(х¢; у¢) пов’язані зі старими формулами:
ì x¢ = x cosa + y sina - a, |
Û |
ìx = x¢cosa - y¢sina + a, |
(4.5) |
í |
í |
||
îy¢ = -xsin a + y cosa - b |
|
îy = x¢sina + y¢cosa + b. |
|
4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
y 
M(x, y)
l
Рис. 4.7
У системі координат хОу рівняння
F(x, y) = 0 |
(4.6) |
називається рівнянням лінії l, якщо координа-
xти будь-якої точки М(x, y)Îl задовольняють це рівняння, а координати точок, що не належать лінії l, це рівняння не задовольняють.
Приклад 4.5. Чи належать лінії l: x2 + xy – y2 + 1 = 0 точки P(1, 2),
Q(1, –1)?
► Якщо точка належить лінії, то її координати задовольняють рівняння лінії. Підставимо координати точок P і Q в рівняння лінії l:
P(1, 2): |
12 +1× 2 - 22 +1 = 0 Þ 0 = 0 |
Þ P(1, 2) Îl, |
Q(1, - 2): |
12 +1× (-2) - (-2)2 +1 = -4 ¹ 0 Þ |
Q(1, - 2) Ïl. < |
Якщо F(x, y) у рівнянні (4.6) є многочленом від x та y степеня n, то кажуть, що воно задає алгебраїчну лінію n-го порядку. Алгебраїчні лінії першого та другого порядків задаються відповідно рівняннями
Ax + By + D = 0, |
(4.7) |
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + K = 0. |
(4.8) |
Алгебраїчна лінія першого порядку - це пряма, а алгебраїчна лінія другого порядку може бути еліпсом, гіперболою, параболою, парою паралельних чи непаралельних прямих або точкою.
Параметричні рівняння лінії
Кажуть, що на площині лінія заданав параметричній формі, якщо координати x і y довільної точки М(x, y) лінії виражені через змінну t (параметр):
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
76
ìx = x(t) |
, |
a £ t £ b. |
(4.9) |
í |
|||
îy = y(t) |
|
|
|
Щоб від рівнянь (4.9) перейти до рівняння (4.6), потрібно виключити параметр t. Але такий перехід не завжди можливий і доцільний.
Приклад 4.6. Записати в декартовій формі параметричні рівняння:
ìx = 4t + 2
í (-¥ < t < +¥). î y = 8t + 3
► Якщо виразити параметр t через x і підставити в друге рівняння, отримаємо рівняння прямої: y = 2x -1.<
Приклад 4.7. Записати в декартовій формі параметричні рівняння:
ìx = R cos t +1 |
(0 £ t £ 2p ). |
í |
|
îy = R sin t - 2 |
|
► Якщо перенести сталі у ліві частини, а потім піднести до квадрата і просумувати рівняння, то отримаємо рівняння кола з центром у точці М(1, –2) і радіусом R: (x – 1)2 + (y +2)2 = R2.<
Для побудови параметрично заданої лінії надають певного значення параметру t, за формулами (4.9) знаходять відповідні значення x i y, які відкладають на площині xOy.
Приклад 4.8. Побудувати графік першої арки циклоїди:
ìx = a(t -sin t), |
£ t £ 2p. |
(4.10) |
|
í |
0 |
||
îy = a(1 |
-cost), |
|
|
► Циклоїда - лінія, яку описує точка кола радіусаr = a під час його кочення без ковзання уздовж осіOx. Параметр t - кут повороту колеса. На рис. 4.8 зображена циклоїда, яка побудована за даними, що наведені в таблиці 4.1. <
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 4.1 |
|
t |
0 |
π/6 |
π/3 |
π/2 |
2π/3 |
5π/6 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0,0236a |
0,1812a |
0,5708a |
1,228a |
2,118a |
|
3,1416a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
0,134a |
0,5a |
a |
1,5a |
1,866a |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
7π/6 |
4π/3 |
3π/2 |
5π/3 |
11π/6 |
2π |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4,1652a |
5,055a |
5,712a |
6,102a |
6,26a |
2πa |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1,866a |
1,5a |
a |
0,5a |
0,134a |
0 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
77