- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Підстановки n-го степеня.
Означення. Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе.
Будемо записувати підстановку у два рядки: у першому будуть вихідні елементів, а у другому – їх образи.
Наприклад:
Поставимо 2 питання:
Скільки форм запису однієї ї тієї підстановки.
Скільки різних підстановок n-го степеня можна скласти.
На обидва питання відповідь:
Розглянемо перше питання. Різні форми запису можна отримати за рахунок різного розташування стовпчиків перестановок. З теорії перестановок відомо, що їх буде n!.
Розглянемо друге питання. Зафіксуємо елементи у першому рядку. Очевидно, що підстановки будуть різними, якщо відрізняються відповідно образи у другому рядку. Отже кількість підстановок дорівнюватиме кількості перестановок елементів другого рядка, а їх, як відомо, n!.
Означення. Підстановка називається парною, якщо парності верхньої і нижньої перестановок однакові, тобто обидві перестановки або парні або непарні.
Означення. Підстановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок є парним числом, в супротивному разі перестановка непарна.
Теорема. Приn≥2 кількість парних підстановок дорівнює кількості непарних підстановок, тобто дорівнює.
Запишемо всі підстановки увигляді:
Твердження теореми випливає з відповідної теореми для перестановок. Дійсно, тоді парність підстановки визначається лише парністю нижньої перестановки, а парних нижніх існує .
Зауваження. Для самостійного доведення залишається факт, що означення парності підстановки не залежить від форми запису цієї підстановки.
Поняття і властивості визначника n-го порядку
На практичних заняттях було введено поняття визначника другого і третього порядків. Це були числа, отримані за певними законами з таких таблиць- матриць другого і третього порядків відповідно:
Визначник другого порядка – це число, що позначається і яке дорівнює алгебраїчній сумі , аналогічно визначник третього порядку:
Ми хочемо узагальнити це поняття, тобто отримати визначник -го порядку таким чином, що з нього при та отримати попереднє.
Аналіз обчислення визначників другого і третього порядків приводить до доцільності такого означення:
Означення. Визначником -го порядку, що відповідає матриці:
називається алгебраїчна сума доданків, кожний з яких є добутком елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці, причому зі знаком "+", якщо підстановка складена з перших і других індексів, парна і зі знаком "–", якщо вона непарна.
Отже визначник -го порядку складається здоданків вигляду, де –кількість інверсій у перестановці α1,α2,…,αn.
Для визначника вводять позначення:
Властивість 1. Визначник не зміниться, якщо його рядки зробити відповідними стовпцями.
Розглянемо визначник d.
Стверджується, що
Розглянемо загальний член визначника d: (1) – загальний член d. α1,α2,…,αn - перестановка з 1,2,…,n Запишемо член (1) в позначках ij. (1) Таким чином (1) є членом і визначника d1. З′ясуємо, з яким знаком (1) входить до визначника d1. Знак члена (1) в d визначається парністю підстановки Знак (1) в d1 визначається парністю підстановки Ці підстановки, взагалі кажучи, різні, але парності в них однакові, тому що загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок однакова, тому і знаки члена (1) в d і d1 однакові.
Це перетворення, при якому всі рядки стають відповідними стовбцями, називається транспонуванням.
Властивість 2. Якщо в визначнику поміняти місцями будь які 2 рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.
Доведення за схемою властивості 1.
Насправді, нехай у визначнику міняються місцями i-ий та j-ий рядки, , а всі інші рядки залишаються на місці. Ми отримаємо визначник:
.
Якщо (1) є членом визначника, то всі його елементи і у визначнику залишаються, очевидно, в різних рядках і різних стовпцях. Таким чином, визначникиdтаd1складаються з одних і тих же членів.
Члену (1) у визначникувідповідає підстановка(2),
а у визначнику - підстановка(3).
Підстановку (2) можна одержати з підстановки (1) однією транспозицією в верхньому рядку, тобто вона має протилежну парність. Звідси випливає, що всі члени визначника d входять до визначника d1 і відрізняються лише знаком.
Властивість 3. Якщо в визначнику є нульовий рядок, то визначник дорівнює 0.
Нехай усі елементи і-го рядка визначника є нулями
За означенням визначник n-го порядку це алгебраїчна сума n доданків, кожний з яких є добутком n елементів, узятих по одному з кожного рядка й кожного стовпця матриці і т.д. Отже, у кожний член визначника повинен увійти множником один елемент з і-ого рядка, тому в нашому випадку всі члени визначника дорівнюють нулю. Що й треба було довести.
Властивість 4. Якщо в визначнику є 2 рівних рядка, то визначник дорівнює 0.
Доведення. Нехай у визначнику d рівні між собою і-рядок і j=рядок
Нехай d=k
d1–визначник d, в якому поміняли і з j рядок.
Тоді за властивістю 2:
d1=-k
Але насправді нічого не змінилось, оскільки, i та j рядки рівні
d1=d=k ⟹ -k=k
Звідси, 2k=0, k=0.
Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка помножити на числоr, то визначник зміниться вrразів.
Доведення за схемою властивості 1.
Цю ж властивість можна сформулювати у вигляді: якщо рядок визначника містить постійний множник, то його можна винести за знак визначника.
Розглянемо визначник d:
Нехай на r помножені всі елементи і-ого рядка. Кожний член визначника містить рівно один елемент із і-ого рядка, тому всілякий член отримує множник r, тобто сам визначник множиться на r.
Властивість 6. Якщо у визначнику є два пропорційні рядки, то визначник = 0.
Доведення проводиться з використанням властивості 5 і властивості 4.
Насправді, нехай елементи j-ого рядка визначника відмінюються від відповідних елементів і-ого рядка одним і тим самим множникомr.
Виносячи спільний множник r із j-ого рядка за знак визначника, ми отримуємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю за властивістю 4.
Властивість 4 (а також властивість 3 при ) є, очевидно, окремим випадком властивості 6 (приr= 1 і r= 0).
Властивість 7. Якщо кожний елемент і-рядка визначників є сумою 2-ох доданків, то такий визначник можна подати як суму двох визначників, у яких всі рядки, за винятком і-ого такі ж, як у початковому. і-й рядок першого визначника складається з перших доданків, і-ий рядок другого визначника складається з других доданків.
Доведення за схемою доведення властивості 1.
Дійсно, всілякий член заданого визначника можна подати у вигляді:
Збираючи разом перші доданки цих сум (з тими ж знаками, які мали відповідні члени в заданому визначнику) ми отримаємо, очевидно, визначник n-го порядку, що відмінюється від заданого визначника лише тим, що в і-ому рядку замість елементів стоять елементи. Відповідно другі доданки складають визначник, в і-ому рядку якого стоять елементи.
Властивість 8. Якщо до і-ого рядка визначника додатиj-ий рядок, в подумках помножений на деяке число, то визначник не зміниться.
Доведення.Нехай до і-го рядка визначника d додається j-ий рядок, помножений на k, тобто в новому визначнику всілякий елемент і-го рядка має вигляд. Тоді на підставі властивості 7 цей визначник дорівнює сумі двох визначників, з яких перший є d, а другий містить пропорційні рядки і тому дорівнює 0.
Властивість 9. Якщо в визначнику присутній рядок, що є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.
Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків
Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми визначників, у кожному з яких і-ий рядок буде пропорційним до одного з інших рядків.
За властивістю 6 усі ці визначники дорівнюють нулю, дорівнює нулю, отже і заданий визначник теж.
Ця властивість є узагальненням властивості 6, причому вона дає найзагальніший випадок рівності визначника нулю.
Зауваження. Завдяки властивості 1 все, що було формульовано для рядків є правильним і для стовпців, тому властивість 1 називається властивістю рівноправності рядків і стовпців.