- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Поняття рангу системи векторів.
Нехай задано систему векторів довільного простору:
(1)
Означення. Максимальною лінійно незалежною підсистемою даної системи векторів називається така її лінійно незалежна підсистема приєднання до якої будь-якого вектора цієї ж системи приводить до лінійно залежної системи.
Означення. Рангом системи векторів (1) називається кількість векторів, що входить до максимальної лінійно-незалежної її підсистеми.
Зауваження Для того, щоб означення вимірності лінійного простору і означення рангу системи векторів було коректним, треба було б довести, що кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну лінійно незалежну систему простору (а для рангу – будь-яку максимально-лінійно незалежної підсистеми) є однаковим.
Для подальшого потрібне таке означення.
Означення 1. Говоритимемо, що система векторів (1)лінійно виражається через систему векторів (2), якщо кожний вектор системи (1) є лінійною комбінацією векторів системи (2):
(3)
Означення 2. Системи векторів (1) і (2) називаються еквівалентними, якщо кожна з них лінійно виражається через другу
Властивість (транзитивності)
Якщо система векторів (1) лінійно виражається через систему векторів (2), а система (2) через систему (3), тоді система (1) лінійно виражається через (3).
Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ .
Нехай задано суму однотипних доданків
Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для
Доведемо таку властивість:
Для цього доведемо, що . Для доведення проведемо підсумування за стовпцями
Отже
Тепер перейдемо до доведення попередньої властивості транзитивності.
Нехай задано системи:
(1)
(2) (3)
За умовою (1) лінійно виражається через (2). Тоді за означенням - є лінійною комбінацією векторів системи (2)
(i=1,2,…,S) (4)
За умовою (2) лінійно виражається через (3), тому
Підставимо (5) в(4), тоді отримаємо
Отже доведено, що система векторів (1) лінійно виражається через систему (3).
Наслідок.Якщо система векторів (1) еквівалентна системі (2), а система (2) еквівалентна системі (3), то системи (1) і (3) еквівалентні.
Транзитивність еквівалентних систем доводиться повторенням двічі наведених міркувань.
Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
Розглянемо довільну матрицю.
Кожний стовпець матриці можна розглядати як упорядковану -ку чисел, тобто матриця - це система п-векторів-вимірного арифметичного простору.
Використовуючи цю інтерпретацію і означення рангу системи векторів приходимо до доцільності такого означення.
Означення. Рангом матриці називається кількість стовпців, що входить до максимальної лінійно незалежної підсистеми стовпців матриць.
Або в скороченому вигляді можна дати таке формулювання.
Означення. Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців.
Теорема про ранг матриці. Найвищий порядок мінорів матриці, що не дорівнюють нулю, дорівнює рангу матриці.
Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю.
Для визначеності припустимо, що мінор р-того порядку не рівний нулю знаходиться в лівому верхньому куту.
М
Треба довести, що ранг матриці дорівнює р.
Для цього треба довести два факти:
в матриці А є р-лінійно-незалежних стовпців;
всі інші стовпці через них лінійно виражаються.
1) Доведемо, що лінійно незалежними (за нашим припущенням) є перші р стовпців матриці. Припустимо супротивне, що перші р стовпців матриці лінійно залежні. Тоді з означення лінійної залежності випливає, що існують числа , що виконується рівність:
Розглянемо цю рівність покомпонентно:
І компонента -
р компонента -
………………………………………………
компонента -
З перших р рівностей випливає що стовпці мінора М - лінійно залежні. Доведемо, що тоді мінор М дорівнює нулю.
Розглянемо два випадки.
а)р = 1 тобто М =- лінійно залежний, а звідси випливає що.
б)р≥2 В цьому випадку лінійна залежність означає, що в мінорі М існує стовпець, що є лінійною комбінацією інших стовпців, а тоді за властивістю визначників мінор М = 0
Отже, ми прийшли до суперечності умові. Отже, перші р стовпців матриці А- лінійно незалежні.
Для доведення другого факту побудуємо визначник.
i=1,2,…,s k=p+1,…n
Доведемо, що при всіх таких і та к визначник
Для доведення розглянемо два випадки:
1) . В цьому випадкуяк визначник з двома рівними рядками.
2) . В цьому випадку, бо визначникстає мінором р + 1 порядку матриці А, а тоді за умовою, він дорівнює нулю.
Розкладемо визначник за останнім рядком:
.
Розв'яжемо цю рівність відносно ,
.
Надамо всі значення
Це означає, що к- тий стовпець матриці А є лінійною комбінацією перших р-стовпців. Оскільки к набуває значень , то ми довели, що всі стовпці, починаючи з р + 1 є лінійними комбінаціями перших р- стовпців.
Що і треба було довести
Таким чином за означенням ранг дорівнює р.
Наслідки зтеореми про ранг:
Наслідок 1.
Максимальна кількість лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу лінійно-незалежних стовпців матриці, тобто дорівнює рангу матриці.
Доведення:
Розглянемо довільну матрицю А
Нехай максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців = р, тобто
Треба довести, що максимальна кількість лінійно-незалежних рядків = р.
Для доведення побудуємо транспоновану матрицю
1) Доведемо, що ранг матриці А' дорівнює р.
З того, що випливає (з теореми про ранг), що в матриці А є мінор р - того порядку, не рівний нулю,, а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю.
Всі мінори матриці А в транспонованому вигляді знаходяться в матриці А'. Відомо, що при транспонуванні визначник не змінюється.
Тому в матриці А' є мінор р - того порядку не рівний нулю, а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю. З теореми про ранг випливає, що
Тоді за означенням в матриці А' лише р лінійно незалежних стовпців, а вони є рядками матриці А
Наслідок 2.
Для того щоб визначник дорівнював нулю. Необхідно, щоб його рядки (стовпці) були лінійно незалежними.
Доведення:
Нехай визначник . Треба довести, що його рядки (стовпці) лінійно-залежні
Розглянемо матрицю, що відповідає цьому визначнику
Доведемо, що
Припустимо супротивне, що , тоді з теореми про ранг випливає, що в А існує мінор d п - того порядку, не рівний нулю.
А за умовою . Ми отримали суперечність. Звідси випливає, що
Тоді за означенням рангу в матриці А лише р лінійно незалежних стовпців, інші n-р є їх лінійними комбінаціями.Тобто, загалом стовпці лінійно залежні.
Тепер ми можемо сформулювати необхідну і достатню умову рівності визначника нулю.
Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему.
Доведення:
Необхідність:є другим наслідком теореми про ранг.
Достатність:
Нехай рядки (стовпці) лінійно залежні, треба довести, що .
При доведенні виникають два випадки.
1) Тоді-і його рядки лінійно-залежні
2) Тоді лінійна залежність рядків означає, що існує рядок, який є лінійною комбінацією інших.
А тоді за властивістю 9 визначників визначник дорівнює нулю.