- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.
Означення. Матриця, що умовно позначається , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову.
Означення. Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову.
Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.
Означення. Квадратна матриця називається невиродженою , якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.
Теорема 1. Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.
Доведення. Нехай задана матриця А, detA= 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:
det E = det . det A ,
1 = 0, отримали суперечність.
Таким чином, не існує , так само доводиться, що не існує.
Теорему доведено.
Теорема 2. Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні .
Доведення. Нехай задано матрицю А.
,
причому detA=d 0 .
Треба довести, що існує ліва обернена , права обернена матриці, та =. З матриці А побудуємо матрицю, заміною кожного елементаaij його алгебраїчним доповненнямАijі протранспонувавши отримаємо матрицю:
= .
Доведемо, що задовольняє дві умови:
А = Е ;
А = Е .
Доведемо
1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:
А ==
= .
Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.
З першого пункта випливає =, а з другого пункту=.
.
Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:
= .
Вправа. Довести єдиність матриці (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).
Операції додавання і множення на число.
Означення. Сумою матриць А і В , А=() , В=() , називається матрицяD, елементи якої обчислюються за законом
D= (+).
Означення. Добутком матриці А на число k, називається матриця F, елементи якої обчислюються за законом
F= (k).
Введені операції мають такі властивості :
А + В = В + А ;
(А + В)+С = А+(В + С) ;
: А + = А + + А ;
= .
4) А (-А) : А + (-А) = (-А) + А = 0.
Вона і снує , тому що є (-А) = (-) .
5) А = А ;
k (l A) = (k l) A ;
k (A + B) = kA + kB ;
(k + l) A = kA + lA :
Перевірити самостійно.
Таким чином, множина всіх матриць є векторним простором, більш того, арифметичним, вимірності .
Розглянемо хоча б один базіс цього простору. Це так звані матриці .
= .
Таких матриць існуєn2.
,, … ,,
, , … ,
Доведемо, що це базис. Доведемо, що це лінійно незалежні матриці. Для цього з’ясуємо, при яких kij виконується рівність
(*)
= 0 .
, .
Отже рівність (*) виконується лише в нульовому випадку усіх kij, тому матриці лінійно залежні.
З того, що вимерність простору матриць дорівнює , випливає, що матриціутворюють базіс. Тоді будь-яка матриця А повинна бути лінійною комбінацією матриць. Знайдемо цю лінійну комбнацію.
Розглянемо довільну матрицю А. Доведемо, що
А = .
Введемо в розгляд допоміжну матрицю:
.
Доведемо, що цю матрицю можна подати у вигляді .
Насправді
Розглянемо тепер матрицю А. Її можна подати у вигляді
Застосуємо до кожного доданку попередню формулу
Вправа.Довести, що операція множення матриць і додавання матриць підпорядковується дистрибутивному закону :
А (В + С) = АВ + ВС .
Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд
С = .
Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.
Достатність.Нехай деяка матриця С загального вигляду
С = ,
комутує з будь-якою матрицею А . Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто ,, якщоi j .
З того, що для будь-якої матриці А, випливає.
(1)
.
(2)
Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.
0 = , 0 =, … ,, 0 =,j = 1,2,…n.
Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.