9. Найпростіші властивості векторного простору.

Властивість 1. У довільному векторному просторі існує лише один нульовий вектор.

Доведення.

Припустимо, що знайшовся такий векторний простірV, у якому декілька різних нульових елементів: і .

Розглянемо суму .

За означенням нульового вектора : .

За означенням нульового вектора : .

Згідно із припущенням, і є різними векторами. Прийшли до суперечності до означення внутрішньої операції.

Властивість доведено.

Властивість 2. У довільному векторному просторі для кожного вектора існує лише єдиний протилежний.

Доведення.

Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та .

Розглянемо суму .Скористуємось також асоціативністю додавання.

За означенням протилежного вектора :

За означенням протилежного вектора :

Згідно із припущенням, та є різними векторами. Прийшли до суперечності до означення внутрішньої операції.

Властивість доведено.

Надалі для зручності позначатимемо операції додавання і множення у векторному просторі як "+" і "", маючи на увазі абстрактні операції "" і "".

2. Теорія визначників n-го порядку.

Для введення поняття визначника -го порядку потрібна інформація з теорії перестановок і підстановок.

1. Перестановки з n символів.

Означення 1.Перестановкою з символів називається розташування цих символів в деякому порядку.

Означення 2. Транспозицією називається таке перетворення перестановки, при якому два її елементи міняються місцями.

Теорема 1.З символів можна скласти перестановок.

Доведення.

Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.

1. При це твердження є правильним, бо маємо дві перестановки: 1 2, 2 1.

2. Зробимо індуктивне припущення: з символів можна скласти перестановок.

3. Покажемо справедливість індуктивного переходу для .

Розглянемо всі перестановки з символів за такою схемою. Запишемо спочатку всі перестановки, що починаються з одних одиниць.

Ця група знаходиться в умовах індуктивного припущення. За індуктивним припущенням з символів утворюється перестановок.

Запишемо всі перестановки, що починаються з двійки, трійки, тощо.

Останньою буде група перестановок, що починаються з .

Таким чином всі перестановки розбиваються на k+1 клас, в кожний з яких входить k перестановок. Отже всього буде k!(k+1)=1ˑ2ˑ…ˑkˑ(k+1)=(k+1)!перестановок. З доведеного за принципом математичної індукції дане твердження є правильним при довільному натуральному .

Теорема 2. Усіперестановок зсимволів можна записати таким списком, в якому кожна наступна перестановка може бути отримана з попередньоїшляхомоднієї транспозиції.

Доведення

Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.

При це очевидно: 1,2;

2,1.

Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження при . Доведемо справедливість твердження при . Запишемо всі перестановки, що починаються з 1.

1, 2, 3, ... ,,

1, ...

Розглянувши останні символів бачимо, що для цих перестановок діє індуктивне припущення. Тоді ці перестановки можна записати потрібним списком. Аналогічні міркування застосуємо для тих перестановок, що починаються з 2, 3, ..., .

На стикуванні отриманих груп перестановок першу перестановку наступної групи отримаємо з останньої за рахунок транспозиції символів, що є першими у цих групах.

Теорему доведено.

Означення 3. Два символи та складають інверсію, якщо , але в перестановці знаходиться раніше.

Означення 4. Перестановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій в ній парна, і непарною в протилежному випадку.

Теорема 3. Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Доведення.

При доведенні слід розглянути 2 випадки.

1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:

Зауважимо, що після транспозиції положення тавідносно інших елементів не зміниться. Таким чином, якщо, то вони створюють інверсію і після транспозиції інверсій стане на одну менше. Якщо, то загальна кількість інверсій навпаки збільшиться на одну.

Отже парність перестановки змінюється.

2. Між елементами та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться інші елементи:

Зробимо транспозицію поступово.

Будемо міняти місцями та сусідній справа, поки не поміняється із . Для цього буде необхідно зробити t+1 транспозицій.

Щоб поставити на місце , необхідно зробити транспозицій із сусідами зліва. Загалом буде зроблено2t+1транспозицій, тобто в наслідокпопереднього випадку парність перестановки змінюється.

Теорему доведено.

Теорема 4. Приn≥2кількість парних перестановок дорівнює кількості непарних перестановок, тобто .

Доведення. Запишемо всі перестановок так, як це пропонує теорема 2 . Тоді за теоремою З у цьому списку буде чергування парних і непарних перестановок.

Приn≥2 – парне число, тому список має парну кількість перестановок, половина з яких є парними, половина – непарними.

Теорему доведено.