- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Комплексно-спряжені числа
Означення.Числа виглядутаназиваються комплексно-спряженими.
Очевидно, що сума і добуток комплексно-спряжених чисел
,
.
є дійними числами.
Відмітимо важливі для подальшого властивості.
Властивість 1.Число комплексно-спряжене до суми дорівнює сумі чисел спряжених до доданків.
.
Доведення.Нехай,, тоді. Тому.
Аналогічно можна довести (пропонується зробити це самостійно):
;
;
.
Нерівність трикутника
Як і для дійсних чисел для комплексних чисел має місце нерівність трикутника
Доведення.Спочатку доведемо геометрично, що.
Зобразимо на площині комплексні числа та, побудуємо геометрично суму. Отримаємо трикутникзі сторонами
Тоді, за нерівністю трикутника маємо
.
Отже, друга частина нерівності доведена.
Доведення першої частини нерівності зведемо до другої частини. Для цього запишемо очевиднунерівность.
,
Застосуємо до цієї суми доведену нерівність
.
Зауважимо, що (довести самостійно). Тоді маємо нерівність в області дійсних чисел
.
А тому,
,
що і треба було довести.
Якщо в нерівності трикутника покласти , то отримаємо і таку нерівність.
Література
Ильин В.А. Аналитическая геометрия/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1971. – 232с.
Ильин В.А. Линейная алгебра/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1984. – 232с.
Завало С.Т. Курс алгебри. – К.: Вища шк., 1985. – 504с.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:Наука, 1979. – 512с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.:Наука, 1975. – 431с.
Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1969. – 670с.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 320с.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Гостехиздат, 1949. – 336с.
Тышкевич Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия/ Р.И.Тышкевич, А.С. Феденко. – Минск: Вышейшая школа, 1968. – 505с.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984. – 336с.
Бурдун А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии/ А.А.Бурдун, Е.А.Мурашко, М.М.Толкачев, А.С.Феденко. – Мн.: Універсітэцкае, 1999. – 302с.
Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – К: Либідь, 2001. – 256с.
Гриньов Б.В. Аналітична геометрія./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 344с.
Гриньов Б.В. Вища алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 184с.
Гриньов Б.В. Векторна алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 164с.
Варех Н.В. Лабораторні роботи до курсу лінійної алгебри та геометрії/ Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, Н.А.Лихолат, С.Д.Сотникова. – Д.: РВВ ДДУ, 1992. – 52с.
Варех Н.В. Методи обчислення визначників n-го порядку/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, В.Б.Круглушина. – Д.: РВВ ДДУ, 1995. – 28с.
Варех Н.В. Лінійні оператори/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДДУ, 2003. – 28с.
Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Многочлены от одной переменной»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ, 1989. – 32с.
Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Плоскость»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ,. – 1992. – 32с.
Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2005. – 48с.
Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 76с.
Варех Н.В. Практикум із векторної алгебри/Н.В.Варех, Н.Л.Козакова. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 52с.