2. Полярна система координат.

Означення. Полярною системою координат називають системукоординат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсом.

Якщо ввести полярну систему координат, то положення точки М на площині визначається довжиною її радіуса-вектора і кутом між полярною віссю і радіусом-вектором.

Як завжди, додатній кут отримується поворотом проти годиникової стрілки. Якщо задані r та  , то точка визначається однозначно на пллощині. Якщо ж задати точку, то rвизначається однозначно, а  - неоднозначно, а з точністю до доданка 2kπ.

Для того, щоб ліквідувати таку неоднозначність, домовимось, розглядати кут в межах 02 або -. Тоді виникає взаємнооднозначна відповідність між точками площини і числамиrта.

Означення.Числаrтаназиваються полярними координатами точки. Числоr– полярним радіусом, кут- полярним кутом точки М .

Знайдемо звязок між полярними координатами точки і декартовими прямокутними. Введемо декартову прямокутну систему координат таким чином, що її початок збігається з полюсом, а вісь Ох з полярною вісью.

Використовуючи теорему про геометричний змістдекартових прямокутних координат, маємо

.

(90-) = r sin .

Якщо відомі rта, тоxіyможна обчислити за формулами

x = r cos 

y = r sin  .

Поставимо обернену задачу: відомі xтаy, треба знайтиrта.

З попередніх рівностей маємо:

З цих рівностей випливає

+) ,

, ,

, .

3. Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задано комплексне число = (a,b) = a + bі , деaіb– декартові прямокутні координати точки, що зображає комплексне число.

Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х.

Нехай точка має полярні координати(r,). Використовуючи звязок між декартовою і полярною системами, маємо

 = a + bi = rcos + rsin

Звідси  = r (cos + isin), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою,r– модуль комплексного числа(r = ),- аргумент к( = arg ).

Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.

Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі

 = r₁ (cos + i sin)

 = r₂ (cos + i sin) .

Треба одержати   = r (cos  + i sin ) . Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо.

  = (cos+sin) () =

=,

тобто = (cos(+)+isin(+) ).

Звідси випливає:

r=r₁r₂,r=||,r₁=||,r₂=||, ||=||||.

 = +, = arg () , = arg , = arg , arg () = arg  + arg  .

Таким чином ми одержали, що

1. модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів.

2. аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів.

Підсумовуючи це, маємо

Правило:Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи.

Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі

Домножимо чисельник і знаменник на

Отже, отримали правило

,arg () == arg - arg .