- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
З’ясуємо геометричний зміст поняття лінійної залежності.
Теорема 1. Для того, щоб система з одного вектора була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб цей вектор був нульовим.
Теорему 1 було обґрунтовано у зауваженні попереднього параграфу.
Теорема 2. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх колінеарність.
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.
Доведемо, що вектори колінеарні.
Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності). Тоді , тобто вектори колінеарні.
Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.
Можливі випадки:
1) Принаймні один з векторів нульовий. Тоді твердження очевидне, тому що в системі міститься лінійно залежна підсистема.
2)Обидва вектори ненульові.
Для доведення потрібна такалема.
Лема. Якщо і , то : .
Дійсно, якщо , то , якщо , то .
Згідно із лемою маємо, що . Таким чином система лінійно залежна.
Теорему доведено.
Теорема 3. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні. Тоді за означенням 1 лінійної залежності існує вектор (наприклад, ), що є лінійною комбінацією інших .
Візьмемо точку Аі прикладемо до неївектори .Побудуємо паралелограм зі сторонами.
(для визначеності )
Тоді з попередньої рівності випливає, що – сторони і діагональ паралелограма. Отже ці вектори компланарні. Оскільки , то векторитакож компланарні.
Достатність. Припустимо, що – компланарні. Покажемо, що вони лінійно залежні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то в системі є лінійно залежна підсистема і тому вся система залежна. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні.
Прикладемо вектори до однієї точки А і побудуємо паралелограм ABDCздіагоналлю і сторонами, що знаходяться на прямих, на яких знаходяться вектори . Тоді .
Оскільки , то . Тоді , тобто є лінійною комбінацією і . Отже вектори лінійно залежні за першим означенням.
Теорему доведено.
Теорема 4. Довільнічотиривектори геометричногопростору лінійно залежні.
Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.
Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо паралеліпіпед, діагональ якого є , а ребра знаходяться на прямих, що містять вектори .
За означенням додавання векторів маємо . Оскільки ,маємо .
Тоді , а тому – лінійно залежна.
Теорему доведено.
Зауваження.Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.
Поняття базису простору і площини
Означення. Максимальноюлінійно незалежною системою векторів простору (площини) називається така лінійно незалежна система векторів, приєднання до якої будь-якого вектору простору (площини) приводить до лінійно залежної системи.
Означення. Базисом називається упорядкована максимальна лінійнонезалежна система векторів простору(площини).
З попереднього випливає, що базисом площини є будь-яка упорядкована система двох неколінеарних векторів, а базисом простору – будь-яка упорядкована трійка некомпланарних векторів.
Теорема. Будь-який вектор площини(простору) можна розкласти і при тому єдиним чином за векторами базису.
Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі.
Розглянемо базисні вектори .Візьмемо довільний вектор .
Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної залежності.
Тож маємо .
Доведемо єдиність розкладання.
Припустимо супротивне, що для має місце ще одне розкладання.
.
Зауважимо, що оскільки розкладання відрізняються, то різними є принаймні одна пара коефіцієнтів ci, di. Припустимо (для визначеності), що .
Тоді отримуємо:
Оскільки , то отримано рівність , що стверджує про лінійну залежність векторів базису. Отримано суперечність до означення базису.
Теорему доведено.
Означення. Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.