4. Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь

   1. Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширенної матриці.

Означення. Матрицею системи називають матрицю утворену з коефіціентів при невідомих.

Розширеною матрицею називають матрицю системи, яка утворена з матриці системи приєднанням стовпця вільних членів.

Доведення теореми. Нехай задана система

₍₁₎

, .

Необхідність. Нехай система (1) сумісна. Треба довести, що rA=r. Скористаємось умовою, що система (1) сумісна: Нехай () – розв’язок системи (1).

За означенням розв'язку маємо систему правильних числових рівностей

Ці рівності означають, що останній стовпець матриці є лінійною комбінацією стовпців матриці А. З цього випливає, що максимальна кількість стовців матриці А збігається з максимальною кількістю стовпців матриціА , тобто r A = rA.

Достатність. Нехай rA=rA. Треба довести, що система (1) сумісна. Тоді

будь-яка максимальна лінійно незалежна система стовпців матриці А залишається максимально лінійно незалежною системою і в матриці А. Таким чином, через цю систему, а тому і взагалі через систему стовпців матриці А, лінійно виражається останній стовбець матриці А. Отже, існує така система коефіцієнтів , що сума стовпців матриці А, взятих з цими коефіцієнтами, дорівнює стовпцю з вільних членів, а тому числає розв’язком системи (1). Таким чином, якщоr A = r , система (1) сумісна.

2. Критерій визначеності і невизначеності системи

Теорема.

1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r<n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною.

2. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення дорівнює n (rA=r=n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є визначеною.

Доведення. Нехай задано систему

За умовою rA=r=n

Рівність рангів означає, що в матриці і є лише р лінійнонезалежних стовпців. Для визначенності, нехай це будуть перші р стовпців. Це також означає, що в матриц і лише р - лінійно-залежних рядків. Нехай для визначенності це будуть перші р - рядків. тому мінор р - того порядку, не рівний нулю розташований у лівому верхньому куту. Для системи (1) з попередньої інформаії випливає, що в ній лише р - лінійно незалежних рівнянь, причому за нашим припущенням це перші р з них, а інші s-р рівнянь є їх лінійними комбінаціями, тому за допомогою елементарних перетворень їх можна перетворити на рівняння такого типу , отже їх можна відкинути.

В отриманій системі ліворуч запишемо ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюютъ визначник р-того порядку, не рівний нулю. За нашим припущенням це перші р. Отже, отримаемо систему

(4)

.

Будемо розглядати цю систему, як системуррівнянъ зрневідомими і з визначником, що не дорівнює нулю. Застосуємо теорему Крамера. Тоді матимемо для:

(5)

Розглянемо два випадки.

1. Нехай p<n. Тоді існують вільні невідомі в тому сенсі, що їх можна задавати довільно. Тобто, в цьому випадку система має безліч розв’язків, а тому є невизначеною.

2. Нехай p=n. Покладемо в (5) :

Тобто в цьому випадку вільних невідомих система не має, тому система має один розв’язок , а тому є визначеною.

З формули (5) отримаємо співвідношення (**) для однорідної системи, важливе для наступного розділу.

Означення. Однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається лінійна система, вільні члени якої дорівнюють нулю.

Запишемо формулу (5) для однорідної системи:

Розкладемо цей визначник за елементами k-того стовбця

Розкриємо всі дужки, зведемо подібні, тоді отримаємо:

.