- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
Розглянемо в просторі (на площині) множину всіх направлених відрізків. В цій множині можна по-різному ввести означення рівності напрямленнях відрізків і отримати три поняття вектора.
Означення 1. Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:
вони колінеарні (знаходяться на одній або паралельних прямих);
мають однаковий напрямок;
мають однакові довжини.
Означення 2. Вільним вектором називається множина всіх рівних між собою в сенсі означення 1 напрямлених відрізків.
Введемо іншим чином означення рівності.
Означення 1'. Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:
вони колінеарні;
мають однаковий напрямок;
знаходяться на одній прямій;
мають однакові довжини.
Означення 2'. Ковзним вектором називається множина всіх рівних між собоюусенсі означення1'напрямлених відрізків.
Означення 1''.Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо :
в них рівні довжини;
знаходяться на одній прямій;
однаково направлені і мають спільний початок.
Означення 2''. Зв'язаним вектором називається множина рівних між собою в сенсі означення 1'' напрямлених відрізків.
З останнього означення випливає, що зв'язаний вектор дорівнює лише собі. В даному курсі розглядатимемо лише вільні вектори.
Над векторами вводяться дві основні лінійні операції :
додавання векторів;
множення векторана число.
Означення 3. Сумою двох векторіві , називається вектор, що умовно позначається, початок якого знаходиться в початку вектора, кінець – у кінці вектора, за умови, що початок векторазнаходиться в кінці вектора.
Означення 4. Добутком вектора а на число к називається вектор, що умовно позначається і має такі властивості:
, якщо , і , якщо
не має певного напрямку, якщо .
Властивості лінійних операцій (довести самостійно).
–комутативність додавання.
–асоціативність додавання.
Існує так званий нульовий вектор , тобто такий, для якого
для довільного вектора .
Зрозуміло, що початок і кінець нульового вектора збігаються, тобто він має нульову довжину, а напрямок цього вектора невизначений.
Для будь-якого вектора існує так званий протилежний вектор , тобто такий, що .
Вектори та мають протилежні напрямки та однакові довжини.
для довільного вектора .
–асоціативність множення на число.
– дистрибутивність.
– дистрибутивність.
Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
Означення. Лінійною комбінацією векторівназивається вектордеpi- будь-які числа.
Означення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо принаймні один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.
Інакше кажучи, .
Означення 2. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують числа , серед яких принаймні одне , що виконується рівність:
.
Теорема. При перше і друге означення лінійнозалежної системи еквівалентні.
Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.
Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):
.
Додамо до обох частин даної рівності вектор протилежний до :
Внаслідок комутативності і означення нульового вектора маємо:
Тобто , що виконується і рівність ісистема лінійно залежна за означенням 2.
Нехай тепер система векторів лінійно залежна за означенням 2:
().
Треба довести, що .
Додамо вектор до лівої та правої частини даної рівності:
Відомо, що , тоді помноживши обидві частини рівності на маємо:
Тобто система є лінійно залежною за означенням 1.
Теорему доведено.
Зауваження. При , означення 1 лінійної залежності втрачає сенс, тоді як за означенням 2 рівність при стає, тобто . Маємо, що система з одного вектора лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.
Теорема. Якщоусистемі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.
Доведення.
Нехай задана система . Візьмемо її підсистему. Не зменшуючи загальності міркувань вважатимемо, що підсистема – лінійно залежна. Тоді :.
Запишемо рівність в такому виді:
Тодітакі, що .
Система лінійно залежна за означенням 2.
Теорему доведено.
Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .
З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно незалежна, то всі її підсистеми також лінійно незалежні.