4. Скалярні матриці.

Означення. Скалярною матрицею називається матриця вигляду

.

До класу скалярних матриць належить одинична матриця, а також нульова.

Позначимо k  Е = .

Доведемо, що кЕ комутує з будь-якою матрицею

(к Е) А = А (к Е ) , А .

Безпосереднім множенням матриць, переконуємося

1. ( к Е ) А = .

2. А ( к Е ) = .

Звідси випливає, що скалярна матриця комутує в добутку з будь-якою матрицею А. Насправді справедливе і обернене. А тому має місце така теорема.

Теорема. Для того, щоб матриця була скалярною, необхідно і достатньо, щоб вона комутувала з будь-якою матрицею .

5. Операції над прямокутними матрицями.

Розглянемо прямокутні матриці. З’ясуємо за яких умов операції над прямокутними матрицями можна здійснювати за тими ж правилами, що й над квадратними.

Почнемо з прикладів :

- таке множення не можливо.

,

,.

Проаналізувавши наведені приклади, приходимо до такого правила множення прямокутних матриць.

Правило: Дві прямокутні матриці можна перемножити, якщо кількість елементів в рядку першої матриці збігається з кількістю елементів в стовпці другої матриці, тобто кількість столбців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, причому добуток має стільки рядків, скільки їх в першій матриці, і стільки стовпців, скільки їх в другій матриці.

Властивості прямокутних матриць.

1. Множення прямокутних матриць не комутативне.

2. Множення трьох матриць (якщо їх можна перемножити), підпорядковується асоцітивному закону, тобто (АВ)С = А(ВС) .

Доведення таке саме, як для квадратних матриць.

Розглянемо тепер і множення прямокутних матриць на число.

Аналізуючи операцію додавання квадратних матриць, приходимо до висновку, що додавати можна матриці однакових розмірів. А множити на число можна будь-яку матрицю.

Так само, як для квадратних матриць можна довести, що множина всіх прямокутних матриць одного розміру (sn) є векторним простором відносно операцій додавання і множення матриці на число. Причому, арифметичним простором вимірності (sn) .

Так само, як для квадратних матриць, можна вказати базіс простору. Ці матриці мають нульові єлементи, крім одного. Цей єлемент є 1. Таких матриць (sn).

6. Псевдообернені матриці.

Почнемо з інформації про ранг добутку матриць, яка виявиться корисною при з’ясуванні умов існування псевдообернених матриць.

Відмітемо без доведення теорему.

Теорема.Ранг добутку матриць А і В не перевищує ранг матриці А і ранг матриці В.

Для подальшого важливим є наслідок з наведеної теореми.

Наслідок.Ранг добутку двох матриць А і В, з яких одна, наприклад В , невироджена, дорівнює рангу матриці А.

Доведення. Нехай С = А  В, detB0. (1)

Треба довести, що rC=rA.

З теореми випливає, що

r C  r A , (2)

з того, що det B0, випливає, що існує матриця . П омножимо обидві частини рівності на: С= А B. З того, що множення має властивість асоціативності, матимемо, С= А Е=А. Застосуємо ще раз доведену теорему.

rArC (3)

З (2) та (3) випливає, щоrА =rС.

Нехай задано прямокутну матрицю А=() , розміруsn,

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається псевдооберненою лівою, якщо вона задовольняє умові:

А=Е.

Аналогічно вводиться поняття псевдооберненої правої матриці, якщо вона задовольняє умові:

А=Е.

Для того, щоб зясувати умови існування псевдообернених матриць, треба розподілити всі прямокутні матриці на два класи: горизонтальні та вертикальні.

Означення. Матриця називається горизонтальною, якщо кількість рядків в ній менша за кількість стовпців.

Матриця називається вертикальною, якщо кількість стовпців в ній менша за кількість рядків.

Теорема 1.Жодна горизонтальна матриця немає псевдооберненої лівої.

Доведення. Нехай матриця А – горизонтальна матриця, тобто s<n.Тоді за означенням виконується рівність  А = Е . В матриці Е повинно бути стільки стовпців, скільки в матриці А, тобто квадратна матриця Е має розмір nn. Ранг матриці Е дорівнює n, тому що в ній є мінор n-го порядку, що не дорівнює нулю. З іншого боку, застосуємо теорему про ранг добутку двох матриць.

n =r E  r A  s , n  s, що суперечить умові. Так само може бути доведено теорему 1 .

Теорема 1. Жодна вертикальна матриця не має оберненої правої.

Для того, щоб зясувати, за яких умов горизонтальна матриця має праву, а вертикальна – псевдообернену ліву, треба ввести поняття рядковоневиродженної і стовпцевоневиродженної матриць.

Означення. Матриця називається рядкововиродженною, якщо її стовпці утворюють лінійнонезалежну систему.

Матриця називається стовпцовоневиродженною, якщо її стовпці утворюют лінійнонезалежну систему.

З цього означення випливає, що горизонтальна матриця не може бути стовпцевоневиродженною, а вертикальна – рядковоневиродженною.

Теорема 2.Для того, щоб матриця мала псевдообернену праву, необхідно і достатньо, щоб вона була рядкововиродженною.

Доведення.

Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто rA=s.

З того, що існує , випливає А = Е (ss). З цього випливає, що rE=s . З теореми про ранг добутку матриць s = r E  r A  s . Тобто rA=s.

Достатність. Нехай матриця А – рядкововиродженна (rA=s). Треба довести, що існує . Для цього з’ясуємо, чи існує така матриця Х, що А Х = Е.

Як відомо для можливості множення матриця Е має бути (s×s), а тоді Х має бути (n×s).

Отже матриця Х задовольняє умову:

. (4)

Безпосереднім множенням знайдемо елементи першого рядка добутку матриць

(5)

Треба довести, що система (5) сумісна. Для цього треба довести, що виконуються умови теореми Кронекера-Капеллі:

.

За умовою теореми rA = s. Ранг r також дорівнює s, тому що вона містить мінор s- го порядку, що не дорівнює нулю. Це мінор матриці А, а мінорів більш вищого порядку для утворити неможливо, тоді з теореми про рангr = s.

Таким чином, виконується теорема Кронекера-Капеллі. Система (2) сумісна. Розвязавши її , знайдемо перший стовпчик шуканої матриці Х. Більш того, зауважемо, що система (2) має безліч розвязків. ОскількиrA=s<n, то виконуються умови критерія невизначеності. Так само отримаємо систему рівнянь, що містить другий стовпчик матриці Х:

Так само доведемо, що система сумісна. Поступаючи аналогічним чином, отримаємо систему для останнього стовпця матриці Х.

Отже доведено, що існує псевдообернена права матриця Х для матриці А. Більш того, вона не єдина, їх безліч.