- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Комплесні числа.
Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розвязати навіть таке просте рівняння .
Тоді спробували побудувати таку множину чисел, які б геометрично зображувалися не тільки точками прямої, а точками всієї площини.
y
b
d
x
0 a c
Така спроба виявилась успішною. Побудована множина чисел була названа множиною комплексних чисел.
Побудуємо спочатку множину комплексних чисел геометрично. Розглянемо площину, на якій введено декартову прямокутну систему координат.
Числа, які ми хочемо побудувати, будемо зображувати точками цієї площини і позначати буквами грецького алфавіту. Кожна точка є упорядкованою системою координат (a,b), тобто двох дійсних чисел =(a,b).
Введемо для чисел- точок дві основні операції : додавання та множення
= (a , b), = (c , d ) .
Ознчення 1. Під сумою чисел-точок і розуміють таку точку, яку умовно позначаємо + = (a+c,b+d).
Означення 2. Під добутком чисел-точок і розуміють таку точку, що умовно позначається = (ac-bd,ad+bc) .
Можна довести (пропонується зробити це самостійно), що введені операції мають такі властивості:
+ = + (закон коммутативності додавання)
+ ( + ) = (+) + (закон ассоціативності додавання)
= (закон комутативності множення)
( ) = ( ) (закон ассоціативності множення)
( + ) = + (закон дистрибутивності)
При цьому ми виходимо з такого означення рівності.
Означення 3.Точки-числа вважаються рівними, якщо в них рівні відповідні декартові координати.
Зясуємо питання про існування обернених операцій до операцій додавання та множення. Але спочатку дамо загальне означення операцій, обернених до даних.
Нехай в множині М визначена бінарна внутрішня алгебраїчна операція ().
Означення 4. Говоритимемо, що в множині М існує обернена операція до операції (), якщо для будь-якої упорядкованої пари (x,y) елемента з множини М існують єдині єлементи z1 та z2, що задовольняють рівності
yz1=x,
z2y=x,z1,z2M.
Зауважено, що коли операція () комутативна та елементи z1та z2рівні.
Застосуємо поняття оберненої операції для зясування існування оберненої операціїдо додавання.
Розглянемо будь-яку упорядковану пару чисел,.Поставимо питання: чи існує точка-число(x,y), такащо (c,d) + (x,y) = (a,b).
За означенням 1 і 3 маємо:(c+x,d+y) = (a,b)
c + x = a x = a - c
d + y = b y = b - d
Таким чином доведено, що така точка = (a-c,b-d) існує.
Отже додавання існує обернена операція, яка називається віднімання. Для точки вводиться позначка = - .
Зясуємо питання для існування оберненої операції для множення, тобто чи існує для будь-якої пари-точок , така точка = (x,y), що = .
Використовуючи означення 2 та 3 маємо:
= (cx-dy,cy+dx) = (a, b)
Обчислимо визначник системи:
= , якщо виконується принаймні одна з нерівностей c≠0,d≠0.
З теореми Крамера випливає, що ця система має єдиний розвязок .
Таким чином, ми довели, що обернена операція існує
= ,
і називається діленням, крім ділення на β=(0,0).
Введемо геометричне означення комплесних чисел.
Означення 5. Множиною комплексних чисел називається множина чисел, що геометрично зображаються точками площини, для яких введено дві основні алгебраїчні операції в відповідності з означенням 1 та 2 і рівність в відповідності з означенням 3.
Оскільки точка ототожнюється з парою дійсних чисел (її координат), то означення 5 може бути формалізоване.
Означення 5. Множиною комплексних чисел називають множину вселяких упорядкованих пар дійсних чисел, для яких введено дві алгебраїчні операції: додавання і множення згідно з означенням 1 і 2, та поняття рівності згідно означення 3.
Доведемо, що побудована система чисел є розширенням множини дійсних чисел, тобто:
всі дійсні числа належать побудованій множині чисел;
в побудованій множині є число, що не є дійсним, а саме - корінь рівняння .
Доведення.
Розглянемо точку-число виду (а,0) і ототожнемо таку точку-число з дійсним числом (с,0). Доведемо, що додавання в сенсі означення1, не суперечить звичайному додаванню дійсних чисел.
Отже, задамо два числа вигляду (а,0) = а, (с,0) = с. Тоді за означенням 1 маємо (а,0) + (с,0) = (а+с,0). Отже отримали дійсне число а+с.
Так само доведемо, що й друга операція не знаходиться в суперечності з означенням 2. За означенням 2 маємо:
(а,0) (с,0) = (ас - 00, а0 + 0с) = (ас,0).
Тобто всі дійсні числа знаходяться на осі Ох, яку називають дійсною вісссю.
Розглянемо упорядковану пару дійсних чисел х = (0,1). Доведемо, що це комплексне число є коренем рівняння x2+1=0.
Насправді:
= (0,1)(0,1) = (00 - 11, 01+10) = (-1, 0) = -1.
Таким чином ми довели, що в множині крім дійсних чисел, міститься число, що точно не є дійсним (оскільки для жодного дійсного числа неможливе x2=-1). Для цього важливого числа вводять позначку (0,1) = і .
Алгебраїчна форма комплексних чисел.
Нехай задано комплексне число = (a,b). Доведемо, що будь-яке комплексне число можна подати у вигляді = а + bі .
З означення додавання маємо = (a,b) = (а,0) + (0,b).
З означення множення випливає: (b,0) (0,1) = (b0 - 01, b1 + 00) = (0,b).
Таким чином ми довели, що число (0,b) =bі .
Отже, = а + bі. ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.
В алгебраїчному записі = а + bі , а – називається дійсною частиною комплексного числа, b – уявною частиною і позначаються вони a = Re , b = Im відповідно.
Операції над комплексними числами в алгебраїчній формі.
Нехай два комплексних числа в алгебраїчній формі
= (a,b) = a +bі ,
= (c,d) = c +dі .
Скористаємося правилом додавання за означенням 1 та поданням комплексного числа в алгебраїчній формі
+ = (a+c, b+d) = a+c + (b + d)і .
Таким чином, ми отримали правила додавання в алгераїчній формі.
Розглянемо тепер множення в алгебраїчній формі. За означенням 2 маємо
= (ас-bd,ad+bc) = (ac-bd) + (ad+bc)і .
Спробуємо перемножити
= (а+bі)(c+dі) = ac+adі+bcі+bi2d,
= (ас-bd) + (bc+ad)і ,
тобто в алгебраїчній формі два комплексних числа перемножаються як дві суми, при цьому враховується, щоi2=-1.