- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
Використовуючи знак підсумовування, і-те рівняння системи (1) можна записати в вигляді
А тоді всю систему (1) можна подати в вигляді
Для системи (1) розв’яжемо задачі, які ставляться в теорії лінійних алгебраїчних рівнянь:
питання сумісності;
питання визначеності і невизначеності.
Зрозуміло, що будь-яка однорідна система має розв’язок (0,0,…,0) (його називають нульовим або тривіальним), тому однорідна система завжди сумісна. Цей же результат випливає з теореми Кронекера-Капеллі, яка виконується для будь-якої однорідної системи.
З’ясуємо умови визначеності однорідної системи, застосувавши вже відомий критерій:
Якщо ранг rA=n (n- кількісь невідомих), то система (1) має лише один розв’язок – нульовий, і система (1) є визначеною.
Якщо ранг rA<n (n- кількісь невідомих), то система (1) має безліч розв’язків і система (1) є невизначеною.
Розглянемо властивості розв’язків однорідної системи.
Властивість 1. Сума двох розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.
Властивість 2. Добуток розв’язку однорідної системи на деяке число є також розв’язоком однорідної системи.
Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.
Нехай і –розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1).
Розглянемо систему в вигляді (1’). Тоді з означення розв’язку, маємо системи правильних числових рівностей:
(2)
(3)
Підставимо в ліву частину системи (1’) –замість .
Отже є розв’язком системи (1).
З доведених властивостей випливає.
Наслідок. Будь-яка лінійна комбінація будь-яких розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.
Введемо важливе для однорідної системи поняття фундаментальної системи розв’язків.
Означення. Максимальна лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи рівнянь називається її фундаментальною системою.
З цього означення випливає, що фундаментальна система розв’язків задовольняє дві умови:
розв’язки, що входять до фундаментальної системи – лінійно незалежні;
будь-який інший розв’язок є лінійною комбінацією цих розв’язків.
З’ясуємо скільки розв’язків входить до фундаментальної системи.
Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна розглядати як вектор n-вимірного арифметичного простору. Раніше було доведено, що в n-вимірному арифметичному просторі найбільша кількість лінійно-незалежних векторів містить n-векторів. Отже маємо попередній висновок: фундаментальна система розв’язків містить не більше n розв’язків. Більш точну інформацію містить наступна теорема.
Теорема. (про фундаментальну систему розв’язків)
Якщо ранг p матриці A менше кількості невідомих n, то однорідна система рівнянь має фундаментальну систему розв’язків, причому кількість розв’язків, що входить до фундаментальної системи дорівнює n-p.
Доведення. Нехай задано однорідну систему рівнянь
(1)
Нехай ранг матриці
=p.
Тоді кількість фундаментальних розв’язків (n-p). З того , що ранг rA=p<n випливає , що система (1) невизначена, тобто має безліч розв’язків.
Запишимо всі розв’язки в вигляді (**)
, (**)
(зробивши попередньо для системи (1) припущення, при яких було отримано (**)).
Виберемо з цієї нескінченної множини розв’язків, (n-р) розв’язков за таким правилом :
1. Надамо вільним невідомим значення
Підставимо ці значення в формулу (**) , отримаємо значення для
.
2. Надамо вільним невідомим другий раз інші значення . Підставимо в (**), отримаємо другий розв’язок.
….
Надамо вільним невідомим (n-p) раз значення .
Підставимо їх в (**), отримаємо
Отже ми отримали систему розв’язків:
1-ий розв’язок ()
2-ий розв’язок () (2)
…
() розв’язок ()
Зауважимо, що вільні невідомі в розв’язках (2) вибирались будь-як, але за однією умовою
(3)
Доведемо, що система розв’язків (2) є фундаментальною.
Для цього ми повинні довести, що :
Розв’язки (2) лінійно незалежні.
Приєднання до (2) будь-якого розв’язку системи приводить до лінійно залежної системи.
Для доведення першого пункту розглянемо матрицю К :
1. Доведемо rK=n-p.Це випливає з того що в цій матриці за умовою (3) є мінор порядку (n–p), що не дорівнює нулю. Мінорів більш високого порядку не можна скласти. Тоді з теореми про ранг матриці rK = n – p.
З того, що rK = n – p , використовуючи другий наслідок з теореми про ранг випливає, що в матриці К є лише (n – p) лінійно незалежних рядків. А в рядках записано розв’язки (2), тобто вони лінійно незалежні.
2. Для доведення другого пункту розглянемо довільний розв’язок системи (1) . Приєднаємо його до системи розв’язків (2) і доведемо, що отримана система розв’язків вже лінійно залежна. Для цього утворимо матрицю:
.
Доведемо, що ранг і цієї матриці дорівнює r=n – p.
Доведемо, що в цій матриці лише (n–p) лінійно незалежних стовпців. Саме з цього тоді випливатиме, щоr=n–p. З того, що мінор в правому верхньому куту не дорівнює нулю, випливає, що останнні (n–p) стовпців матриці лінійно незалежні. Доведення цього факту таке ж саме як і в першій частині про ранг.
Доведемо, що перший, другий, і т.д. р-ий стовпчик матриці є лінійною комбінацією останніх (n – p ) стовпців. Це твердження випливає з формули (**).
Насправді, в першому стовпчику матриці записано значення для x1 , в другому для x2 , і т.д., в n-ому стовпчику – для xn. З формули ж (**) випливає, що x1,…, xp є лінійною комбінацією xp+1,…, xn.
Тобто в матриці – лінійно незалежними є лише останні (n-p) стовпців. Таким чином максимальна лінійно незалежна система розв’язків (ФСР) складається з (n-p) розв’язків.
Теорему доведено.
Зауваження. ЯкщоrА = р =n, то в цьому випадку система визначена, має один тривіальний розв’язок, а система з одного нульововго вектора лінійно залежна, тому фундаментальної системи розв’язків немає.
Розглянемо множинурозв’язків однородної системи з точки зору векторного простору. Множина розв’язків однорідної системи є підмножиною n-вимірногоарифметичного простру. Більш того з властивостей розв’язків однорідної системи випливає, що в цій підмножині визначені операції додавання векторів і множення вектора на число. Тоді як випливає з попереднього множина усіх розв’язків однорідної системи є підпростором арифметичного простору. Базисом цього підпростору є фундаментальна система розв’язків. З тереми про фундаментальну систему випливає, що вимірність цього підпростору дорівнює n-r (n – кількість невідомих, r – ранг матриці системи).