- •Векторна алгебра
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
- •Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
- •Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
- •Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.
- •Поняття базису простору і площини
- •Афінна система координат.
- •Додатковий матеріал з векторної алгебри
- •Поняття лінійного простору.
- •Найпростіші властивості векторного простору.
- •Теорія визначників n-го порядку.
- •Перестановки з n символів.
- •Підстановки n-го степеня.
- •Поняття і властивості визначника n-го порядку
- •Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
- •Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
- •Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
- •Векторний простір
- •Подальше вивчення векторного простору.
- •Поняття рангу системи векторів.
- •Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
- •Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
- •Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Критерій визначеності і невизначеності системи
- •Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
- •Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
- •Алгебра матриць
- •Множиння матриць.
- •Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
- •Операції додавання і множення на число.
- •Скалярні матриці.
- •Операції над прямокутними матрицями.
- •Псевдообернені матриці.
- •Комплесні числа.
- •Побудова множини комплексних чисел.
- •Полярна система координат.
- •Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
- •Операції піднесення до степеня
- •Операція здобуття кореняn-ого степеня з комплексного числа
- •Кореніn-ого степеня з одниці
- •Комплексно-спряжені числа
- •Нерівність трикутника
- •Література
Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
Нехай задано неоднорідну систему
,(1)
Означення.Відповідною однорідною системою називається система
, (2)
з тими ж самими коефіцієнтами .
Звя’язок між розв’язками системи (1) та (2) описується наступними теоремами.
Теорема 1.Сума розв’язків неоднорідної і відповідної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є розв’язком неоднорідної системи .
Теорема 2. Різниця двох розв’язків неоднорідної системи є розв’язком відповідної однорідної системи.
Доведення теореми 1.Нехай () – розв’язок системи (1), () – розв’язок системи (2). Треба довести , що- розв’язок системи (1) .
За означенням розв’язку маємо систему правильних числових рівностей
, () (3)
, () (4)
Підставимо в ліву частину системи (1) замість .
()
Перша властивість доведена.
Доведення теореми 2.Нехай () , () – розв’язки системи (1). Розглянемо упорядкований набір. Ми повинні довести, що це розв’язок системи (2) .
За означенням розв’язку маємо системи правильних числових рівностей:
, (), (3)
, (). (3’)
Підставимо в ліву частину рівнянь системи (2) замість числавідповідно і обчислимо її.
.
Таким чином , одержуємо правильних числових рівностей.
Твердження. З цих двох теорем випливає такий алгоритм розв’язування неоднорідної системи рівнянь : множину всіх розв’язків можна одержати додавання до кожного розв’язку множини розв’язків однорідної системи одного розв’язку (окремого) неоднорідної системи.
Доведенння твердження.
Нехай Н=– множина розв’язків системи (1),
– множина розв’язків системи (2).
Нехай - окремий розв’язок системи (1).
Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної системи.
+=** є Н - розв’язок системи (1) .
Виникає питання, може система (1) має інші розв’язки, що отримуються за іншим алгоритмом ? Доведемо, що цього не може бути.
2) Нехай є Н. Доведемо, щоможна одержати додаванням доякогось розв’язку з множиниQ . Розглянемо різницю (-). Тоді за теоремою 2 , це розв’язок системи (2), тобто (-) =* єQ. Отже.
Алгебра матриць
Розглянемо спочатку квадратні матриці одного і того ж n- го порядку. Для матриць введено три операції :
множиння матриць;
додавання матриць;
множиння матриці на число.
Множиння матриць.
Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С того ж самого порядку, що матриці А та В, елементи якої утворюються за таким законом:
елемент розташованний в і-тому рядку та к-му стовпцю матриці С дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці А на відповідні елементти к-того стовпця матриці В.
А=, В=
.
Закони множення.
Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких АВ ВА .
А=, В=.
АВ = =,
ВА = =.
З наведеного прикладу бачимо, що АВ ВА . При цьому ми виходили з такого означення рівних матриць.
Означення. Матриці А і В називаються рівними, якщо на одних і тих самих місцях знаходяться рівні елементи.
Теорема . Множення матриць підпорядковується асоціативному закону.
Тобто ми повинні довести, що для будь-яких матриць А, В і С має місце рівність
( А В ) С = А ( В С ) .
Нехай
А=() , В=() . А В = D= ()
( А В ) С = C D=F(), ( В С ) = Р ()
А (В С ) = А Р = Т () .
В цих позначеннях треба довести, що F= Т , тобто (= 1,2,…,)
Обчислимо
, (1)
, (2)
Підставимо (2) в (1) , отримаємо
(3)
Преходимо до обчислення .
(4)
(5)
Підставимо (5) в (4), отримаємо
(6)
Порівнюючи (3) і (6), приходимо до висавку, що , що й треба було довести .
Хоча множення матриць, взагалі кажучі, некомутативне, існує матриця, яка комутує з будь-якою матрицею А, і більш того, в добутку з даною матрицею не змінює цю матрицю А. Це так звана одинична матриця :
Е = .
Ця матриця має такі властивості :
1) А Е = А , А
2) Е А = А , А ,
а звідси випливає, що А Е = Е А .
Доведемо другу властивість.
Е А = =
= = А .
Так само доводиться перша властивість, тобто безпосереднім множенням.
Теорема. .
Доведеня. Нехай задано матриці А і В , а С – добуток цих матриць. Треба довести, що
detC=detAdetB.
Для доведення побудуємо визначник dпорядку 2n:
d= .
Застосуємо до перших n рядків цього визначника теорему Лапласа
d = det A det B (, тобто
d=detAdetB(1)
Перетворимо визначник dза допомогою восьмої властивості визначників. До (n+1) стовпчика додамо перший стовпець помножений на , другий – на , n-ий – на.
Аналогічно зробимо з (n+2)-им стовпцем, (2n)-им стовпцем. В правому нижньому куті отримаємо нульовий блок порядку n. А правий верхній кут, тоді перетворюється в елементи матриці С.
Застосуємо до цього визначника теорему Лапласа .
d=detC .
Користуючись формулою суми 2n членів арифметичної прогресії, маємо
d = det C , det C = det A det B .
Вправа. Довести самостійно єдиність одиничної матриці (скористатись методикою доведення єдиності нульового вектора будь-якого лінійного простору).