Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
4.3. Задача коммивояжера
,
(, )
ij i j
c hv v=
ij
x
i
v
j
v
,,ij ji
cc≠
ij
x
,,
11
min
nn
ij ij
ij
cx
= =
→
∑∑
u u nx n ij n i j
всех nпунктов, при котором общая длина пути минимальна.
Сформулируем задачу коммивояжера как задачу
на орграфе. Вершины графа — это пункты (города),
дуги — пути, вес
расстояние отпункта
допункта
каждой дуги
. Вобщем случае
— это
. Требуется построить простой цикл изn вершин
(и, соответственно, nдуг) минимального общего веса.
Как имногие задачи теории графов, эта задача допускает формулировку втерминах целочисленного линейного программирования. Введем в рассмотрение двоичные
переменные
, ассоциированные сдугами. Всего таких
переменных будет столько, сколько и ориентированных
дуг: m(n — 1). Каждая из них может принимать только
одно издвух возможных значений: 1 или 0 взависимости
оттого, входит или нет дуга вискомый цикл.
Целевая функция вданной задаче— это общий вес
дуг, входящих вцикл. Тогда вобщем случае математическая постановка задачи коммивояжера может быть
сформулирована следующим образом.
Найти минимум целевой функции:
при ограничениях
n
= =
1, 1,..., ;
xi n
ij
,
∑
j
1
=
n
= =
1, 1,..., ;
xj n
ij
,
∑
i
1
=
− +⋅ ≤− = ≠
i j ij
0,1 , , 1,..., ;
x ij n
∈=
{ }
ij
,
, 2,..., .
u Ri n
∈=
i
,
, (4.8)
1, , 2,..., , ;
— 81 —
(4.9)
4. Сетевые задачи транспортной логистики
i
v
j
v
i
u
ij
x
i
u
Первая и вторая строки в системе (4.9) означают,
что изкаждой вершины
дуга ив каждую вершину
должна выходить ровно одна
должна входить одна дуга.
В данной математической модели используются
также вспомогательные переменные
, которые могут
принимать любые действительные значения. Третья
группа ограничений (третья строка) в системе (4.9)
предназначена для того, чтобы цикл был полным, т.е.
состоял изn вершин иn дуг. Четвертая ипятая строки
в(4.9) означают, что
ными, а переменные
являются булевыми перемен-
− неограниченные действи-
тельные числа.
Таким образом, имеем смешанную задачу целочисленного линейного программирования. Смешанную—
потому, что часть переменных — целочисленные или
двоичные, ачасть— вещественные.
— 82 —
5. ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
j
y
1
j
y =
0
j
y =
{ }
1,...,jn∀∈
j
R
ij
x
ij
c
j
S
i
D
,,
11 1
min;
mn n
ij ij j j
ij j
c x Ry
= = =
+→
∑∑ ∑
ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКИ
5.1. Транспортно-складская задача
Транспортно-складская задача— задача оразмещении центров распределения (складов) ввиде модели
смешанного целочисленного линейного программирования [2, 7, 15, 17, 26].
Для построения математической модели задачи
вводятся следующие обозначения:
— двоичные переменные задачи, которые могут
принимать значения
и
— впротивном случае,
− ежемесячная стоимость аренды j-го склада;
— количество транспортных средств, отправленных
сосклада jв регион i;
— средние транспортные издержки наотправку гру-
за сосклада jв регион i;
— пропускная способность (мощность) j-го склада;
— спрос i-го региона (рынка).
Впринятых обозначениях, транспортно-складскую
задачу можно представить следующим образом.
Найти минимум целевой функции:
, если склад j арендуется,
,
(5.1)
— 83 —
5. Интегрированные задачи транспортной логистики
x N i mj n
0
j
y =
ij
x
j
y
при ограничениях
nn
≤=
x Sy j n
ij j j
,
∑∑
ii
11
= =
n
x Di m
= =
ij i
,
∑
j
1
=
0;
x
≥
ij
,
∈∪ = =
ij
,
∈=
0,1 , 1,..., .
y jn
{ }
j
, 1,..., ;
, 1,..., ;
0 , 1,..., , 1,..., ;
{ }
(5.2)
Первое слагаемое (5.1) отражает полные затраты,
связанные с отправкой груза, а второе слагаемое —
это полная стоимость аренды складов. Первая строка
всистеме ограничений (5.2)— это ограничения попропускной способности (мощности) складов. Если
,
тосо склада jневозможно отправить груз. Вторая строка в(5.2) гарантирует удовлетворение спроса врегионе
i. Третье ичетвертое ограничения— традиционные для
классической транспортной задачи ограничения нанеотрицательность и целочисленность переменных
.
Последнее ограничение указывает, что переменная
должна быть двоичной.
Модель задачи размещения центров распределения подробно рассмотрена в специальной литературе
[7, 12, 15, 17, 26].
5.2. Декомпозиция сложных объектов
транспортной логистики
Декомпозиция — это разбиение структуры сложной системы наподсистемы. Соответствующее построение модели ЗЛП позволяет заменить решение одной
— 84 —
5.2. Декомпозиция сложных объектов транспортной логистики
A
T
k
1
t
k
k
F==∑cx
00
1
,( ),
( )
, , 1,..., ,
kk k k
mk t= =
0, 1,..., .
k
kt≥=x
kk k
=Bx b
задачи большой размерности решением серии задач,
меньшей размерности. Существуют различные методы
декомпозиции структуры сложной системы на подсистемы [9,17, 27].
Сложной системе, поддающейся декомпозиции
навзаимосвязанные подсистемы, может быть поставлена всоответствие матрица ограничений
сблочно-ди-
агональной структурой [17]:
AA A
A
B
=
12
1
B
2
j
.
B
j
Задача линейного программирования с такой
структурой матрицы условий может быть записана следующим образом:
максимизировать
при условиях
Bx b строк
Такая структура возникает вмоделях, которые описывают процесс, разбитый нанесколько стадий. Вэтом
случае условия
t
Ax b
kk
∑
=
k
=
m
строк
содержат все ограничения,
— 85 —
5. Интегрированные задачи транспортной логистики
1,...,kt=
0
1
,
t
kk
k=
=
∑
Ax b
()
kk k
−Bx b
0
1
.
t
kk
k=
=
∑
Ax b
0
b
1
0
ii+
∩=b b
1
0
ii+
∩=xx
t
k
S
k
x
, 0
kk k k
= ≥Bx b x
k
S
1
,
r
k
k kj kj
j=
= λ
∑
xx
1
1, 1,. .. ,
r
k
kj
j
kt
=
λ= =
∑
0, 1,..., ,
kj k
jrλ≥ =
,
kj
x
1,...,
k
jr=
k
S
относящиеся к периоду
щих ограничений
, а группа связываю-
относится к условиям,
имеющим силу втечение всего планового периода.
Такая жемодель задачи пригодна для иерархических систем, где каждая полуавтономная подсистема
имеет свои собственные ограничения для
,
и,втоже время, подчиняется доминирующим ограни-
чениям
Если ограничения
ограничений
допускают разбиение
и переменных
,
томожно связывающие ограничения разложить нанесвязные компоненты, ирешить
задач меньшей размерности. Для достижения этой цели разработан метод
Данцига-Вулфа [31].
Предположим, что множество
летворяющих ограничениям
точек
, удов-
, является
замкнутым иограниченным. Это можно сделать, ограничив сверху каждую группу переменных.
Тогда любая точка множества
может быть пред-
ставлена ввиде:
где
ства
— вершины (угловые точки) множе-
.
— 86 —
5.3. Векторная оптимизация плана перевозок
A
)
0, .
0, 1,...,
kj k
jrλ≥ =
)
, .
j
l
j
ij
v
ij
I
1j
c
2j
c
3j
c
4j
c
Вэтом случае, исходная сложная система сматри-
цей ограничений
разбивается наавтономные подси-
стемы:
r
k
r
Ax строк
∑
j
1
=
=
kj kj k
(
)
Если такое разбиение сложной системы невозможно, тосистема разбивается наподсистемы суправляе-
мыми, по
r
k
Ax b строк
kj kj kj k
∑
j
1
=
, взаимосвязями:
=
r
(
)
5.3. Векторная оптимизация
плана перевозок
Одна изпроблем планирования перевозок встадии
приема заявок наперевозки грузов состоит воптимальном использовании пропускной способности участков
дорог. Основными ограничениями пропускной способности являются:
длина участка
число вагонов
кта
;
участковые скорости
интервалы движения
Эффективность использования пропускной способности участков дорог принято оценивать различными
показателями, например:
— число заявок наперевозку вагона поучастку j;
— размер провозной платы за перевозку вагона
поучастку j;
— грузооборот вагона (т⋅км) научастке j;
— вес груза ввагоне (т) научастке j, ит.д.
;
m
впоезде научастке отпункта i допун-
ij
научастках;
научастках.
— 87 —
5. Интегрированные задачи транспортной логистики
j
x
11 1
11 1
11 1
11
1
1
1
, 1, , 1, .
n
n
n
ij
ij
ij
nm
m mn
n mn
m mn
vv
II
mm
xl
v
I i mj n
m
xl
vv
II
mm
×≤ = =
A
mn×
11 1
11 1
11 1
1
1
1
.
n
n
n
ij
ij
ij
m mn
m mn
m mn
vv
II
mm
v
I
m
vv
II
mm
=
A
j
x
j
[ ]
T
12 n
xx x= …x
j
l
[ ]
T
12 n
ll l= …b
Условия, ограничивающие максимальную пода-
чу вагонов
на станции выгрузки ипогрузки, исходя из максимального размера движения на участке j,
представим системой неравенств:
Многомерная задача планирования перевозок может быть сведена кмногокритериальной задаче линейного программирования (МЗЛП).
Для компактной записи МЗЛП встандартной форме введем следующие обозначения.
Таблицу ограничений размеров движения вагонов
обозначим матрицей
размера (
):
Максимальные размеры движения вагонов
научастках
обозначим вектором x:
,
T
⋅
где
— символ транспонирования.
[ ]
Длины участков
обозначим вектором b:
— 88 —
5.3. Векторная оптимизация плана перевозок
ij
c
j
C
11 1
1
,
n
m mn
cc
cc
ij
c
max =xF Cx
≤Ax b
0≥x
[ ]
1 m
ff=F
T
{ }
=∈ ≤≥
ex
XX⊂
{ }
=∈=≥
Таблицу коэффициентов
научастках
представим матрицей C:
целевых показателей i
=
где n— число участков, m— число показателей эффективности перевозок. Здесь предполагается, что
на каждом участке значения коэффициентов целевых
показателей
могут различаться взависимости отха-
рактеристик участка ирода груза.
Сучетом введённых обозначений, формальная постановка многокритериальной задачи планирования
перевозок следующая:
, (5.3)
вусловиях ограничений:
где:
— вектор целевых показателей,
, (5.4)
. (5.5)
максимальные значения которых находятся через решение многокритериальной задачи оптимизации плана перевозок.
Точное аналитическое решение задачи (5.3)— (5.5)
может быть найдено алгебраическим методом следующим образом [20].
Намножестве допустимых решений:
X R| , 0
n
x Ax b x ,
рассмотрим выпуклый многогранник максимальных
решений:
:
X R| , 0
ex
— 89 —
n
x Ax b x .
5. Интегрированные задачи транспортной логистики
+
A
A
max
+
=x Ab
max
+
=F CA b
ij
I
j
ij
ω
j
N
j
x
fj
N
Всилу существования иединственности псевдообратной матрицы
рожденных прямоугольных матриц
, для положительных невы-
, вычисляется
максимальное решение многокритериальной задачи:
, (5.6)
Подставив максимальное решение (5.6) в (5.3)
получим максимальные значения целевых показателей:
, (5.7)
которые служат критериями оптимальности плана перевозок сучетом ограничений пропускной способности
участков железных дорог.
5.4. Векторная оптимизация
плана грузовой работы
Основными ограничениями перерабатывающей
способности терминалов полигона являются:
интервал движения
допункта
число вагонов
;
m
ij
техническая норма загрузки
перерабатывающая способность грузового фронта
Условия, ограничивающие максимальный поток
вагонов
, исходя из максимальной перерабатывающей способности
ставить векторно-матричным неравенством:
поездов научастке отпункта i
впоезде;
вагона;
.
грузового фронта j, можно пред-
— 90 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]