Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
6.6. Кратчайший кольцевой маршрут
3
7
1
3
16
20
2 5
14
5
15
20
4
7
15
16
2
8
6
10
7
1
8
11
1
3 6 9
Рисунок 6.6.7. Граф кратчайшего маршрута коммивояжера
16
— 141 —
7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
На выбор математических методов теории игр
в исследовании логистических задач, рассмотренных
вучебном пособии, повлияли три фактора.
Во-первых, решение практических задач, в цепи
поставок продукции, осуществляется в условиях неопределённости поведения всех участников.
Во-вторых, поусловиям задач логистики, требуется построить стратегию действий так, чтобы гарантировать оптимальный результат при любых возможных
стратегиях игроков.
В-третьих, все участники совместной деятельности
стремятся реализовать собственные стратегии достижения своих целей, которые часто противоположны
целям других участников.
Решением подобного рода задач занимается теория
игр, которая рассматривает конфликтную проблему
математическими методами.
7.1. Матричные игровые задачи
Напомним, кратко, основные положения итермины теории игр [5, 11]. Игрой называют конфликтные
ситуации при совместной деятельности двух участников А и В, имеющих конечное число стратегий достижения противоположных целей.
— 142 —
7.1. Матричные игровые задачи
ij
a
ij
a
ij
a
ij
a
( )
mn×
( )
mn×
aa a
aa a
aa a
Пусть игрок А имеет m стратегий: А1, А2, …, Аm,
а игрок В – n стратегий: В
стратегий (А
А
, аВ— стратегию Вj, ставится всоответствие символ
i
, Вj), когда Априменяет свою стратегию
i
, В2, …, Вn. Каждой паре
1
, числовое значение которого равно выигрышу игрока Ау игрока В (если
Аигроку В(если
Коэффициенты
размером
, где m– число строк, n– число столбцов таблицы. Вэтой таблице каждой стратегии А
ветствует строка i, акаждой стратегии В
A1a
A = A2a
> 0), или проигрышу игрока
< 0).
можно записать ввиде таблицы,
– столбец j:
j
B
B
1
a
11
a
12
… B
2
… a
12
… a
22
n
1n
2n
соот-
i
… … … … …
A
mam1
a
m2
… а
mn
Игровая задача состоит втом, чтобы найти такие
стратегии игры сторон Аи В, которые приводят кнаилучшему результату втом смысле, который определен
правилами игры. Различают антагонистические игры,
когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, икоалиционные
В случае одного показателя результативности
игры, конфликтная ситуация может быть полностью
описана матрицей размерности
, которая, втео-
рии игр, называется платежной матрицей:
=
A
11 12 1
21 22 2
m m mn
12
— 143 —
a
ij
n
.
n
7. Основы теории игр
il jl
aa=
[ ]
1,lm∀∈
aa=
[ ]
1,ln∀∈
aa≥
[ ]
1,ln∀∈
A
aa≤
[ ]
1,lm∀∈
7.2. Особенности платежной матрицы игры
Прежде чем приступать к решению игровой задачи, необходимо определить особенности платежной
матрицы:
− дублирующие стратегии,
− очевидные невыгодные стратегии,
− седловые точки.
Вматрице игры стратегия i дублирует стратегию
j, если:
для
или
li lj
для
.
Невыгодные (проигрышные) стратегии определяются спомощью отношений доминирования
11
. Если каждой
стратегии игрока Апоставить всоответствие вектор-строку матрицы А, тостратегия А
тегию А
, при выполнении следующего условия:
j
il jl
Вэтом случае стратегия А
, будет доминировать стра-
i
для
будет заведомо невыгод-
j
.
ной, исоответствующая строка изплатежной матрицы
А удаляется.
Если каждой стратегии игрока В поставить в соответствие вектор-столбец платежной матрицы
то стратегия В
будет доминировать стратегию Вi при
j
выполнении следующего условия:
для
li lj
В этом случае стратегия В
j
.
будет заведомо невы-
годной (проигрышной), и соответствующий столбец
изплатежной матрицы Аудаляется.
11
Доминирование (от лат. dominary — преобладание) — главен-
ствующее положение над другими субъектами ипредметами.
— 144 —
,
7.2. Особенности платежной матрицы игры
max
=α
A
11 12 1
21 22 2
12
n
n
ij
m m mn
aa a
aa a
a
aa a
=
A
12
max max max
n
aa a
ji
min max
ij
a =β
α=β
ij
a
α=β=ϑ
ϑ
α
α ≤ϑ≤β
Поиск седловых точек выполняется последующей
схеме. Вкаждой строке матрицы Анаходят минималь-
ный элемент:
min
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
=
A
aa a
12
m m mn
a
ij
a
1
n
min
a
n
2
min
a
m
исреди них определяется максимальный:
min a
i j ij
В каждом столбце матрицы
.
находят макси-
мальный элемент:
исреди них определяется минимальный:
Если
, то
— седловая точка. Соответствующая седловой точке пара стратегий (А
оптимальной чистой стратегией, которая определяет точку равновесия конфликтной ситуации (игры).
Значение
называется чистой ценой игры, или
решением игровой задачи.
В общем случае, решения игры
нижнюю границу
иверхнюю границу β:
— 145 —
.
, Вj) называется
i
всегда имеют
.
7. Основы теории игр
1
x x im
Если седловой точки нет, тооптимальное решение
вчистых стратегиях отсутствует иприходится искать
его в смешанной стратегии, предполагая, что число
повторений игры достаточно для ранжирования стратегий по вероятностям их применения (по средним
«весам», по«долям», «пропорциям»). Задача состоит
в определении набора таких стратегий игрока А, которые обеспечивают гарантированный выигрыш при
наиболее вероятном действии противоположной стороны.
Обозначим вероятности применения игроком
Асвоих стратегий А
m– число стратегий игрока А:
Элементы x
применения игроком А своей i-й стратегии А
описания вероятностей применения стратегий В
ка В введём n-мерный вектор столбец y, где n– число
стратегий В
Элементы этих векторов должны удовлетворять ус-
ловиям нормировки полной группы событий:
7.3. Оптимальная цена игры
m-мерным вектор-столбцом x, где
i
x
1
=
x m.
1
×
[ ]
x
m
вектора x определяют вероятность
i
:
j
y
1
=
y n.
1
×
[ ]
y
n
m
1, 0, 1, ,
= ≥=
ii
∑
i
=
— 146 —
. Для
i
игро-
j
7.3. Оптимальная цена игры
y y jn
( )
ij
( )
,
ij
AB
{ }
i
x
{ }
j
y
ij
ij
a
( )
,
xy
,,
( )
,
a
h =
T
x y x Ay
T
x
**
xy
( )
* ** *
,
a
h≤≤
TT
x Ay x y x Ay
ϑ
**
n
1, 0, 1, .
= ≥=
jj
∑
j
1
=
Чистая стратегия является частным случаем сме-
шанной стратегии, когда пара оптимальных стратегий
opt opt
,
AB имеет вероятность совместного события
равную единице, авероятности остальных пар стратегий— нулю.
В смешанных стратегиях каждая ситуация в чи-
стых стратегиях
является случайным событи-
ем. Всилу независимости наборов вероятностей
каждая ситуация вчистых стратегиях реализуется
свероятностью совместного события
ответствует выигрыш
выигрыша
h
a
игрока А, всмешанных стратегиях,
. Математическое ожидание
xy , которой со-
будет определяться следующим образом:
mn
h a xy
a ij i j
xy
( )
=
∑∑
11
= =
ij
или ввекторно-матричной форме:
,
где
— транспонированный в строку вектор-стол-
бецx.
Оптимальными смешанными стратегиями
игрока Аназываются тестратегии, которые удовлетворяют следующим условиям:
Выигрыш, соответствующий оптимальным смешанным стратегиям, называется ценой игры
ϑ=Tx Ay . (7.1)
— 147 —
,
,
.
:
7. Основы теории игр
Основная теорема теории игр утверждает, что
каждая конечная игра имеет, поменьшей мере, одно
решение, возможно, вобласти смешанных стратегий.
Эта теорема имеет большое практическое значе-
ние: она даёт конструктивные методы поиска оптималь-
ных стратегий при отсутствии особенностей платёжной
матрицы.
— 148 —
8. КОНФЛИКТНЫЕ ЗАДАЧИ
МУЛЬТИМОДАЛЬНЫХ ПЕРЕВОЗОК
На рынке транспортных услуг, в зависимости
от тарифа, скорости доставки, расстояния, объемов
перевозки, сохранности идругих факторов, конкурирующими являются автомобильный, железнодорожный,
воздушный иводный виды транспорта. Вто жевремя,
существующие технические и технологические ограничения вместимости, универсальности, доступности,
грузоподъемности идругие характеристики подвижного состава, вряде случаев, неизбежно приводят кнеобходимости взаимодействия разных видов транспорта.
При организации устойчивых логистических
процессов в интегрированных цепях поставок, включающих различные виды транспорта, терминалы
и транспортные узлы, возникают внутренние кон-
фликтные задачи, связанные с противоположностью
коммерческих интересов участников мультимодальных
перевозок. Возможность организации конкурентных
интегрированных цепей поставок порождает внешние
конфликтные задачи.
8.1. Метод обратной платежной матрицы
Этот метод позволяет находить решение игровых
задач только с квадратными платежными матрицами
— 149 —
8. Конфликтные задачи мультимодальных перевозок
( )
nn×
0)
ij
a >
( )
det 0≠A
( )
nn×
aa a
aa a
aa a
( )
( )
1
adj
,
det
−
=
A
A
A
( )
adj
( )
11 1
1
adj
n
n nn
AA
AA
=
T
A
размерности
, содержащих только активные
стратегии (по n стратегий c каждой стороны). Актив-
ными стратегиями игрока называются те смешанные
стратегии с наибольшими весами или вероятностями,
которые оннеизменно ипоследовательно будет применять вигре.
Метод обратной матрицы применим в следующих
условиях:
1. Изплатёжной матрицы удалены дублирующие
идоминирующие (заведомо невыгодные) стратегии.
2. Установлено отсутствие седловой точки.
Изтеорем Фробениуса иПеррона следует, что поло-
жительные матрицы А(с элементами
, неимеющие дублирующих или линейно зависимых строк
истолбцов, являются невырожденными (определитель
квадратной матрицы
).
Математическая модель игры, в этом случае, за-
даётся квадратной платежной матрицей размерности
:
A
11 12 1
21 22 2
=
n n nn
12
a
n
n
ij
,
которая имеет обратную матрицу:
где
A — адьюнкта матрицы A, вычисляется
поформуле:
,
— 150 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]