Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
здесь:
ij
a
det=AA
ij ij
ij
a
**
xy
ϑ
x
A
B
+ ++ =ϑ
+ ++ =ϑ
1
i
x x in
( )
*
1n
1
×
= ϑ⋅
T
xA
( )
1n1×
( )
1−
A
( )
*1 1
1
1
−−
×
=ϑ⋅
T
n
x AA A
A
1−
A
1−
×
= =AA E I
nn
ij
A+= − Aij
1
( )
ij
— алгебраическое дополнение
8.1. Метод обратной платежной матрицы
матрицы A;
— минор элемента
матрицы A.
Вигровой задаче без особенностей (нет дублирующих идоминирующих стратегий, нет седловой точки)
требуется определить оптимальные смешанные стра-
тегии игроков
ную цену игры
,
, обеспечивающие гарантирован-
.
Для определения оптимальной смешанной страте-
*
гии
положении, что
шанную стратегию, а
иучтем условие нормировки
игрока A, составим систему уравнений впред-
применяет свою оптимальную сме-
— свои чистые стратегии:
ax ax ax
11 1 21 2 1
ax ax ax
11 22
n n nn n
nn
,
n
1, 0, 1,
= ≥=∑. Для
ii
=
компактности, запишем эту систему уравнений в векторно-матричной форме:
где
— вектор-строка размерности
, (8.1)
1 n×, состоя-
щий изодних единиц.
Умножим обе части равенства справа на
:
Произведение матрицы
равно единичной диагональной матрице
— 151 —
.
иобратной матрицы
:
8. Конфликтные задачи мультимодальных перевозок
( )
*1
1n
1
−
××
⋅ =ϑ⋅
T
xI A
nn
x
( )
*1
1
1
−
×
= ϑ⋅
T
n
xA
12
n
xx x
( )
*
*1
1n
1 .
−
×
= =
ϑ
T
T
x
xA
1
i
,
ϑϑ
nn
1
1
,
12
n
xx x
A
1
.
i
y
( )
*
1
1
×
= ϑ⋅
T
m
Ay
( )
( )
1
*
m1
1
−
×
= ϑ⋅
T
yA
В явном виде единичную матрицу
. (8.2)
Inn не пишут,
×
поэтому система уравнений (8.1) в нормальной форме
записи относительно искомых вероятностей
*
имеет
следующий вид:
.
Рассмотрим новый вектор вспомогательных пере-
менных
Поскольку
,,,
n
:
1
x==∑, справедлива цепочка равенств:
i
1
x
x
i
∑∑
11
= =
ii
i
= =
изкоторой следуют:
а) формула для расчета цены игры для игрока А:
ϑ=
б) формула для расчета вероятностей
применения стратегий стороной
**
TT
= ϑ⋅ =
xx
∑
n
x
i
=
i
,,,
:
*
T
x
n
x
i
∑
=
Вывод формул вычисления цены игры и вероятностей стратегий стороны В аналогичен. Запишем
систему уравнений для вероятностей стратегий
в векторно-матричной форме:
,
или:
. (8.3)
— 152 —
8.2. Метод псевдообратной платежной матрицы
j
y
( )
( )
*
1
*
m1
1.
−
×
= =
ϑ
T
TT
y
yA
j
y
1
1
.
m
j
j
y
=
ϑ=
∑
12
yy y
B
,
j
y
1−
A
Для игрока Ввводятся вспомогательные перемен-
ные
:
Формула вычисления цены игры через вспомога-
тельные переменные
для игрока Вимеет вид:
Вероятности
стороной
вычисляются поформуле:
,,,
**
TT
= ϑ⋅ =
yy
применения стратегий
m
∑
*
T
y
m
y
j
1
=
j
Как видим, формулы для вычисления вероятностей стратегий и цены игры игрока В имеют туже
структуру, что идля стороны А, только определяются
они через вспомогательные переменные
.
Отметим, что в силу существования единственной обратной матрицы
, решение игровой задачи
при отсутствии седловой точки существует и един-
ственное.
8.2. Метод псевдообратной
платежной матрицы
Для прямоугольных платежных матриц обратная
матрица, в обычном смысле, не существует. Поэтому для вычисления вероятностей стратегий и цены
игры применяют обобщенные обратные матрицы —
псевдообратные матрицы. Напомним формулы для
— 153 —
8. Конфликтные задачи мультимодальных перевозок
+
A
A
mn×
( )
x
i
y
j
ϑ
ij
a
i
A
j
B
вычисления псевдообратной матрицы
ных матриц
размера (
), где m— число строк,
прямоуголь-
n— число столбцов:
1
−
TT
A
+
=
, ,
AA A
TT
( ) , .
A AA
åñëèm n
1
−
åñëèm n
≥
.
≤
Число строк mи число столбцов nпри транспонировании меняются местами: втранспонированной матрице n– число строк, m– число столбцов. Это необходимо учитывать при выборе формулы для вычисления
псевдообратной матрицы.
Применение псевдообратной матрицы, для вычисления векторов
решение игровой задачи
и
, дает также единственное
[20]. Это решение, однако,
является более точным решением, чем найденное методом обратной матрицы после удаления особенностей платежной матрицы, поскольку учитывает все
особенности полной исходной платежной матрицы.
Методику применения методов решения матричных игровых задач на основе обращения платежных
матриц рассмотрим наследующем примере.
8.3. Пример решения матричной
игровой задачи
Пример 8.1. Поставщик может поставлять три
вида продукции: А
быль, зависящую отсостояния спроса В
Втаблице 8.1 даны коэффициенты
, А2 и А3, получая при этом при-
1
, В2, В3 иВ4.
1
, характеризующие прибыль в условных единицах, которую получит
поставщик, поставляя продукцию
спроса
.
— 154 —
, если состояние
8.3. Пример решения матричной игровой задачи
A
( )
34×
( )
33×
Платежная матрица игры
Таблица 8.1
A
A
A
B
1
1
2
3
3,0 3,0 6,0 8,0
9,0 10,0 4,0 2,0
7,0 7,0 5,0 4,0
B
2
B
3
B
4
Требуется определить оптимальную стратегию поставок продукции, гарантирующую среднюю прибыль
при любом спросе.
Решение. Рассмотрим процедуры вычисления оптимальных стратегий (пропорций) А
В
двумя методами: методом обратной матрицы името-
4
, А2, А3 иВ1, В2, В3,
1
дом псевдообратной матрицы, и сравним найденные
решения.
1. Решим задачу методом обратной матрицы.
Игровая модель задачи задается платежной матрицей
размера
B
3,0 3,0 6,0 8,0 А
A= 9,0 10,0 4,0 2,0 А
7,0 7,0 5,0 4,0 А
:
1
B
2
B
3
B
4
1
2
3
Очевидно, что дублирующих стратегий у игроков
нет. Стратегия В
чает, что для игрока Встратегия В
проигрыш больше), поэтому столбец В
доминирует стратегию B1. Это озна-
2
невыгодна (средний
2
можно удалить.
2
Уигрока Адоминирующих строк нет. Врезультате удаления столбца В
матрицу Aразмера
, получаем квадратную платежную
2
:
— 155 —
8. Конфликтные задачи мультимодальных перевозок
1−
A
1−
=A
12
n
xx x
=
T
x
( )
1
1n
1
−
×
=A
( )
123
,,xxx=
T
x
≥
2
0x =
=
T
x
1
n
i
i
x
=
∑
1
n
i
i
x
=
∑
1
11
4,405.
0,227
n
i
i
x
=
ϑ= = =
∑
B
1
B
3
B
4
3,0 6,0 8,0 А
A= 9,0 4,0 2,0 А
7,0 5,0 4,0 А
Обратная матрица
равна:
0,273 0,727 –0,909
–1,000 –2,000 3,000
0,773 1,227 –1,909
Найдем поформуле (3.2) вспомогательный вектор
,,,
:
0,045 –0,045 0,182
где
Поопределению
.
0
x
, поэтому принимаем
i
0,045 0,0 0,182
1
2
3
:
ивычисляем сумму
ицену игры:
Находим оптимальные вероятности применения
своих стратегий игрока А:
:
=
— 156 —
0,227,
8.3. Пример решения матричной игровой задачи
**
= ϑ⋅ =
TT
xx
A
( )
mn×
{ }
=
{ }
rang min 3,4 3= =A
mn<
( )
TT
T
A
T
A
0,20 0,00 0,80
Таким образом, гарантированный средний выи-
грыш игрока А, найденный методом обратной матрицы, составляет 4,405 условных единицы, при поставке
20% продукции А
спросе В
.
j
и 80% продукции А3, при любом
1
2. Найдем решение методом псевдообратной ма-
трицы. Полный ранг прямоугольной платежной матрицы
размера
должен быть:
rang min ,mn
A .
Врассматриваемой задаче число строк m= 3, число
столбцов n= 4, следовательно:
.
ляется поформуле:
где: матрица
AA
Поскольку
, псевдообратная матрица вычис-
+
= ⋅
A A AA ,
1−
— транспонированная матрица A:
A
1
A
2
A
3
3,0 9,0 7,0
T
= 3,0 10,0 7,0
A
6,0 4,0 5,0
8,0 2,0 4,0
Вычислим произведение матриц A и
:
118,0 97,0 104,0
T
= 97,0 201,0 161,0
104,0 161,0 139,0
— 157 —
8. Конфликтные задачи мультимодальных перевозок
TT
,,,
xx x
=
T
x
≥
2
0x =
=
T
x
1
n
i
i
x
=
∑
3
1
i
i
x
=
∑
**
= ϑ⋅ =
TT
xx
Вычислим обратную матрицу
0,439 0,710 –1,151
T) –1
(AA
= 0,710 1,216 –1,940
–1,151 –1,940 3,115
Вычислим псевдообратную матрицу
+
=
A A AA :
( )
–0,350 –0,504 0,895
T
AA :
( )
1−
1−
A
+
=
0,360 0,713 –1,045
–0,279 –0,575 0,911
0,331 0,353 –0,627
Найдем поформуле (3.2) вспомогательный вектор
12
:
n
0,062 –0,013 0,134
Поопределению 0
x
, поэтому принимаем
i
0,062 0,00 0,134
ивычисляем сумму
:
=
0,196.
Находим оптимальные вероятности (частоты) при-
менения своих стратегий стороной А:
0,315 0,00 0,685
:
— 158 —
8.3. Пример решения матричной игровой задачи
где учтено, что цена игры равна:
n
1/
ϑ= =
∑
=
i
x
1
5,098.
i
Таким образом, гарантированный средний выигрыш игрока А, найденный методом псевдообратной
матрицы, составляет 5,098 условных единицы, при
поставке 31,5% продукции А
при любом спросе В
.
j
и 68,5% продукции А3,
1
Очевидно, что точное решение игровой задачи методом псевдообратной матрицы дает большее значение
гарантированного среднего выигрыша 5,098 > 4,40
на13,7%, засчет большей на6,5% поставки продукции
А
именьшей на6,5% поставки продукции А3.
1
— 159 —
ПРИЛОЖЕНИЯ
11 12 1
21 22 2
12
n
n
ij
aa a
aa a
a
aa a
=
A
aa a
aa a
aa a
ij
a
ij
a
ij
a
Приложение 1.
Элементы матричного анализа
Рассмотрим т×п действительных чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из т строк
ип столбцов:
11 12 1
21 22 2
12
m m mn
Такая таблица чисел называется числовой матрицей (в дальнейшем— просто матрицей). Числа
торые входят вматрицу, называются ее элементами.
Индексы i и j элемента
номера строки и столбца, в которых расположен элемент
. Матрицу, содержащую одну строку (или один
столбец), называют также вектор-строкой (или вектор-столбцом).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Две матрицы называются равными, если
числа строк истолбцов одной изних равны соответственно
числам строк истолбцов другой иэлементы этих матриц,
расположенные насоответствующих местах, равны.
— 160 —
n
n
.
, ко-
указывают соответственно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]