Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
Приложение 1. Элементы матричного анализа
aa a
aa a
aa a
T
A
T
A
11
a
22
a
33
a
nn
a
1n
a
21na−
1n
a
A
ë
aa a
aa a
aa a
λλ λ
λλ λ
λλ λ
A
ë
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
aa a
aa a
aa a
=
A
bb b
bb b
bb b
Матрицей, транспонированной к матрице A, на-
зывается матрица вида:
11 12 1
21 22 2
T
=
A
12
m m mn
т. е. — строками матрицы
астолбцами
— строки матрицы A.
n
n
,
являются столбцы A,
Если число строк равно числу столбцов (т = п), ма-
трицу называют квадратной матрицей порядка п.
Элементы
,
,
, …,
образуют так называемую главную диагональ квадратной матрицы;
элементы
,
, …,
— побочную диагональ ква-
дратной матрицы.
Рассмотрим некоторые действия над матрицами.
1. Произведением матрицы
что тоже самое, числа
наматрицу A) называется ма-
на число λ, (или,
трица:
λ=
A
11 12 1
21 22 2
12
m m mn
n
n
,
полученная из
та начисло
путем умножения каждого ееэлемен-
.
2. Под суммой двух матриц:
— 161 —
11 12 1
,
21 22 2
=
B
12
m m mn
n
n
Приложения
11 22 2
nn
nn
ab ab ab
ab ab ab
abab ab
++ +
++ +
++ +
A
A
B
A
, 0+=+ +=A B B AA A
( ) ( )
, 0 0, 0λ + =λ +λ ⋅ = λ=AB B AA
A
B
=C AB
ij
c
A
B
A
B
AB
BA
≠AB BA
понимается матрица:
11 11 12 12 1 1
+=
AB
21 21 22 22 2 2
m m m m mn n
элементы, которой равны суммам соответствующих
элементов матриц
ся, что число строк (столбцов) матрицы
лу строк (столбцов) матрицы
определяется иразность
Линейные операции над матрицами подчиняются
обычным законам арифметики, например:
(все элементы матрицы 0— нули),
3. Произведением матрицы
цов наматрицу
трица
изn строк иk столбцов называется ма-
, имеющая тстрок иk столбцов, элемент
которой, расположенный вi-й строке иj-мстолбце,
равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы
матрицы
на соответствующие элементы j-го столбца
, т.е. находится по формуле скалярного
произведения i-й вектор-строки матрицы
тор-столбец матрицы
c a b a b a b a b ij n
= + +…+ = =
11 22
ij i j i j in nj ik kj
Вслучае квадратных матриц можно составить как
произведение
случае
, так и произведение
, т.е. переместительный закон для ма-
триц невыполняется.
,
иB. При этом подразумевает-
равно чис-
. Подобным жеобразом
— B матриц A иB.
,
.
изт строк ипстолб-
наj-й век-
:
n
, , 1, .
∑
1
=
k
. В общем
— 162 —
Приложение 1. Элементы матричного анализа
aa a
aa a
aa a
ij
a
ij
a
ij
a
( )
A
ij
( )
11
.
ij ij ij ij
det aA aA
= =
= = =
∑∑
AA
nn
ji
Для произведения матриц остаются всиле следую-
щие законы арифметики:
1. Распределительный закон:
(А + В) С= АС+ ВС, С(А + В) = СА+ СВ.
2. Сочетательный (ассоциативный) закон:
(АВ) С= А(ВС).
Скаждой квадратной матрицей определенным об-
разом связано некоторое число, называемое ее опреде-
лителем.
Рассмотрим определитель n-го порядка:
det
Выделим в нем некоторый элемент, например
Вычеркнем вопределителе i-ю строку иj-й столбец, вкоторых расположен выделенный элемент
те останется определитель (n– 1)-го порядка. Этот оставшийся определитель называется минором элемента
вопределителе
det A иобозначается
Для вычисления определителя любого порядка необходимо знание его свойств и теоремы о разложении
определителя.
Теорема (о разложении определителя). Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторого столбца (строки) наих алгебраические дополнения:
( )
11 12 1
21 22 2
=A
n n nn
12
— 163 —
a
n
n
ij
.
. Врезульта-
.
Приложения
A
j
=λ +λABC
j jj
B
j
C
j
( ) ( ) ( )
= λ +µ =λ +µDD B C DB DC
j jj
( )
DB
j
( )
DC
B
j
C
j
Приведем основные свойства определителей.
1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Это свойство свидетельствует
о полном равноправии строк и столбцов матрицы.
Следовательно, если некоторое утверждение справедливо относительно столбцов матрицы, то аналогичное
утверждение справедливо идля еёстрок.
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки)
матрицы равны нулю, тоопределитель равен нулю.
3. При перестановке двух любых, столбцов (строк)
матрицы, знак определителя меняется на противоположный, аабсолютная величина остается неизменной.
4. Определитель матрицы с двумя одинаковыми
столбцами (строками) равен нулю.
5. Если j-й столбец (строка)
матрицы является
линейной комбинацией:
,
двух произвольных столбцов (строк)
литель оказывается линейной комбинацией:
определителей
столбцы (строки) jзаменены соответственно настолбцы
(строки)
и
. Остальные столбцы (строки) сохране-
ны без изменения.
6. При умножении любого столбца (строки) матрицы напроизвольное число l, определитель умножается
наэто жечисло.
Среди квадратных матриц особую роль играет еди-
ничная матрица:
и
— 164 —
и
, тоопреде-
,
матриц, в которых
j
Приложение 1. Элементы матричного анализа
10 0
01 0
00 1
=
I
= =AI IA A
B
= =AB BA I
1−
A
A
A
( )
det 0≠A
A
1−
A
( )
( )
1
1
adj ,
det
−
=AA
A
( )
A
( )
ij
A
ij
a
A
AA A
AA A
AA A
,
все элементы главной диагонали, которой, равны единице, аостальные — нулю. Легко проверить, что для
любой матрицы:
.
Матрица
если
обычно обозначается через
называется обратной для матрицы A,
. Матрица B, обратная матрице A,
.
Обратная матрица может быть определена на базе
следующей теоремы.
Теорема (об обратной матрице). Если матрица
вырожденная (определитель матрицы
неравен нулю):
,
то матрица
имеет обратную матрицу
, которая
находится поформуле
где
adj A — адьюнкта матрицы A (присоединенная
для матрицы
Матрица
дополнений
трицы
:
).
adj A составляется из алгебраических
кэлементам
adj
A
( )
=
11 21 1
12 22 2
транспонированной ма-
n
,
n
не-
12
n n nn
— 165 —
Приложения
ij
ij
a
det=AA
ij ij
ij
a
ij
a
A
A
ij
( )
1
ij+
−
ij
A = + A
ij
+ij
ij
A = − A
ij
+ij
A
rang A
mn×
{ }
=
здесь:
A+= − A
та
1
( )
ij
матрицы A;
— алгебраическое дополнение элемен-
ij
— минор элемента
Алгебраическое дополнение
трицы
отминора
— скалярная величина (число), отличается
только знаком
, если сумма индексов
, если сумма индексов
матрицы A.
A элемента
ij
:
четная;
нечетная.
Наивысший порядок отличных от нуля миноров
матрицы
волом
называется еёрангом иобозначается сим-
. Прямоугольная матрица A размера
называется матрицей полного ранга, если:
rang min ,mn
A .
ма-
— 166 —
Приложение 2. Элементы теории графов
∈
i
=(vi1,
i
, имеет значение, то граф
Приложение 2.
Элементы теории графов
Основные определения
Граф (graph)— пара G=(V,E), где V— множество
объектов произвольной природы, называемых верши-
нами (vertices, nodes), аE— семейство пар e
V, называемых ребрами (edges).
v
ij
В общем случае множество V и/или семейство
Eмогут содержать бесконечное число элементов, номы
будем рассматривать только конечные графы, т.е. графы, укоторых как V, так иE конечны.
В приведенном определении графа E не случай-
но названо семейством пар, а не множеством. Дело
в том, что элементы E могут быть неуникальны, т.е.
возможны кратные ребра.
Если порядок элементов, входящих вe
чение, тограф называется ориентированным (directed
graph), сокращенно— орграф (digraph), иначе— нео-
риентированным (undirected graph). Ребра орграфа называются дугами (arcs). Вдальнейшем будем считать,
что термин «граф», применяемый без уточнений «ориентированный» или «неориентированный», обозначает неориентированный граф.
Пример: G=(V,E); V={1,2,3,4}; E=<(1,1), (1,2),
(1,3), (2,4), (2,4)>}
=(vi1, vi2),
i
, имеет зна-
i
G
— 167 —
Приложения
i
), i=1..|V|)=2ꞏ|E|.
n
(очевидно, что в
Если e=(v,u), товершины vи uназываются концами ребра. При этом говорят, что ребро eявляется смежным (инцидентным) каждой извершин vи u. Вершины
v и u также называются смежными (инцидентными).
Вобщем случае, допускаются ребра вида e=(v,v); такие
ребра называются петлями.
Степень вершины графа— это число ребер, инцидентных данной вершине, причем петли учитываются
дважды. Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер: Sum(deg(v
), i=1..|V|)=2·|E|.
i
Граф, несодержащий петель икратных ребер, называется обыкновенным, или простым графом (simple
graph).
Во многих публикациях используется другая терминология: под графом понимается простой граф, граф
скратными ребрами называют мультиграфом, спетлями— псевдографом.
Некоторые классы графов получили особые наименования. Граф слюбым количеством вершин, несодержащий ребер, называется пустым.
Обыкновенный граф с n вершинами, любая пара
вершин которого соединена ребром, называется пол-
ным и обозначается K
(очевидно, что в полном графе
n
n(n–1)/2 ребер).
Граф, вершины которого можно разбить на непересекающиеся подмножества V
— 168 —
иV2 так, что никакие
1
Приложение 2. Элементы теории графов
B33
∈
∈
две вершины, принадлежащие одному и тому же подмножеству, не смежны, называется двудольным (или
бихроматическим, или графом Кенига) иобозначается
B
(m=|V1|, n=|V2|, m+n=|V|).
mn
Полный двудольный граф — такой двудольный
граф, что каждая вершина множества V
ми вершинами множества V
ние — K
. Замечание: полный двудольный граф Bmn
mn
, и наоборот; обозначе-
2
неявляется полным (за исключением B
связана совсе-
1
).
11=K2
Подграфом, или частью графа G=(V,E) называется
такой граф G’=(V’,E’), что V’
V идве несмежные вер-
шины вG несмежны вG’.
Полным подграфом называется подграф, любая
пара вершин которого смежна.
Остовным подграфом (суграфом) графа Gназыва-
ется любой его подграф, содержащий тоже множество
вершин, что иG.
Изоморфизм, гомеоморфизм
Графы G1=(V1,E1) и G2=(V2,E2) называются изо-
морфными (обозначение: G1~G2), если между графа-
ми существует взаимно-однозначное отображение
φ: G
(V1<V2, E1<E2), которое сохраняет соответ-
1<G2
ствие между ребрами (дугами) графов, т.е. для любо-
го ребра (дуги) e=(v,u) верно: e’=φ(v,u)=(φ(v),φ(u))
(e
E1, e’∈E
). Отображение φ называется изоморф-
2
ным отображением.
— 169 —
Приложения
B33
V и две несмежные вершины в G не смежны в G'.
1
=(V1,E1) и G2=(V2,E2) называются изоморфными
1~G2
), если между графами существует взаимно-однозначное
1<G2
(V1<V2, E1<E2), которое сохраняет соответствие между
E1, e'E2). Отображение φ называется изоморфным
Иными словами, изоморфные графы различаются
только обозначением вершин.
Изоморфные графы. Одно изизоморфных отображений: (0,0), (1,3), (2,5), (3,6), (4,7), (5,2), (6,1), (7,4),
(8,9), (9,8).
Характеристики графов, принимающие одинаковые значения на изоморфных графах, инвариантны
относительно изоморфизмов графов, иназываются инвариантами графов.
Подразделением ребра (v
операция добавления вграф вершины v’ изамены этого
ребра надва смежных ребра (v
E’=E-{(v
Граф G’ называется подразделением графа G, если
онможет быть получен изG путем конечного числа под-
)}+{(v1,v’)}+{(v’,v2)}.
1,v2
) графа называется
1,v2
,v’) и(v’,v2): V’=V+{v’},
1
разделений ребер.
Два графа называются гомеоморфными, если для
них существуют изоморфные подразделения.
Пути и циклы
Путем вграфе (или маршрутом ворграфе) называется чередующаяся последовательность вершин иребер
(или дуг— ворграфе) вида v
, (v0,v1), v1, ... , (v
0
n-1,vn
), vn.
Число nназывается длиной пути.
— 170 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]