Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
2.4. Решение систем линейных уравнений
11 12 1 1
21 22 2 2
n
n
a a ab
a a ab
=
A
11 12 1 1
21 22 2 2
n
n
a a ab
a a ab
=
A
12
ni i
'A
'' '
nn
= =…=
' ' ''
' ' ''
' ' ''
rr n
rr n
a a ab
a a ab
a a ab
Впроцессе решения могут встретиться следующие
случаи.
1. Получена матрица
’, эквивалентная матрице
, в левой части некоторой строки ее стоят нули, а в
правой — число, отличное от нуля, что соответствует
уравнению:
0 0 0 ,( 0)
x x xbb+ +…+ = ≠ .
''
Это признак несовместности системы (2.14),
исистема неимеет положительных решений.
2. Врезультате преобразования получилась матри-
ца
вида:
10 0
01 0
′
=
A
00 1
'
b
1
'
b
2
'
b
m
В этом случае система (2.14) совместная, опреде-
ленная иимеет единственное решение:
, , , ,
x bx b x b
1 12 2
3. На некотором этапе получилась расширенная
матрица вида
10 0
01 0
'
=
A
11 12 1 1
++
21 22 2 2
++
00 1
12
rr rr rn r
++
Система совместная и имеет бесконечное множество решений. В этом случае ставится задача выбора
одного решения, наилучшего покакому-либо критерию.
— 41 —
2. Модели задач линейного программирования
'' '
1 1 11 1 1r r nn
x b a x ax
++
= − −…−
r r nn
x b a x ax
11
r r rr r rn n
1
2
1
2
x
r
A
A
mn×
{ }
= =
( )
!
, ,
!!
m
n
n
C nm
mnm
= >
−
Общее решение системы (2.14) можно записать
ввиде:
'' '
= − −…−
2 2 21 1 2
++
…………………………………..
'' '
x b a x ax
= − −…−
++
.
Придавая каждой из переменных
rx+
,
,…, nx ,
rx+
стоящих вправых частях равенств, произвольные значения, будем получать частные решения системы.
Неизвестные
x ,
,…, rx называются базисными,
или основными, они соответствуют линейно-независимым векторам.
Таким образом, любые rпеременных называются
базисными (основными), если определитель матрицы
коэффициентов при них отличен отнуля, аостальные
(п – r) переменных называются свободными, или не-
основными. Базисным решением системы уравнений
называется частное решение, в котором неосновные
переменные имеют нулевые значения.
Число базисных переменных
гом матрицы
— наивысшим порядком отличных
отнуля миноров матрицы
триц (
) снезависимыми строками истолбцами:
rang min ,r mn
A . (2.15)
. Для прямоугольных ма-
определяется ран-
Каждому разбиению на основные и неосновные
переменные соответствует одно базисное решение,
а количество способов разбиения не превышает величины [6]:
если
— 42 —
2.5. Решение систем линейных неравенств
, .
!!
C nm
= <
( )
( )
R
F min . 2.16
x
cx
{ }
X : , 0,= ≤≥
X
F
aa a
aa a
aa a
или:
!
n
m
m
nmn
−
( )
если
Если все компоненты базисного решения неотри-
цательны, тотакое решение называется опорным.
2.5. Решение систем
линейных неравенств
Рассмотренные выше задачи линейного программирования и методы решения систем линейных
уравнений, в дальнейшем мы будем записывать
встандартной форме задач линейного программиро-
вания:
= ⋅
где:
— множество допустимых решений задачи,
x Ax b x (2.17)
— скалярная целевая функция;
x
1
x
2
=
x
— переменные задачи линейного программи-
x
n
рования;
T
∈
(2.16)
A
11 12 1
21 22 2
=
n n nn
12
a
n
n
ij
— матрица условий (постоян-
ных технологических или экономических параметров);
— 43 —
2. Модели задач линейного программирования
1
2
n
c
c
c
=
c
x
c
mn×
c
A
rang m=A
rang m<A
A
i
b
=Ax b
{ }
X : ,0= = ≥
X
{ }
n
:,= ∈x Ax b x R
b
1
b
2
=
b
— вектор ограничений (постоянных запасов
b
n
ресурсов);
— вектор показателей качества (весов перемен-
ных вцелевой функции задачи).
Здесь также предполагается соразмерность А,
bи
(А— (
бец, b– m-мерный вектор-столбец,
)-матрица, х– n-мерный вектор-стол-
T
— n-мерный век-
,
тор-строка).
Подчеркнем важное свойство матрицы условий
в задачах транспортной логистики. Мы всегда можем
предположить ранг матрицы
но потому, что если
строк матрицы
могут быть представлены ввиде ли-
, тоодна или несколько
. Это возмож-
нейной комбинации остальных. Взависимости от значений коэффициентов
, некоторые ограничения
окажутся либо излишними, ив этом случае они могут
быть исключены из задачи, либо несогласованными
состальными, исистема
поэтим ограничениям
неимеет решения.
Решения линейной задачи ивыпуклые полиэдры.
Обозначим через
x Ax b x множество реше-
ний задачи (2.16— 2.17).
Выпуклое множество
является пересечением
линейного многообразия [8, 24, 27]:
— 44 —
2.5. Решение систем линейных неравенств
0≥x
n
R
{ }
X : ,0= = ≥
n
SR∈
( )
1 ,
xS
x yS
yS
∀∈
λ + −λ ∈
∀∈
( )
0 1∀λ ≤ λ ≤
S
,xy S∈
[ ]
S
1m
aa
x
1m
,...,aa
.≥b Ax
{ }
|0
1m
,...,aa
0<
T
cb
сположительным (
ва пространства
) ортантом n-мерного евклидо-
.
Выпуклое множество решений вида
x Ax b x называется выпуклым политопом,
полиэдром или, влинейном случае— выпуклым мно-
гогранником решений.
Выпуклые множества. Множество
называ-
ется выпуклым, если:
Иначе говоря, множество
любых двух точек
жится в
.
отрезок
выпукло, если для
,xy целиком содер-
.
2.5.1. Основная теорема о линейных неравенствах
Основная теорема о линейных неравенствах принадлежит Фаркашу [10]. Дальнейшему уточнению этой
теоремы посвящены работы Минковского, Каратеодори, Вейля, Схрейвера идр. [7, 15, 25, 34].
Теорема олинейных неравенствах. Пусть
b,
— векторы вn-мерном пространстве. Имеет место
альтернатива:
1. Вектор bявляется неотрицательной линейной
комбинацией некоторого множества линейно независимых векторов из
:
,...,
,
2. Найдется гиперплоскость
щая r – 1 линейно независимых векторов из
такая, что:
— 45 —
T
≥
xc x , содержа-
,
2. Модели задач линейного программирования
1
TT
m
1m
aa
11 m
... 0=λ + +λ ≥
m
ba a
11 m
0 ( ... ) 0,> = λ + +λ ≥
TT
m
cb c a a
0<
′′
T
cb
= ++ ≥
""
111 m m m
x ... x 0
′
=λ + +λ ≥
′
ba a
ii i
( )
""
111 m m m
0 x ... x 0.#> = + +λ ≥
′′
λ
TT
cb c a a
0<
T
cb
0≤
T
cb
= ++ ≥
{ }
: ,0∈≥⋅ =
T
c x x Ax b x
x
c
( )
xR
F max .
∈
= ⋅Tcx
{ }
X : , 0,= ≤≥
,..., 0≥
ca ca .
Здесь r:= rang {
,...,
, b}.
# Доказательство основано напротиворечии взаи-
мо исключающих условий альтернатив 1 и2:
Если верно 1, тодля вектора
при
то для вектора
"
xλ =λ≥ , опять получаем противоречие в2:
получаем противоречие в2:
0
Если верно 2:
0
, при
T
cx ,
... 0
cx c x
11
mm
при
Заметим, что если в условиях 2 заменить строгое
неравенство
чий нет намножестве решений
нестрогим
T
cx ,
... 0
cx c x
11
mm
, то противоре-
принадлежащих n-мерному выпуклому многогран -
нику:
. #
Геометрическое содержание этой теоремы легко
понять вдвухмерном пространстве наследующем примере ЗЛП.
Пример 2.1. Для известных матриц постоянных
технологических параметров А, запасов bи ресурсов
стоимостью
, требуется найти максимальное значение
целевой функции:
,
При следующих ограничениях:
x Ax b x
— 46 —
2.5. Решение систем линейных неравенств
X
32
23
8
7
=
b
( )
54=
T
c
x
≤Ax b
x
=Ax b
12
32 8
+=
12
2 3 7,
+=
12
54 0
+=
F
0≥x
( )
1
( )
2
X
12
54 0
+=
12
xx= =
{ }
X : ,0= = ≥
F
12
( , )xx
где:
=
A — матрица условий задачи,
тор-столбец ограничений,
стоимости ресурсов,
— множество допустимых решений,
— век-
— вектор-строка
1
=
x — вектор-столбец иско-
x
2
мых объемов переменных ресурсов.
Найдем допустимые поограничениям
чения
равенства
. Для этого, заменим знак неравенства назнак
.
зна-
Нарисунке 2.2 показаны следующие линии границ
гиперплоскостей:
a)
xx
и
xx
заданные ограниче-
ниями задачи,
b)
xx
вой функции
и
c)
0,x
, заданные координатными осями
Область допустимых решений
, заданная нулевым значением целе-
,
0,x
, ограниченных
этими линиями, нарисунке 2.2 заштрихована.
Найдем максимальное решение ЗЛП, перемещая
граничную линию целевой гиперплоскости
xx
из нулевого положения параллельно самой себе в направлении нормали, указанном стрелками.
Вугловой точке скоординатами (
пуклого многогранника решений
целевая функция
будет иметь максимальное зна-
2, 1
) вы-
x Ax b x
чение.
Численные значения координат
точки максимума целевой функции легко находятся методом обратной матрицы (2.13):
— 47 —
2. Модели задач линейного программирования
1
1
2
0,6 0,4 8 2
0,4 0,6 7 1
x
x
−
−
= = = ⋅=
−
⋅xA b
2
Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация области
допустимых решений задачи линейного программирования
T
⋅
F 5 4 14.
= = =
cx
( )
— 48 —
1
.
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Вэтом разделе рассмотрены основные положения
симплекс-метода [7], который широко применяется
в цифровых технологиях транспортной логистики.
Приведены теоретические основания и примеры применения метода Мура-Пенроуза [32, 33] иалгебраиче-
ского метода для решения вырожденных задач линейного программирования [20, 21].
3.1. Симплекс-метод
Если решение (опорный план) задачи (2.16–2.17)
существует, тооно достигается хотя быв одной вершине
(угловой точке) выпуклого многогранника допустимых
решений. Программа поиска оптимального решения
задачи вугловых точках многогранника, среди всех допустимых решений— основная цель симплекс-метода.
Поэтой причине задачи подобного рода называют зада-
чами линейного программирования (ЗЛП).
Для решения ЗЛП в 1947–49 гг. американским
математиком Дж. Данцигом был разработан сим-
10
плекс
-метод [7].
10
«Симплекс» впереводе слатинского значит «простейший».
— 49 —
3. Методы решения задач линейного программирования
1
1, 0, 1, .
n
ii
i
x x in
=
= ≥=
∑
{ }
X : , 0= ≤≥x Ax b x
... min,
= + ++ →
+ ++ ≤
++ =
0, 1,
j
x jn≥=
i
b im≥=
Z min,
,
0.
=⋅→
⋅≤
≥
cx
Ax b
x
Вмногомерной геометрии симплексом называется
геометрическое место точек, удовлетворяющих условиям [8, 25, 34]:
Симплексом, взависимости отразмерности n, может быть точка, отрезок, треугольник, тетраэдр идругие n-мерные выпуклые многогранники.
Идея симплекс-метода состоит в поиске всех ре-
шений, ограниченных выпуклым многогранником
, внаправлении «улучшения» зна-
чений целевой функции.
3.1.1. Алгебра симплекс-метода
Рассмотрим основные шаги реализации симплекс-метода для решения ЗЛП вида:
Z cx cx cx
11 2 2
при ограничениях:
nn
Пусть ранг матрицы ограничений A равен m, ивсе
0, 1,
Тогда условия задачи можно представить в виде
таблицы:
ax ax ax b
11 1 22 2 1 1
...... ...... ,
ax ax ax b
+ ++ ≤
11 22
m m mn n m
... ,
nn
ax b
ij j i
... ,
. Запишем ЗЛП вматричной форме:
— 50 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]