Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Приложение 2. Элементы теории графов
Путь без повторяющихся ребер называется цепью,
путь без повторяющихся вершин и ребер — простой
цепью.
Кратчайший путь— это простая цепь между парой
вершин сминимальной суммой весов ребер.
Путь может быть замкнутым (v
). Замкнутый
0=vn
путь без повторяющихся ребер называется циклом (или контуром ворграфе); без повторяющихся вершин (кро­ме первой ипоследней)— простым циклом.
Граф называется связным, если существует путь
между любыми двумя его вершинами, инесвязным— в противном случае. Несвязный граф состоит из не­скольких связных компонент (связных подграфов).
Для орграфов понятие связности является более сложным: различают сильную связность, односто­роннюю связность и слабую связность. Орграф на­зывается сильно связным, если для любых двух его вершин vиuсуществует как маршрут изv вu (v->u), так иизuв v(u->v). Орграф называется односторонне связным, если для любых двух его вершин uи vсуще­ствует покрайней один из маршрутов v->u или u->v. Наконец, орграф называется слабо связным, если связен неориентированный граф, получаемый из это­го орграфа путем снятия ориентации сдуг. Очевидно, что любой сильно связный граф является односторонне связным, а односторонне связный — слабо связным, ноне наоборот.
Деревья
Деревом называется произвольный связный граф без циклов.
Лемма 1. Пусть G=(V,E) — связный граф, вер­шины v
и v2 которого не смежны. Тогда в графе
1
— 171 —
Приложения
G’=(V,E+(v1,v2)) существует простой цикл, проходя­щий через ребро (v
1,v2
).
Лемма 2. Пусть G=(V,E) — связный граф, ребро
e=(v
) которого входит внекоторый цикл. Тогда граф
1,v2
G’=(V,E-e) — также связен, т.е. при удалении коль- цевого ребра (ребра, входящего в некоторый цикл) изсвязного графа этот граф остается связным.
Лемма 3. Пусть G=(V,E), p=|V|, q=|E|.
1) число связных компонент вG больше либо равно
|V|-|E| (N
комп.
=p-q);
2) если вG нет циклов, точисло связных компонент
вG равно |V|-|E| (N
комп.
=p-q).
Следствие 1 леммы 3: если |E|=|V|-2, тограф G=(V,E)
несвязен.
Теорема 1. Любой связный граф содержит подграф,
являющийся деревом.
Любой связный граф содержит остовный подграф
(подграф стем жеколичеством вершин, что исам граф), являющийся деревом.
Теорема 2. Для любого дерева G=(V,E) верно: |V|-
|E|=1.
Теорема 3. Следующие свойства графов эквива-
лентны:
1. G=(V,E)— дерево;
2. любые две вершины Gсоединены единственной
простой цепью;
3. G— граф без циклов, укоторого |E|=|V|-1;
4. G— связный граф, укоторого |E|=|V|-1;
5. G— связный граф, нопри удалении любого ре-
бра онстановится несвязным;
6. G— граф без циклов, нопри добавлении любого ребра внем появляется ровно один (с точностью доза­дания начальной вершины инаправления обхода) про­стой цикл.
— 172 —
Приложение 2. Элементы теории графов
n-2
(без
Доказательство: теорема легко доказыва­ется последовательным переходом (1)<=>(2), (2)=>(3)=>(4)=>(5)=>(6)=>(1) пографу нарисунке:
Остовным деревом (остовом) связного графа на­зывается любой его остовный подграф, являющийся деревом.
Общее число остовных деревьев связного графа может быть весьма велико. Так, для полного графа сn вершинами оно равно n
n-2
(без доказательства).
Граф идва его остовных дерева (удаленные ребра показаны пунктиром).
Для произвольного (возможно, несвязного) графа G остовное дерево определяется как любой его остов­ный подграф, несодержащий циклов иимеющий столь­ко жекомпонент связности, что иG.
Цикломатическое число и фундаментальные циклы
Цикломатическим числом графа G=(V,E) сk связ­ными компонентами называется число v(G)=|E|-|V|+k.
— 173 —
Приложения
Фундаментальным циклом графа G=(V,E) состов-
ным деревом T=(V,E’) называется простой цикл, полу­чаемый врезультате добавления вT одного изребер G, непринадлежащего E’.
Утверждение 1. Количество фундаментальных
циклов графа G=(V,E) при любом фиксированном остовном дереве T=(V,E’) равно цикломатическому числу G.
Планарные графы
Сопоставив вершинам графа точки на плоскости или впространстве, аребрам— линии, соединяющие точки, соответствующие концам ребра, можно полу­чить диаграмму— визуальное представление данного графа.
Очевидно, что для любого графа можно построить бесконечное количество таких диаграмм. Если на не­которой диаграмме среди точек, соответствующих вершинам графа, нет совпадающих, а линии, соответ­ствующие ребрам графа, неимеют общих точек (заис­ключением концов), тоэта диаграмма называется гео-
метрической реализацией графа.
Теорема 1. Для любого графа существует геометри-
ческая реализация втрехмерном евклидовом простран­стве.
Геометрическую реализацию на плоскости допу­скают лишь некоторые графы; такие графы называют­ся планарными.
Грани. Неформально определим грань как часть плоскости, на которые плоскость «разрезается» лини­ями геометрической реализации графа. Всегда суще­ствует неограниченная внешняя грань.
— 174 —
7 вершин, 8 ребер, 3 грани
7 вершин, 8 ребер, 3 грани
i
, i=1..r). По условия в графе нет
i
=k (т.к. стороны грани образуют цикл) и
Формула Эйлера. Для любой геометрической реа-
лизации графа G=(V,E) наплоскости верно: p-q+r=2, где p=|V|, q=|E|, r— число граней (без доказательства).
Теорема 2. Если всвязном планарном графе нет ци-
клов длины меньше kи k≥3, тоq=k(p-2)/(k-2), где p=|V|, q=|E|.
Пусть граф реализован наплоскости ипри этом по­лучилось rграней. Пусть q (см. рисунок). Каждое ребро является стороной двух граней, поэтому 2q=Sum(q нет циклов длины меньше k, нотогда q грани образуют цикл) и2q=Sum(q муле Эйлера r=2-p+q, следовательно, 2q=k·(2-p+q), изчего следует доказываемое неравенство.
Приложение 2. Элементы теории графов
— число сторон вi-й грани
i
, i=1..r). Поусловия вграфе
i
=k (т.к. стороны
i
, i=1..r)=k·r. Пофор-
i
8 ребер, 3 грани, 3+6+7=16 сторон
Следствие 1 теоремы 2: для любого связного пла­нарного графа без петель икратных ребер выполняется неравенство: q=3(p-2), где p=|V|, q=|E|.
— 175 —
Приложения
Теорема 3. Граф K5 непланарен. Теорема 4. Граф K
непланарен.
33
Замечание: использование следствия 1 теоремы 2
здесь непоможет, т.к. q=9<3(p-2)=12.
Теорема Понтрягина-Куратовского (критерий
планарности графов). Граф Gпланарен тогда итолько
тогда, когда онне содержит подграфов, гомеоморфных K
или K33.
5
Утверждение 1: если графы U
тоU
планарен тогда итолько тогда, когда U2 планарен.
1
и U2 изоморфны,
1
Утверждение 2: любое подразделение U’ графа
Uпланарно тогда итолько тогда, когда Uпланарен.
Утверждение 3: если графы U
тоU
планарен тогда итолько тогда, когда U2 планарен.
1
иU2 гомеоморфны,
1
Утверждение 4: если подграф U’ графа Uне плана-
рен, тоU также непланарен.
Существуют и другие критерии планарности гра-
фов.
Графы с атрибутами
Вомногих случаях элементам (вершинам иребрам)
графа ставятся в соответствие различные данные — атрибуты (метки). Если в качестве атрибутов исполь­зуются целые или вещественные числа, тотакие графы называют взвешенными. Фактически, взвешенный граф — это функция, определенная на графе. В каче­стве атрибутов могут выступать инечисловые данные. Графы с атрибутами называются помеченными, или атрибутированными (А-графами). Например, струк­турные формулы химических соединений представля­ются молекулярными графами— А-графами, вершины которых соответствуют атомам химической структуры, а ребра — валентным связям между атомами. Для
— 176 —
Приложение 2. Элементы теории графов
α
вершин молекулярного графа определен, по крайней мере, атрибут «номер атома в периодической таблице элементов», для ребер — «тип валентной связи (оди­нарная, двойная, тройная идр.)»; могут использовать­ся дополнительные атрибуты, например, заряд атома.
Для графов сатрибутами можно ввести усиленное определение изоморфизма: будем считать два А-графа изоморфными, если они изоморфны в обычном смыс­ле, и, кроме того, изоморфное отображение сохраняет атрибуты (т.е. атрибуты соответствующих вершин ире­бер вобоих графах совпадают).
Независимые множества и покрытия
Независимое множество вершин (НМВ) — мно­жество вершин графа, никакие две вершины которого неинцидентны.
Максимальное независимое множество вершин (МНМВ) — НМВ, которое не содержится ни в каком
другом НМВ.
Замечание: в данном определении «максималь­ность» означает «нерасширяемость»; в общем случае граф может иметь несколько МНМВ различной мощно­сти.
Наибольшее независимое множество вершин — НМВ максимальной мощности.
Мощность наибольшего НМВ (очевидно, это одно из МНМВ) называется вершинным числом независи-
мости графа (а также неплотностью, числом внутрен­ней устойчивости или числом вершинной упаковки
графа); обозначение—
(G).
Независимое множество ребер (НМР), или паросо­четание— множество ребер графа, никакие два ребра
которого неинцидентны.
— 177 —
Приложения
τ
(G).
α
τ
Мощность наибольшего паросочетания называется
числом паросочетания графа; обозначение— v(G).
Доминирующее множество вершин (ДМВ)— такое
множество вершин графа, что каждая вершина графа либо принадлежит ДМВ, либо инцидентна некоторой вершине, принадлежащей ДМВ.
Вершинное покрытие (ВП)— такое множество вер-
шин графа, что каждое ребро графа инцидентно хотя быодной вершине, принадлежащей ДМВ.
Мощность наименьшего вершинного покрытия
называется числом вершинного покрытия графа; обо­значение—
(G).
Доминирующее множество ребер (ДМР), или ре-
берное покрытие — такое множество ребер связного
графа, что каждая вершина графа инцидентна хотя быодному ребру, входящему вДМР.
Мощность наименьшего ДМР называется числом
реберного покрытия графа; обозначение— ρ(G).
Нарисунке обозначены реберное покрытии графа (пунктиром), МНМВ (белые вершины) ивершинное по­крытие (черные вершины).
Величины
(G), v(G),
(G) иρ(G) являются инва-
риантами графа. Между этими инвариантами суще­ствует связь, устанавливаемая следующими леммами.
Лемма 1. Множество S является наименьшим вершинным покрытием графа G=(V,E) тогда и только
— 178 —
Приложение 2. Элементы теории графов
α
τ
∈
тогда, когда T=V(G)\S является наибольшим независи­мым множеством вершин графа.
Следствие 1 леммы 1. Для любого графа G=(V,E)
сумма числа вершинного покрытия ивершинного чис­ла независимости постоянна и равна количеству вер­шин G:
(G)+τ(G)=|V(G)|.
Лемма 2. Если граф G=(V,E) неимеет изолирован-
ных вершин, тосумма его числа паросочетания ичисла реберного покрытия постоянна иравна количеству вер-
шин G: v(G)+ ρ(G)=|V(G)|.
Дальнейшие результаты справедливы только для
двудольных графов.
Теорема 1 (минимаксная теорема Кёнига). Если
граф Gявляется двудольным, то
(G) = v(G). (без до-
казательства).
Определение: совершенное паросочетание (1-фак-
тор)— паросочетание, покрывающее все вершины гра­фа.
Пусть X — произвольное подмножество вершин графа G=(V,E). Обозначим через Г(X) множество вер­шин G, инцидентных вершинам X.
Теорема 2 (теорема о свадьбах). Если G — дву­дольный граф сдолями P ное паросочетание тогда итолько тогда, когда |P и, по крайней мере, одно из P свойством, что для любого X
иP2, тоG имеет совершен-
1
(i=1..2) обладает тем
i
| = |P2|
1
Pi выполняется неравен-
ство |X| ≤ |Г(X)|. (без доказательства)
Название теоремы связано со следующей «несе­рьезной» задачей: определить, возможно ли «переже­нить» группу юношей и девушек так, чтобы все оста­лись довольны. Если допустить, что все «симпатии» взаимны (предположение, прямо скажем, нереалистич­ное), то задача сводится к нахождению совершенного
— 179 —
Приложения
паросочетания в двудольном графе, вершины одной издолей которого соответствуют юношам, другой— де­вушкам, идве вершины связаны ребром тогда итолько тогда, когда юноша идевушка нравятся друг другу.
П2.2. Задачи на графах и алгоритмы
Кратчайшие пути
Многие задачи либо непосредственно сводятся кна­хождению вграфах кратчайших путей, либо используют поиск путей наодном изэтапов своего решения.
Пути с минимальным количеством
промежуточных вершин
Задача: найти путь между двумя заданными верши­нами графа (орграфа), количество промежуточных вер­шин (и, соответственно, ребер) вкотором минимально.
Для решения данной задачи существует эффек­тивный алгоритм, имеющий линейную сложность как почислу вершин, так ипо числу ребер— волновой ал­горитм (другие названия— поиск вширину, алгоритм степного пожара).
Пример прикладной задачи: необходимо добрать­ся изпункта Aв пункт Bпри условии, что между ними нет прямого сообщения, совершив при этом минималь­ное количество пересадок (при условии, что заданы воз­можные промежуточные пункты, и для каждой пары пунктов известно, существует лимежду ними прямой маршрут).
Решение: построим граф (орграф — если «несим­метричные» маршруты), вершины которого соответ­ствуют всем возможным пунктам пересадок, а ребра
— 180 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности