Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
3.2. Метод Мура-Пенроуза
F min,
,
0.
= →
=
≥
cx
Ax b
x
{ }
rang min ,mn m= =A
T T1
( ).
+−
=A A AA
{ }
X | ,0= ⋅= ≥xA x b x
.
+
=x Ab
î
F min.
+
=⋅= =c x cA b
î
F min,
,
0.
=⋅→
⋅=
≥
cx
Ax b
x
32
23
0,5 1
=
A
1
2
x
x
=
x
Рассмотрим три шага реализации метода Му-
ра-Пенроуза для решения вырожденной ЗЛП:
Пусть
. Вэтом случае правая
псевдообратная матрица вычисляется поформуле:
В угловых точках выпуклого многогранника до-
пустимых решений
вычисляется
оптимальное решение:
Вычисляется минимальное значение целевой
функции:
Пример 3.2. Пусть математическая модель ЗЛП
задана вматричной форме:
где:
— матрица условий,
— вектор переменных,
8
7
=
b — вектор-столбец ограничений,
2
— 61 —
3. Методы решения задач линейного программирования
( )
54=c
+
A
A
( )
1
1
32
3 2 0,5 3 2 0,5
23
23 1 23 1
0,5 1
−
−
+
= = =
TT
A AA A
1
13,25 12,50 3 2 0,5 0,48 0,43 3 2 0,5
12,50 14,00 2 3 1 0,43 0,45 2 3 1
−
−
= = =
−
0,58 0,32 0,19
.
0,38 0,50 0,24
−−
=
−
x
î
7.
2
F 5 4 14.
x
XR∈
— вектор-строка стоимостей.
Вычислим левую псевдообратную матрицу
(ранг
при m>n равен n):
Вычислим оптимальное решение
+
= ⋅= =
x Ab
î
0,58 0,32 0,19 2
−
0,38 0,50 0,24 1
−−
:
8
2
Вычислим минимальное значение целевой функ-
ции:
c x cA b
=⋅= = =
+
î
( )
1
Это решение равно оптимальному решению, най-
денному впримере 3.1 методом обратной матрицы.
Таким образом, метод Мура–Пенроуза дает точное
оптимальное решение вырожденной ЗЛП.
3.3. Общая задача линейного
программирования
Взадачах транспортной логистики опорное решение
ных вещественных чисел
должно принадлежать множеству положитель-
:
— 62 —
3.3. Общая задача линейного программирования
{ }
X : , 0,= ≤≥x Ax b x
c
( )
x
cx
{ }
X : ,0= ≤≥x Ax b x
b
x
T
cx
XR∈
где А, b– вещественные положительные матрицы.
Если множество X задается системой линейных
равенств инеравенств, тооно выпукло изамкнуто (последнее всилу линейности инепрерывности преобразований матриц А, b).
Реальные задачи технологического и экономического содержания могут быть представлены в форме
следующей общей задачи линейного программирования.
Общая задача линейного программирования. Для
известных матриц постоянных технологических иэкономических параметров задачи А, bи
требуется най-
ти минимальное значение целевой функции:
F min .
= ⋅
T
R
∈
При ограничениях:
Матрицу A называют матрицей условий задачи.
Вектор
Оптимальное решение
называют вектором ограничений задачи.
является оптимальным
планом. Задачу минимизации целевой функции
намножестве вещественных чисел
называют об-
щей задачей линейного программирования.
мирования (ЗЛП) существует, соответствующая ей,
двойственная задача (ДЗЛП) в другом пространстве
переменных, нос тем жеоптимальным значением целевой функции (если решение вообще существует). Обе
3.3.1. Двойственность задач
линейного программирования
Для каждой прямой задачи линейного програм-
— 63 —
3. Методы решения задач линейного программирования
1
maxF = →
T
cx
≤Ax b
0≥x
1
F
[ ]
12n
cc c= …
T
c
[ ]
12n
xx x= …
T
x
n
[ ]
12m
bb b= …
T
b
m
A
aa
aa
mn×
2
F min= →
T
by
≥
T
Ay c
0≥y
2
F
задачи симметричны поотношению друг кдругу, если
ихпредставить вматричной форме.
Прямая задача: Требуется найти максимальное
значение целевой функции:
, (3.1)
вусловиях:
где:
— скалярная целевая функция прямой задачи
, (3.2)
. (3.3)
ЛП;
— вектор коэффициентов целевой функ-
ции;
— вектор переменных прямой задачи;
− число переменных прямой задачи;
— вектор ограничений прямой задачи;
− число ограничений;
11 11n
=
m mn
— (
) матрица коэффициентов
ограничений.
Двойственная задача: Требуется найти минималь-
ное значение целевой функции:
, (3.1’)
вусловиях:
где:
— скалярная целевая функция двойственной за-
, (3.2’)
. (3.3’)
дачи ЛП;
— 64 —
3.4. Алгебраический метод решения вырожденных задач линейного программирования
[ ]
12m
bb b= …
T
b
[ ]
12m
yy y= …
T
y
m
[ ]
T
12
ncc c= …c
n
T
A
aa
aa
nm×
b
c
A
T
A
— вектор коэффициентов целевой функ-
ции;
— вектор переменных двойственной за-
дачи;
− число переменных двойственной задачи;
— вектор ограничений двойственной за-
дачи;
− число ограничений;
11 1
=
1mn nm
— (
) матрица коэффициентов
ограничений.
Симметричность этих задач состоит втом, что постановка двойственной задачи к двойственной совпадает сисходной прямой задачей. Роль вектора ограничений
(вектор-столбец правых частей ограничений)
прямой задачи выполняет вектор коэффициентов
целевой функции двойственной задачи, и наоборот.
Строки матрицы ограничений
вятся столбцами матрицы ограничений
прямой задачи стано-
двойственной задачи. Каждая двойственная переменная, связана
ссоответствующими ограничениями прямой задачи.
3.4. Алгебраический метод
решения вырожденных задач
линейного программирования
Одной из центральных задач в теории принятия
решений, неимеющей общего прикладного метода оп-
тимизации, является многокритериальная задача линейного программирования (МЗЛП):
— 65 —
3. Методы решения задач линейного программирования
{ }
X
n
max ,
X R| , 0.
∈
=
=∈ ≤≥
x
Cx
x Ax b x
F
1l ×, C
ln×
A
mn×, b
1m×, x
1n×
,0≤≥Ax b x
n
R
Cx
l
F
*
X∈x
*
≥Cx Cy
*
X,∈≠y yx
NX⊂
N∈
f
x
( ) ( )
( )( )
ii
N X, , 1, ,il∈ ⇔∀∈ ≠ ¬ ≥ ⋅ > ∃=y y Cy C C y C
f ff f
x xx x
i
C
N
Здесь: F — вектор показателей эффективности
принимаемых решений, размерности
— матри-
ца коэффициентов целевых функций размерности
— матрица параметров объекта размерности
— вектор ограничений размерности
тор переменных задачи размерности
ряющий ограничениям
, X— допустимая
область решений евклидова пространства
— век-
, удовлетво-
.
Поиск решения МЗЛП, обеспечивающего максимум каждой изстрок
полагает максимизацию одновременно всех
намногограннике X, пред-
показателей эффективности, максимальные значения которых,
могут служить критериями оценки эффективности.
Втом случае, если отсутствуют априорные значе-
ния критериев
, то под решением МЗЛП понимают
Парето решение, т.е. такое решение, которое нельзя
улучшить поодному из показателей, не ухудшая хотя
быодин изоставшихся.
Для достаточно широкого класса объектов вМЗЛП
существует такое единственное решение
для всех
.
Обозначим множество Парето через
ние
назовем паретовским, если:
, что
, реше-
,
где
— строка i матрицы C (i— номер показателя
эффективности).
В работах [25, 34] показано, что множество
представляет собой объединение выпуклых оболочек
комбинации точек из множества паретовских вершин
— 66 —
3.4. Алгебраический метод решения вырожденных задач линейного программирования
NN
N
X
max ,
∈=x
F Cx
:fx
max
.
f
=F Cx
f
x
{ }
ex
X N| , 0=∈= ≥
max
CF
ff f
xx x
ex
X
ex
N
x
{ }
X | ,0
=∈ ≤≥
A
A
{ }
=∈=≥
T
A
C
i
C
j
C
{ }
=∈=≥
T
C
+
A
ex
∈ . Из линейности операции объединения выпу-
клых оболочек следует, что множество
выпуклое.
Кроме этого, максимальные значения линейных целевых функций:
есть линейные комбинации паретовских решений
Это значит, что многогранник паретовских реше-
ний
:
,
должен быть выпуклым, а угловые точки многогранника
принадлежат выпуклому множеству
Покажем, что экстремальные точки
n
R
x Ax b x можно определить алгебраиче-
.
*
из
ским способом.
Основанием алгебраического способа аналитического решения ЗЛП служит структура отображений четырех основных подпространств, связанных матрицей
: подпространство строк A, подпространство столб-
цов
, нуль-пространство
X R | 0, 0
0
илевое нуль-пространство матрицы
n
x Ax x
[25, 34].
Аналогичную структуру отображений имеют четыре основных подпространства, связанных матрицей
: подпространство строк
, подпространство столбцов
, нуль-пространство:
Y R | 0, 0
0
илевое нуль-пространство матрицы
n
x Cx x ,
.
Покажем, что изсвойств псевдообратной матрицы
(обобщенная обратная матрица Мура-Пенроуза),
вытекает существование единственного максимального
— 67 —
3. Методы решения задач линейного программирования
A
( )
mn×
A
n
{ }
rang min , ,mn=A
( )
1
TT
T T1
, ,
( ) , .
åñëèm n
åñëèm n
−
+
−
≥
=
≤
AA A
A
A AA
+
A
1
= →F CX max
≤AX B
0≥X
1
F
lm×
C
cc
cc
ln×
11 11m
n nm
xx
xx
=
X
nm×
решения ЗЛП, равного единственному экстремальному
решению двойственной пары [20].
Полагаем, что вматрице
размера
исключены зависимые строки истолбцы, полный ранг матрицы
или столбцов
равен наименьшему числу независимых строк m
:
иопределена един-
ственная (левая или правая) псевдообратная матрица:
.
Псевдообратная матрица
позволяет найти
экстремальные решения двойственной пары задач линейного программирования, формальная постановка
которых приведена ниже.
Прямая МЗЛП: Требуется найти максимальные
значения целевых функций:
, (3.4)
вусловиях ограничений:
где:
— (
) матрица целевых функций прямой
, (3.5)
. (3.6)
МЗЛП;
=
11 1
1
l ln
n
— (
) матрица коэффициентов це-
левых функций;
— (
) матрица переменных пря-
мой МЗЛП;
— 68 —
3.4. Алгебраический метод решения вырожденных задач линейного программирования
nm×
bb
bb
mm×
mm×
A
11 1
1
n
m mn
aa
aa
mn×
T
2
= →F B Y min
T
≥
T
AY C
0≥Y
2
F
ml×
bb
bb
mm×
11 11l
m ml
yy
yy
=
Y
ml×
ml×
− число переменных прямой МЗЛП;
11 11m
=
B
m mm
— (
) матрица ограничений
прямой МЗЛП;
− число ограничений;
=
— (
) матрица параметров объ-
екта.
Двойственная МЗЛП: Требуется найти минималь-
ные значения целевых функций:
, (3.4’)
вусловиях ограничений:
где:
— (
) матрица целевых функций двойствен-
, (3.5’)
. (3.6’)
ной МЗЛП;
11 11m
T
=
B
m mm
— (
) матрица коэффициентов
целевых функций;
— (
) матрица переменных двой-
ственной МЗЛП;
− число переменных двойственной МЗЛП;
— 69 —
3. Методы решения задач линейного программирования
T
C
cc
cc
nl×
nl×
T
A
11 1
1
m
n nm
aa
aa
nm×
F
B
C
A
T
A
↑+
=X AB
T
()
↓+
=
T
Y AC
( )
↑↓
( )
↑↓ +
11 1
=
n nl
1
l
— (
) матрица ограничений двой-
ственной МЗЛП;
− число ограничений;
=
— (
) матрица параметров объ-
екта.
Здесь, в отличие от ЗЛП,
функций, матрица ограничений
играет роль матрицы коэффициентов
— матрица целевых
прямой задачи,
целевых функций двойственной задачи, инаоборот. Строки матрицы
параметров объекта
прямой задачи, по-прежнему,
становятся столбцами матрицы параметров объекта
двойственной задачи.
Теорема 3.2.
1. Если прямая МЗЛП двойственной пары имеет
единственное максимальное решение:
,
то двойственная ей задача имеет единственное мини-
мальное решение:
.
Справедливо иобратное.
2. Пара экстремальных решений
,
XY МЗЛП
единственная.
3. Экстремальные значения целевых функций
двойственной пары МЗЛП равны:
= =
F F CA B
12
T
.
— 70 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]