Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
3.4. Алгебраический метод решения вырожденных задач линейного программирования
X
↑+
=X AB
1
↑+
=F CA B
Y
T
() .
↓+
=
T
Y AC
TT
2
()
↓+
=
T
F BA C
( , )
↑↓
XY
( ) ( )
T
T
() ()
↓ ↑↓
↑ ↓↑
≤
 
≥
T
TT
Y AX Y B
XAY XC
T
(( ) ) ( )
↓↑↑ ↓
⋅
TTT
Y AX X A Y
=
T
Доказательство. В справедливости теоремы 3.2 можно убедиться непосредственным вычислением це­левых функций.
1. Существование решений. Найдем единственное
максимальное значение матрицы переменных
пря-
мой МЗЛП изнеравенства (3.5):
. (3.6)
Подставив правую часть (3.6) в(3.4), найдем един­ственные максимальные значения целевых функций прямой МЗЛП:
. (3.7)
Теперь найдем единственное минимальное зна­чения матрицы переменных
двойственной МЗЛП
изнеравенства (3.5’):
(3.6’)
Подставив правую часть (3.6’) в (3.4’), найдем единственные минимальные значения целевых функ­ций двойственной МЗЛП:
. (3.7’)
2. Единственность пары экстремальных реше-
ний
. Рассмотрим совместное решение системы
неравенств:
(3.8)
Очевидно, что левые части (3.8) равны поопре-
делению:
def
.
— 71 —
3. Методы решения задач линейного программирования
( )
↓↑
TT
Y B XC
T
(( ) ) ( )
++
=
TT T
A CB AB C
T
() ()
++
=
T
AA
T
( )( )
++
⋅
T
AA
=
T
( )
↑↓
T
( )( )
++
⋅
T
AA
T
( )
TT
( )
++
⋅
T
CA B B A C
TT
12
( )
↑↓
=
T
FF
F
+
CA B
T
()
+ TT
BA C
Следовательно, равны иправые части:
T
( ) ()
=
.
Равенство правых частей (3.8), с учетом (3.6)
и(3.6’):
,
верно, если:
.
Но
вательно, экстремальная пара матриц
def
(равны по определению), следо-
,
XY един-
ственная.
3. Равенство экстремальных значений целевых
функций. Сучётом того, что
=
, правые части
(3.7) и(3.7’) равны:
T
=
( )T,
равны илевые части (3.7) и(3.7’):
Таким образом, утверждения теоремы 3.2 справед­ливы для многокритериальной задачи линейной про­граммирования сматричной целевой функцией.
Теорема 3.2 охватывает все частные случаи МЗЛП, втом числе, когда целевая функция тор или матрица искомых максимальных показателей эффективности решений.
Численные значения матриц , легко вычисляются спомощью стандартных функций, встроенных в табличные процессоры профессиональ­ных прикладных программ, для выполнения различ­ных операций сортировки, транспонирования, умно­жения иобращения массивов данных.
. (3.9)
— скаляр, век-
, или
— 72 —
4. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ
0, 1,...,
i
Si m>=
0, 1,...,
j
Dj n>=
ij
c
11
mn
ij
ij
SD
∑∑
ij
x
ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКИ
4.1. Классическая транспортная задача
Под транспортной задачей понимают задачу вы­бора плана перевозок грузов отm поставщиков (источ­ников) к n потребителям (стокам), обеспечивающего минимальные транспортные затраты.
При этом предполагают, что:
а) запасы источника i (объем поставок продукции отпоставщика i) равны
б) потребность стока j (объем поставок продукции кпотребителю j) равна
в) стоимость перевозки единицы товара от источ­ника iк стоку jравна
;
г) суммарные запасы всех источников равны сум­марным потребностям всех стоков:
;
;
бителей транспортная задача называется сбалансиро- ванной.
дачи вводятся переменные
=
= =
.
При равенстве запасов поставщиков спросу потре-
Для математического описания транспортной за-
, обозначающие объемы
— 73 —
4. Сетевые задачи транспортной логистики
12
...
i i in
xx x+ ++
12
...
j j mj
xx x++
11 11 12 12
...
mn mn
cx cx c x+ ++
F
x i mj n
, 1,..., , , 1,..., ,
ij
S Ni mD Nj n∈= ∈=
{ }
,
0 , 1,..., , 1,..., ,
ij
x N i mj n∈∪ = =
доставки продукции от источника i к стоку j. В этом случае
— общий объем доставки про-
дукции от источника i, т.е. запас этого источника;
— общий объем доставки продукции ксто-
ку j, т.е. спрос этого стока;
— суммарная стоимость перевозок грузов от источников кстокам.
Задача 4.1. Сучетом введенных обозначений клас-
сическая транспортная задача может быть представле­на вследующем виде.
Найти минимум целевой функции
mn
F=
∑∑
= =
11
ij
cx
,,
ij ij
→
min,
:
(4.1)
при ограничениях:
n
  
 
  
= =
x Si m
∑
j
1
=
m
x Dj n
∑
i
1
=
≥= =
ij
,
, 1,..., ;
ij i
,
= =
,
, 1,..., ;
ij j
0, 1,..., , 1,..., .
(4.2)
Один из важнейших теоретических результатов исследования операций может быть сформулиро­ван следующим образом: если выполнены условия
то среди всех опти- мальных решений транспортной задачи (4.1) и (4.2), покрайней мере, одно оптимальное решение удовлет­воряет требованию целочисленности. В этом случае транспортную задачу можно рассматривать как пол- ностью целочисленную задачу, поскольку введение дополнительного ограничения:
(4.3)
— 74 —
4.1. Классическая транспортная задача
ij
c
ij
x
i
S
j
D
ij
x
не может повлиять на оптимальное значение целевой функции. В исследовании операций полностью цело­численную задачу (4.1)— (4.3) называют классической транспортной задачей.
Нарис. 4.1 показано представление транспортной задачи в виде графа с m вершинами — пунктами от­правления, и n вершинами — пунктами назначения, которые показаны ввиде узлов сети. Дуги, соединяю­щие узлы сети, соответствуют маршрутам, связываю­щим пункты отправления иназначения. С дугой (i,j), соединяющей пункт отправления iс пунктом назначе­ния j, соотносятся два вида данных: стоимость перевоз­ки единицы груза перевозимого груза ления i равен jравен величин
. Задача состоит вопределении неизвестных
, минимизирующих суммарные транспорт-
изпункта iв пункт jи количество
. Объем грузов впункте отправ-
, аобъем грузов в пункте назначения
ные расходы и удовлетворяющих ограничениям, на­кладываемым наобъемы грузов впунктах отправления (предложение) ипунктах назначения (спрос).
Рис. 4.1. Представление классической транспортной задачи
ввиде графа
— 75 —
4. Сетевые задачи транспортной логистики
x N i mj n
x N i mj n
Когда суммарный объем предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объему спроса натовары (грузы), запрашиваемые пун­ктами назначения, транспортная задача называется несбалансированной. Вэтом случае, при решении клас­сической транспортной задачи вканонической форме, иногда применяют прием, позволяющий несбалансиро­ванную транспортную задачу сделать сбалансирован­ной. Для этого вводят фиктивные пункты назначения или отправления сдобавлением недостающего объема, стоимость доставки которого равна нулю.
Несбалансированная транспортная задача решает­ся путем изменения ограничений поспросу (если спрос превышает предложение) или по предложению (если предложение превышает спрос), т.е. система ограниче­ний будет иметь вид:
n
       
≤=
x Si m
∑
j
1
=
m
x Dj n
∑
i
1
=
x i mj n
ij
,
∈∪ = =
ij
,
, 1,..., ;
ij i
,
= =
ij j
≥= =
, 1,... ;
,
0, 1,..., , 1,..., ;
0 , 1,..., , 1,..., .
{ }
(4.4)
впервом случае, либо:
n
x Si m
∑
j
1
=
m
x Dj n
∑
i
1
=
x i mj n
≥= =
ij
,
∈∪ = =
ij
,
, 1,..., ;
= =
ij i
,
, 1,... ;
≤=
ij j
,
0, 1,..., , 1,..., ;
{ }
вовтором случае.
(4.5)
0 , 1,..., , 1,..., .
— 76 —
4.2. Транспортная задача с промежуточными пунктами
Как правило, вспециальной литературе поиссле­дованию операций и транспортной логистике данную задачу связывают сперевозками массовых однородных грузов. Однако, в практической деятельности моде­ли транспортных задач могут с успехом применяться ипри оптимизации доставки мелкопартионных грузов [2, 16, 27].
4.2. Транспортная задача
с промежуточными пунктами
Практически важным обобщением классической транспортной задачи является транспортная задача с промежуточными пунктами в цепи доставки товара отисточника iк стоку j. Так, например, промежуточные пункты (региональные склады) являются составной частью распределительной системы любой крупной компании, имеющей сеть универсальных магазинов вомногих городах.
Задачу выбора плана перевозок грузов от источ­ников кстокам сучетом промежуточных пунктов, обе­спечивающего потребности стоков с минимальными транспортными затратами, в исследовании операций называют транспортной задачей спромежуточными пунктами. Математические модели такой задачи изу­чались вработах [1, 2, 12, 19].
Задача 4.2. Торговая фирма имеет сеть складов, на которых сосредоточены все имеющиеся в наличии запасы товара. По результатам маркетинговых иссле-
ра между складами всоответствии спрогнозами сбыта продукции в районах размещения складов. Требуется
— 77 —
4. Сетевые задачи транспортной логистики
ij
c
разработать такой план перевозок товара между скла­дами, который позволит при минимальных транспорт­ных затратах создать на каждом складе необходимый запас товара.
На рис. 4.2 представлен граф сети транспортной задачи спромежуточными пунктами, накотором ука­заны:
а) склады ввиде вершин сномерами от1 до8;
б) избыток товара наскладе, который должен быть перераспределен всистеме складов;
в) недостаток товара на складе, который должен быть устранен засчет его поставок сдругих складов;
г) возможность перевозки товара со склада i насклад j (ориентированная дуга от вершины i к вер­шине j);
д) затраты
, связанные сперевозкой единицы то-
вара сосклада iна склад j.
Рис. 4.2. Граф транспортной задачи спромежуточными
пунктами
На рис. 4.2 видно, что суммарный избыток то­вара, имеющийся на складах (вершины 1 и 4), равен
— 78 —
4.2. Транспортная задача с промежуточными пунктами
4,5 5,4
cc≠
k
T
B
∑∑
суммарному недостатку товара, имеющемуся на скла­дах (вершины 3, 6 и 8). Перераспределение товара может происходить через склады с номерами 2, 4–7, которые врассматриваемой задаче иявляются проме- жуточными или транзитными пунктами. Началь- ным пунктом отправления, накотором имеется избы­ток товара, является склад сномером 1. Сэтого склада товар можно только вывозить, апунктами назначения являются склады сномерами 3 и8, накоторых есть не­достаток товара, ина эти склады товары можно только завозить. Кроме этого, между складами с номерами 4 и5 возможны перевозки вобоих направлениях, новоб­щем случае
(например, наличие односторонне-
го движения пократчайшему маршруту).
Объемы спроса и предложения, соответствующие этим пунктам отправления иназначения, вычисляют­ся следующим образом.
Пусть J − множество номеров складов, на кото­рые товар может быть доставлен сk-го склада, а I − множество номеров складов, с которых товар может быть доставлен наk-й склад.
− величина чистого запаса товара, равная объему исходного предложе­ния или исходного спроса, объем буфера
должен быть таким, чтобы вместить объем всего предложе­ния (или спроса). При таких обозначениях матема­тическую модель данной задачи можно представить вследующем виде.
Найти минимум целевой функции
при ограничениях
∈∈
i Ij J
cx
,,
ij ij
— 79 —
→
min,
(4.6)
4. Сетевые задачи транспортной логистики
,;
,;
0, , .
x x T B iI
x N iI jJ
∑
ij
c
,;
= ∀∈
,
ij i
,;
= ∀∈
,
ij j
+ = + ∀∈
,,
kj kk k
+ = ∀∈
,,
ik kk
0, , ;
{ }
(4.7)
x S iI
 
jJ
∈
x D jJ
∑
iI
∈
 
∑
jJ
∈
x x B jJ
∑
iI
∈
x iI jJ
≥ ∀∈ ∀∈
,
ij
∈ ∪ ∀∈ ∀∈
,
ij
Вспециальной литературе по исследованию опера­ций приводится доказательство того, что рассматривае­мая транспортная задача спромежуточными пунктами может быть сведена к эквивалентной классической транспортной задаче [1, 2, 4]. Вэтом случае склады сиз­лишками являются источниками, асклады снедостатка­ми товаров — стоками. Врезультате такого разделения складов, модель транспортной задачи с промежуточ­ными пунктами преобразуется к модели классической транспортной задачи, транспортную сеть которой можно представить ввиде двудольного графа (рисунок 4.1).
Примеры решения транспортной задачи с проме­жуточными пунктами рассмотрены вразделе 6.
4.3. Задача коммивояжера
В задаче коммивояжера заданы n пунктов (горо­дов, складов, магазинов ит.д.) иматрица Cрасстояний между ними, вобщем случае несимметричная. Размер этой матрицы n×n, ее элементы неотрицательные.
Задача 4.3. На графе транспортной сети требу­ется построить такой маршрут однократного обхода
по смыслу задачи
— 80 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности