Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
2.1. Задачи линейного программирования
{ }
0,1 , , 1,...,
x ij n∈=
{ }
, 1,...,ij n∀∈
,,
11
max
nn
ij ij
ij
cx
= =
→
∑∑
xX
,
F min , , .
ij ij
i Ij J
c x i kj h
∈
∈∈
= ⋅ ≠≠
∑
,
ij
бинарности переменных x
, означает выполнение требования
.
ij
На практике встречаются задачи о назначениях,
в постановках которых параметр c
,
ij
понимается как эффективность выполнения работы jис-
полнителем i. Вэтих случаях нужно так распределить
работы между исполнителями, чтобы суммарная эффективность была максимальной:
,
где максимум ищется при указанных в(2.5) ограничениях.
2.1.4. Кратчайшие пути
Для заданного графа транспортной сети, каждому
ребру x
требуется найти кратчайший путь изпункта kв пунктh,
сумма весов рёбер которого минимальна.
следующие обозначения:
x
– ребро графа, исходящее из вершины i и входящее
ij
ввершину j;
c
— вес ребра графа;
ij
F— целевая функция;
n– число вершин графа;
m– число ребер графа;
Требуется найти минимальное значение целевой функ-
ции 𝐹:
которого соответствует определенный вес cij,
ij
Для формализованной постановки задачи введем
Математическая постановка задачи следующая.
— 31 —
2. Модели задач линейного программирования
=∈≠∈ ≠
=∈≠∈ ≠
x k nk
= = −
1
i
x h nh
{ }
0,1 ,
x ij∈≠
0, .
ij
c ij= =
1
1
ij
x
∑
j
Вусловиях:
n
0, 1,..., ,
kj
1
=
n
1, , , , ,
x i Ii kj Jj h
ij
∑
1
=
i
n
1, , , , ,
x i Ii kj Jj h
ij
∑
1
=
j
{ }
— заданный номер пункта
отправления,
n
0, 1,..., ,
∑
=
= =
ih
{ }
— заданный номер пункта
назначения,
ij
,
Здесь: первое ограничение— число ребер, исходя-
щих извершины, неможет превышать
; второе огра-
ничение — число ребер, входящих в вершины, не может превышать
; третье ограничение— вначальную
вершину нет входящих ребер; четвертое ограничение— изконечной вершины нет исходящих ребер; пя-
тое ограничение— переменная задачи
принимает
значение 0, если ребро не включается в кратчайший
путь, 1 — если включается; шестое ограничение —
граф кратчайшего пути не должен содержать петель
ициклов.
Для заданного взвешенного связного графа транспортной сети, каждому ребру x
определенный вес c
сумма весов рёбер которого минимальна.
2.1.5. Минимальный остов сети
которого соответствует
, требуется найти остовное дерево,
ij
— 32 —
ij
2.1. Задачи линейного программирования
ij
x
j
ij
c
F
1
1,
n
ij
j
xn
=
≤−
∑
1
2,
m
ij
i
x=≤
∑
{ }
0,1 .
∈
1n −
Прикладная задача поиска минимального остовного дерева возникает, когда необходимо проложить раз-
ветвленную сеть коммуникаций (дорог, линий связи,
линий электропередач, логистических цепей) мини-
мальной длины, соединяющую n заданных объектов,
между которыми могут быть промежуточные объекты.
Введем следующие обозначения:
— ребро графа, исходящее из вершины i ивходя-
щее ввершину
;
— вес ребра графа;
— целевая функция;
n– число вершин графа;
m– число ребер графа.
Математическая постановка задачи следующая.
Требуется найти минимальное значение целевой функ-
ции 𝐹:
,
nm
F c x min
= ⋅→
∑
1, 1
= =
ij
ij ij
,
Вусловиях:
mn
∑∑
ji
11
= =
x
xn
ij
ij
= −
1;
Здесь: первое ограничение — число ребер, инцидентных каждой вершины, неможет превышать
;
второе ограничение — каждое ребро может быть
инцидентно только двум вершинам; третье
— 33 —
2. Модели задач линейного программирования
1n −
ij
x
... ,
+ ++ ≤
11 2 2
... .
nn
F cx cx c x= + ++
( )
12
, ,...,
T
n
xx x=x
0, 1, ,
x jn≥=
ограничение— остовное дерево должно содержать ровно
задачи
ребер; четвертое ограничение — переменная
принимает значение 0, если ребро невклю-
чается востовное дерево, 1— если включается.
Требование целочисленности переменных приводит к принципиальному изменению не только характера задач, нои возможных методов ихрешения. Впособии рассмотрены некоторые практические приемы
решения задач целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП). Изучение математических проблем
решения ЗЦЛП невходит взадачи настоящего учебного пособия.
2.2. Формы записи задач
линейного программирования
Рассмотренные выше примеры задач линейного
программирования позволяют сформулировать общую
задачу линейного программирования.
Дана система mлинейных уравнений инеравенств
сn переменными:
ax ax ax b
Илинейная функция:
11 1 12 2 1 1
ax ax ax b
+ ++ =
21 1 22 2 2 2
..................................
+ ++ ≤
ax ax a x b
12
m n n n mn n m
... ,
nn
nn
... .
(2.6)
Необходимо найти такое решение системы
(2.7)
, где:
j
— 34 —
2.2. Формы записи задач линейного программирования
F
min ,
jj
a x bi m
( )
12
, ,...,
T
n
xx x=x
( )
12
, ,..., .
T
n
cc c=c
0, 1,
x jn≥=
при котором линейная функция F (2.7) принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение.
Система (2.6) называется системой условий или
ограничений, афункция
— линейной функцией, ли-
нейной формой, целевой функцией или функцией цели.
Более кратко общую задачу линейного программи-
рования можно представить вследующем виде:
n
F cx
= ⋅
∑
x
1
j
=
при ограничениях:
n
⋅≤ =
ij j i
∑
1
=
j
x jn
j
, 1,
0, 1, .
≥=
,
вию (2.6), при котором линейная функция (2.7) принимает максимальное или минимальное значение, называется оптимальным решением или планом, наилучшим
покритерию оценки, заданному показателями:
вый термин используется, когда речь идет о математической стороне задачи, а второй — когда речь идет
опредметной стороне задачи (экономической или технологической).
и система ограничений (2.6) состоит только из нера-
венств — то задача линейного программирования
называется стандартной; если система ограничений
состоит только изуравнений, тозадача называется канонической.
Решение
, удовлетворяющее усло-
Термины «решение» и«план»— синонимы. Пер-
Если все переменные неотрицательные
— 35 —
j
,
2. Модели задач линейного программирования
F
aa a
aa a
aa a
1
2
n
c
c
c
=
c
Для изучения свойств задач линейного программирования и методов ихрешения целесообразно рассмотреть матричную форму записи.
2.3. Матричная модель задачи
линейного программирования
Введем следующие обозначения:
— скалярная целевая функция;
x
1
x
2
=
x
рования;
=
A
— переменные задачи линейного программи-
x
n
11 2 1
21 22 2
n
n
— матрица условий (постоян-
12
n n nn
ных технологических или экономических параметров
задачи);
b
1
b
2
=
b
— вектор ограничений (постоянных ограни-
b
n
ченных ресурсов задачи);
— вектор показателей качества (весов перемен-
ных вцелевой функции задачи).
— 36 —
2.4. Решение систем линейных уравнений
c
( )
( )
F min . 2.8
x
{ }
X : , 0,= ≤≥
X
x
mn×
c
+ ++ =
В принятых обозначениях матричная форма за-
писи задачи линейного программирования следующая.
Для известных матриц постоянных технологиче-
ских иэкономических параметров задачи А, bи
тре-
буется найти минимальное значение целевой функции:
= ⋅
T
cx (2.8)
R
∈
При ограничениях:
где
— множество допустимых решений задачи.
x Ax b x (2.9)
Здесь предполагается совместимость размерностей
А,
, bи c. Например, если в(2.9) А– (
)-матрица,
то х — n-мерный вектор-столбец, b – m-мерный вектор-столбец,
T
— n-мерный вектор-строка.
Любая задача линейного программирования может быть сведена к стандартной, канонической или
обшей задаче вматричной форме записи, для решения
которых можно применять богатый арсенал
9
линейной
алгебры, теории графов иматричного анализа.
2.4. Решение систем линейных уравнений
Рассмотрим систему плинейных уравнений сп неизвестными
определенными):
x (такие системы уравнений называются
i
ax ax ax b
11 1 12 2 1 1
ax ax ax b
+ ++ =
11 22
n n nn n n
nn
,
(2.10)
.
9
Арсенал— совокупность инструментов, средств иметодов, при-
меняемых для решения какой-либо задачи.
— 37 —
2. Модели задач линейного программирования
ij
a
j
x
aa a
aa a
aa a
=Ax b
A
ij
a
j
x
j
x
aa a
aa a
aa a
( )
det 0≠A
rang n=A
1−
A
11 1
−− −
⋅⋅= ⋅ ⋅= ⋅A AxA bIxA b
Определитель матрицы А, составленной из коэф-
фициентов
при неизвестных
, называют опреде-
лителем системы (2.10):
11 12 1
det
( )
Решить систему уравнений (2.10) можно различ-
21 22 2
=A
n n nn
12
a
n
n
. (2.11)
ij
ными методами. Матричный аппарат позволяет найти
решение линейной системы уравнений методом об-
ратной матрицы.
Систему плинейных уравнений сп неизвестными
(2.10) можно компактно записать вматричном виде:
где:
изкоэффициентов
— квадратная матрица порядка n, составленная
при неизвестных
x— вектор-столбец неизвестных переменных
, (2.12)
;
задачи;
b— вектор-столбец правых частей уравнения.
В развернутом виде введенные обозначения ма-
триц ивекторов принимают следующий вид:
A
11 12 1
21 22 2
=
n n nn
12
a
n
n
ij
,
x
1
x
2
=
x
,
x
n
b
1
b
2
=
b
.
b
n
Если А– невырожденная матрица (ее определитель
) иранг матрицы
обратная матрица
тричные соотношения:
, тосуществует
. Вэтом случае имеют место ма-
, .
— 38 —
2.4. Решение систем линейных уравнений
10 0
01 0
00 1
1−
= ⋅xA b
+ ++ =
11 2 2 n
xx x+ +…+ =
n
aa a b
11
21
1
1m
a
a
a
=
a
12
22
2
2m
a
a
a
=
a
a
b
Сучетом того, что единичную матрицу I:
1
−
⋅==A AI
,
можно незаписывать, решение системы (2.10) можно
представить вкомпактном виде:
. (2.13)
Таким образом, соотношение (2.13) лежит воснове
решения системы уравнений (2.10) или (2.12) методом
обратной матрицы.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п
неизвестными (при т < п такие системы называются
неопределенными):
,
(2.14)
.
ax ax ax b
11 1 12 2 1 1
ax ax ax b
+ ++ =
11 22
m m mn n m
nn
или ввекторной записи:
,
где
12n
a
,
, …,
a
n
n
=
,
a
mn
1
b
2
=
b
b
m
— со-
ответствующие системе уравнений (2.14) вектор-столбцы.
Запишем расширенную матрицу этой системы
ввиде:
— 39 —
2. Модели задач линейного программирования
aa a b
12
a a ab
a a ab
a a ab
11 12 1 1
21 22 2 2
n
n
a a ab
a a ab
=
A
11 12 1 1
21 22 2 2
n
n
a a ab
a a ab
=
A
A
12
11 12 1 1
21 22 2 2
=
n
n
n
m m mn m
Элементарными преобразованиями системы (2.14)
(или матрицы
) называются следующие преобразова-
ния:
• перестановка любых двух уравнений;
• умножение обеих частей одного из уравнений
налюбое отличное отнуля число;
• прибавление к обеим частям одного уравнения
соответствующих частей другого, умноженных налюбое число, отличное отнуля;
• вычеркивание нулевой строки (уравнения снулевыми коэффициентами исвободным членом, равным 0).
Легко проверить, что элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквива-
лентную систему.
Две системы линейных уравнений называются эк-
вивалентными, или равносильными, если каждое решение первой системы (если они существуют) является
решением второй, инаоборот. Соответствующие расширенные матрицы также называются эквивалентными.
При практическом решении системы линейных
уравнений [8, 25, 28], например, методом Жорда-
на-Гаусса, над строками матрицы
выполняют элементарные преобразования, так что некоторое неизвестное исключается из всех уравнений,
кроме одного, ив составе расширенной матрицы фор-
мируется единичная матрица.
— 40 —
последовательно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]