Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Транспортная логистика (линейное программирование). Учебное пособие
.pdf
5.5. Аналитическая экспертиза транспортных систем
( )
max ij
XI
Рис. 5.2. График функции
Таким образом, алгебраический метод позволяет аналитически решать задачи многокритериальной
оценки эффективности действующих транспортных систем, экспертизы проектов ихразвития или инновации.
— 101 —
6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКИ
Изучение характеристик объекта разными методами повышает достоверность знаний оего свойствах.
Основными объектами транспортной логистики являются грузовые ипассажирские потоки. Специфика
задач линейного программирования транспортной логистики заключается втом, что практически каждой
задаче транспортной логистики можно поставить
всоответствие взвешенный связный граф транспортной сети. Методы теории графов илинейной алгебры,
всочетании синструментами матричного анализа, позволяют аналитически находить оптимальные решения ЗЛП транспортной логистики алгебраическими
методами.
6.1. Минимальный остов транспортной сети
В задачах транспортной логистики схему транспортной сети можно представить взвешенным связным
графом, вершины которого соответствуют пунктам
отправления иназначения, аребра графа соответствуют путям сообщения между пунктами. Весами ребер
такого взвешенного графа, могут являются расстояния между пунктами, стоимость перевозки, стоимость
— 102 —
6.1. Минимальный остов транспортной сети
ij
x
ij
c
доставки сучетом погрузки/выгрузки, надежность доставки ит.д.
Врассматриваемой задаче веса ребер соответствуют стоимости доставки груза, пропорциональной расстояниям между пунктами сучетом затрат напогрузку/выгрузку единицы груза.
Задача 6.1. Для заданного взвешенного графа
транспортной сети (рис. 6.1.1), каждому ребру
торого соответствует определенный вес
(табл.6.1.1),
ко-
требуется найти остовное дерево, сумма весов рёбер которого минимальна.
Рис. 6.1.1. Исходный граф транспортной сети.
6.1.1. Алгоритм поиска минимального
остовного дерева графа
Строгой математической моделью топологии
транспортной сети является взвешенный связный граф,
вершины которого соответствуют пунктам отправления
иназначения, аребра графа соответствуют путям сообщения между этими пунктами.
— 103 —
6. Примеры решения задач транспортной логистики
1
v
2
v
3
v
k
v
i
v
1iv+
1, 1ik= −
, 1iix+
1
v
k
v
1
v
k
v
0
12
18
0
32
0
34
36
39
43
0
45c46
0
0
76
0
78c79
81c82
87
0
89
98
c
0
Матрица смежности вершин графа
Таблица 6.1.1
№
вершины
1
2
3 -
4 - -
5 - - -
6 - -
7 - - - - -
8
9 - -
1 2 3 4 5 6 7 8 9
- - - - -
c
c
21
c
c
c
- - - -
23
c
c
54
63c64c65
c
-
c
c
c
56
c
c
28
- -
- - -
- - -
- -
c
67
c
- - - -
c
93
- - -
c
c
c
97
-
-
c
c
c
Приведем краткие определения основных терминов
теории графов, необходимых для решения задачи поиска минимального остовного дерева транспортной сети.
Путь вграфе— это последовательность вершин
,
, …
различны. Путь соединяет все вершины от
, вкоторой каждая пара вершин (
, соединена ребром
, причем все эти ребра
до
,
.
Цикл — конечная вершина пути совпадает с начальной
=
.
,
),
— 104 —
6.1. Минимальный остов транспортной сети
i
v
iI∈
n
,ij I∈
1n −
, , , …
, в
,
), 1,1, соединена ребром
,
,
до
.
= v
.
ij
. ,. Каждому ребру взвешенного графа
ij ,
называемое весом ребра.
1, где – число
Неориентированное дерево (или просто дерево)—
это связный граф без циклов. Граф называется связным
если существует путь между любой парой вершин
. Мощность множества индексов вершин I равна
— числу вершин, соединенных ребрами xij.
Каждому ребру взвешенного графа сопоставлено некоторое число c
называемое весом ребра.
ij ,
Остовным деревом (или просто остовом) связного
графа G называется любой его подграф, содержащий
все вершины графа Gи являющийся деревом.
Если Т– некоторый остов графа G, товесом C(T)
этого остова называют сумму весов всех образующих
его ребер.
Вес остова невзвешенного графа равен числу ребер:
, где n— число вершин связного графа.
Для решения задачи поиска минимального остовного дерева взвешенного графа известно несколько алгоритмов [13, 14, 27].
Рассмотрим алгоритм Краскала напримере графа
сизвестными весами ребер (рис. 6.1.2). Численные значения весов ребер приведены втаблице 6.1.2.
,
.
Рис. 6.1.2. Граф транспортной сети
— 105 —
6. Примеры решения задач транспортной логистики
0
9
11
9010
4
1007∞11
6
707
2
709
112909
902
8811
4
204
6
840
,ij k h
cc≤
,i kj h≤≤
Матрица весов ребер графа
Таблица 6.1.2
№
вершины
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
2
3 ∞
4 ∞ ∞
5 ∞ ∞ ∞
6 ∞ ∞
7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
9 ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
∞
∞
∞ ∞
Алгоритм поиска минимального остова взвешенно-
го графа состоит изследующих действий.
1. Сортируем ребра повозрастанию ихвеса
, иформируем множество F:
F={С
С
34
=2, С78=2, С28=4, С89=4, С39=6,
46
=7, С45=7, С79=8, С12=9, С56=9, С67=9,
С
=10, С18=11, С36=11}.
23
— 106 —
,
№вершины 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 9 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 ∞
2 9 0 10 ∞ ∞ ∞ ∞ 4 ∞
3 ∞ 10 0 7 ∞ 11 ∞ ∞ 6
4 ∞ ∞ 7 0 7 2 ∞ ∞ ∞
5 ∞ ∞ ∞ 7 0 9 ∞ ∞ ∞
6 ∞ ∞ 11 2 9 0 9 ∞ ∞
7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 9 0 2 8
8 11 4 ∞ ∞ ∞ ∞ 2 0 4
9 ∞ ∞ 6 ∞ ∞ ∞ 8 4 0
,
, ,, и
=2, С78=2, С28=4, С89=4, С39=6, С34=7, С45=7, С79=8, С12=9, С56=9,
18
=11, С36=11}.
46
=2, С78=2, включаем их в
=2, С78=2},
=4, С89=4, С39=6, С34=7, С45=7, С79=8, С12=9, С56=9, С67=9, С23=10,
с
с
6.1. Минимальный остов транспортной сети
2. Выбираем ребра с наименьшим весом С46=2,
С
=2, включаем ихв множество ребер остова D, иис-
78
ключаем ихиз множества F:
F={С
=4, С89=4, С39=6, С34=7, С45=7, С79=8, С12=9,
28
С
=9, С67=9, С23=10, С18=11, С36=11}.
56
D={С
Множеству ребер D соответствует несвязный
граф:
23
2 3 4
=2, С78=2},
46
34
с12
1 59
4
с39
с36
с45
2
79
с
18
8 7 6
4
3. Выбираем в F такие следующие ребра С28=4,
С
=4, имеющие наименьший вес среди оставшихся ре-
89
бер, чтобы граф сребрами С
ребер С
=4, С89=4 несодержал циклов.
28
Присоединяем к уже выбранному множеству
D={С
иисключаем эти ребра С
=2, С78=2} ребра С28=4, С89=4:
46
F={С
D={С
=6, С34=7, С45=7, С79=8, С12=9, С56=9,
39
С
=2, С78=2, С28=4, С89=4},
46
=9, С23=10, С18=11, С36=11}.
67
В результате получаем следующий несвязный
граф:
с
с
=2, С78=2 при добавлении
46
=4, С89=4 измножества F:
28
672
с56
— 107 —
6. Примеры решения задач транспортной логистики
28
=4, С89=4, имеющие
С46=2, С78=2
28
=4, С89=4 не содержал циклов.
С46=2, С78=2} ребра
D={
С46=2, С78=2, С28=4, С89=4},
С28=4, С89=4 из множества F:
=6, С34=7, С45=7, С79=8, С12=9, С56=9, С67=9, С23=10, С18=11,
с
с
4. Выбираем в F такое следующее ребро: С39=6,
имеющее наименьший вес среди оставшихся ребер,
чтобы граф с ребрами D={С
при добавлении ребра С
Включаем ребро С
D={С
=2, С78=2, С28=4, С89=4, С39=6}, и исключаем
46
его измножества F={С
С
=9, С23=10, С18=11, С36=11}.
67
=6 несодержал циклов.
39
=6 в множество ребер остова
39
=7, С45=7, С79=8, С12=9, С56=9,
34
=2, С78=2, С28=4, С89=4}
46
Врезультате получаем следующий граф:
23
2 3 4
34
с12
6
с45
с
36
1 59
4
с
18
4
79
с
672
с
2
8 7 6
5. Выбираем в F такие следующие ребра: С34=7,
С
=7, имеющие наименьший вес среди оставшихся
45
— 108 —
с56
ребер, чтобы граф с ребрами D={С46=2, С78=2, С28=4,
34
=7, С45=7, , имеющие
С46=2,
=4, С89=4} при добавлении ребер С
34
=7, С45=7 не содержал циклов.
34
=7, С45=7 в множество ребер остова D={С
46
=2,
=4, С89=4, С39=6, С34=7, С45=7}, и исключаем их из множества
12
=9, С56=9, С67=9, С23=10, С18=11, С36=11}.
1 59
2 3 4
8 7 6
с12
с23 с34
с45
с56
2
с
672
с
18
4
4
с
79
6
с
36
с23 7
С
=4} при добавлении ребер С34=7, С45=7 не содержал
89
циклов.
Включаем ребра С
остова D={С
С
=7}, иисключаем ихиз множества F={С79=8, С12=9,
45
С
=9, С67=9, С23=10, С18=11, С36=11}.
56
Получаем следующий граф:
6.1. Минимальный остов транспортной сети
=7, С45=7 в множество ребер
=2, С78=2, С28=4, С89=4, С39=6, С34=7,
46
34
2 3 4
с12
6
7
с36
1 59
4
18
с
4
8 7 6
с
79
672
с
2
с
56
6. Выбираем в F={С79=8, С12=9, С56=9, С67=9,
С
=10, С18=11, С36=11} ребро с минимальным ве-
23
сом С
=8. При добавлении этого ребра образуется
79
цикл между вершинами 7–8-9, поэтому ребро С
невключается вмножество D, иисключается измно-
79
=8
жества F.
Выбираем следующие по величине ребра: С
С
=9, С67=9. При добавлении кD ребра С56=9, образу-
56
ется цикл между вершинами 4–5-6, апри добавлении
С
67
поэтому ребра С
=9, образуется цикл между вершинами 3–4-6–7-8–9,
=9, С67=9 невключаются вмножество
56
12
=9,
D, иони исключаются измножества F.
Выбираем ребро С
=9, имеющее наименьший вес
12
среди оставшихся ребер множества F. При добавлении
— 109 —
6. Примеры решения задач транспортной логистики
67
=9, образуется цикл между вершинами 3-4-6-7-8-9, поэтому
67
=9 не включаются в множество D, и они исключаются из
12
=9, имеющее наименьший вес среди оставшихся
12
=9 в множество D={С
46
=2,
89
=4, С34=7, С45=7} циклов не образуется, поэтому включаем
46
=2, С78=2, С28=4, С89=4, С39=6,
12
=9}, и исключаем ребро С12=9, из множества F={С
23
=10,
ребра С12=9 вмножество D={С46=2, С78=2, С28=4, С89=4,
С
=7, С45=7} циклов необразуется, поэтому включаем
34
ребро С
С
=4, С89=4, С39=6, С34=7, С45=7, С12=9}, и исключаем
28
ребро С
=9 вмножество ребер остова D={ С46=2, С78=2,
12
=9, измножества F={С23=10, С18=11, С36=11}.
12
Получаем следующий граф:
23 7
с
2 3 4
9
1 59
4
с
18
8 7 6
7. Остовное дерево должно содержать n– 1 ребер.
Если количество ребер множества Dдостигло значения
6
с
36
4
8
92
7
2
9
n– 1, тоискомый остов построен. Впротивном случае
возвращаемся кпункту 2.
В рассмотренном примере число вершин n=9.
Число ребер построенного графа равно 8= n– 1. Легко
проверить, что при добавлении в D любого из оставшихся ребер в F={С
=10, С18=11, С36=11} образуется
23
цикл.
Таким образом, построено минимальное остовное
дерево взвешенного связного графа транспортной
сети, сумма весов ребер которого минимальна ирав-
на:
,
mn
∑
= =
1, 1
ij
cx
ij ij
=
41.
— 110 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]