Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
Глава 11. Нули аналитической функции. Теорема единственности 431
10) f(z) =
∞
X
n=0
(−1)
(λz)
n
(2n + 1)!
2n+1
= sin λz.
221. 1) −4π2− 4πiz + (1 − 2πi)z2+ (1 −4πi/3)z3+ (11/12 −πi)z4+ . . . ;
2) z2− 2/3z4+ 23/45z6− . . . ; 3) z3− 5/36z5+ . . . ; 4) −1/2z2− 1/12z4− . . . ;
5) −1/6z2− 1/180z4− . . . ; 6) z + 1/3z3+ 2/15z5+ . . .
222. 1) −i1 +
πi
2)
4) −2 −
z −i
+
2
i
z −1
4
1
(z −i) −
3i
(z −i)
−
∞
X
+
n=2
2i
1
2
(z −i)2+
2
2
2i
3
2
(z −i)
+
2
3
3i
(−1)n(2n − 3)!!
3n−1
2
n!
1
2 · 5
3
3
3!i
3
3
− . . .; 3) 4π + z +
(z −1)n; 5) 2πni +
(z −i)3+ . . .;
∞
X
(2n − 1)!!
2nn!(2n + 1)
n=1
∞
2n+1
X
z
2n + 1
n=0
2n+1
z
.
Глава 11. Нули аналитической функции. Теорема
единственности
233. 1) z1= 3i, z2= −3i — простые нули;
2) z1= 2i, z2= −2i — нули третьего порядка;
4) zk= kπ, k ∈ Z, — нули второго порядка;
5) zk= 2kπ, k ∈ Z, — нули второго порядка;
6) zk=
234. 1) n = 3; 2) n = 4; 4) n = 3; 5) n = 2; 6) n = 2.
235. 2) z
3) z0= 0 — нуль второго порядка, zk= kπ, k ∈ Z\{0}, — нули третьего порядка;
4) z
5) z
6) z0= 4 — нуль ветви, для которой√1 = 1, n0= 3.
236. 2) не существует; 3) существует, f (z) = 1/(z + 1); 4) не существует;
5) существует, f (z) = z2; 6) не существует.
237. 2) не существует; 3) не существует; 4) не существует;
5) такими функциями являются только константы; 6) не существует.
242. 1) 15; 2) 3; 3) 2; 4) 3; 5) 4; 6) 2; 7) 3; 8) 1; 9) 3;
10) 2; 11) 10; 12) 6; 13) 6; 14) 7.
243. 2) да, f (z) = (z − 1)3; 3) нет; 4) да, f(z) ≡ 0; 5) да, f (z) = 3/(1 + 2z);
6) нет; 7) нет; 8) нет; 9) нет; 10) нет; 11) да, f (z) ≡ 0;
12) нет; 13) нет; 14) нет; 15) нет.
r
π
3
+ kπ, k ∈ Z, — простые нули.
2
∗
= ±2i — нули третьего порядка, zk= 2kπi, k ∈ Z, — простые нули;
1,2
= ∓π — нули третьего порядка, zk= kπ, k ∈ Z \ {−1, 0, 1}, — простые
−1,1
нули;
= ±√2/2 ±√2/2 i, z5= 1, z
1,2,3,4
= −1/2 ±√3/2 i — простые нули;
6,7
;
432 Ответы
Глава 12. Ряд Лорана
∞
X
1 + 3i
10
3 − i
10
3 − i
10
∞
X
n=0
∞
X
n+1
z
n=0
∞
X
n=−1
∞
X
(−1)nz2n; б)
n=0
4(z −i)
∞
X
(−1)
n=0
∞
X
(−1)
(z −1)
n=1
∞
X
1
n=0
+ z + z2+
∞
X
sin1 +
n!
n=0
1
2
∞
X
n=0
"
∞
X
n=0
∞
X
n=0
1 +
1
zn; б)
i
n
n−1
(−1)
n+1
4
2
z
+
2!
(z −1)
n=1
−
2
z
n
i
n+2
z
(−1)
in− (−1)n3
(−1)
2
∞
X
n=0
−
4(z −i)
n
z
n+1
+
n
n+1
1
4!
∞
X
n=1
∞
X
n=1
nπ
2
n
1) a) −
254.
2) a)
б)
в)
3) a) −
в)
4) a) −
5) a)
255. 1) −
1
2)
9
1
3)
9
5)
54
256. 1) z4−
1
2)
2
4) (z − 1) + 2 +
5) −
X
1
+
n
n=0
+
(1 − i)
n
(z −1)
n
n+1
(−1)
∞
X
n=0
∞
X
n=0
1
1
+
9
∞
X
1
9
n=0
−
n+1
2
∞
X
+
n=3
(n + 2)!z
(−1)
.
∞
9 − 3i
10
n
zn; б)
n
z
1 −
(−1)
(2i)
+
2
∞
X
n=−1
3n + 5
2
1
(−1)
(2n)!z
1
n−1
!
n
z
n+1
3
∞
X
n=0
∞
n
X
+
n
n=0
1
;
n
z
∞
X
n=0
n
2
;
n+1
1
n+1
2
n
(z −i)
n+1
∞
X
(n + 3)in(z −i)
n=0
3n + 2
n+2
z
(z −1)n; 4)
n+2
(z −1)n−
n
2n−4
; 3)
n
1
(2n−1)!
(z −1)
1
; б) −
4
n−1
(−1)nz
n+1
3
n+1
(−1)
1
−
n+1
z
(z + 1)n; в)
n−1
n+4
2
;
X
1
9
n=2
;
∞
X
(−1)
n=1
−
(2n+1)!
2n−1
∞
X
n=−1
(z −1)
∞
X
n=0
; в)
∞
n
1
(z −1)
2
;
n
n+1
4
(−1)
n+1
2
∞
X
n=2
∞
X
n=0
n
;
"
1
−
9
n − 1
(z −1)
1
n!(z −1)
+
; в)
∞
X
1
2
n=0
n
n
#
;
n
zn;
1
;
n
z
n
(−1)
.
2n+2
z
∞
X
2
z
n
+
n=2
.
n−1
3n − 4
n
z
+ (z − 1);
n
2(−1)
(2n + 1)!(z − 1)
(3n−1)
∞
X
−
n=0
2n
1
;
n+1
z
#
n
z
;
n
2
;
Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции 433
257. 1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) нет; 5) да.
−∞
261. 1) f (z) =
2) f (z ) = −
3) f (z ) =
262. 1)
n=0
4)
(b − a)
∞
X
5)
n=1
6) i arctg
c
−2k
∞
X
7)
n=2
c
−2k
2a
8) e
9) cos 1 +
X
n=−1
−∞
X
n=−1
−∞
X
n5nzn+
n=−1
∞
X
n
(−1)
∞
X
1
2
n=0
n−3
(z −a)
n
(b − a)
∞
X
1
z
2
2
n=0
= 22ki arctg
c
−n
, c
−(2k+1)
n
z
2k−1
= −i2
∞
n
X
2
(z −a)n+ a(z − a)
n!
n=0
∞
X
n=0
(n + 1)3n+
3nz3n+
sin(1 + πn/2)
n!(z + 1)
n
z
n
n+1
b
;
n
∞
n
X
+
n
n=1
1
2
= 2c
− 2
n−1a2n−1
(−1)
(2n − 1)!(z − a)
10)(z −a)2+ 2a(z − a) + a
∞
X
n
2
n=1
∞
X
n
3
n=0
; 2) −2
n
+ (n + 1)
c
−n
, c
n
z
k−1
X
−
m=0
, k ∈ N,
−2k
2k−3
/3 + 2
X
2
n=0
∞
n
(−1)
n
2
2
3n−1
z
n
2
+ (−1)
n
n
a
n+1
z
−(2k+1)
(−1)
(2m + 1)2
2k−5
n−1
;
sin 1
+
4n−2
(−1)na2nsin 1
(2n)!(z −a)
∞
X
zn+
, {z : 1/
n+12n
∞
X
n=1
+
= 2c
m
2m+1
n
n
4
n=0
√
3
3 < |z| <
zn, {z : 1/5 < |z| < 1/2}.
1
(2n − 1)z
2
3
(b − a)
, k ∈ N, c−1= 2i arctg(1/2),
−2k
!
;
/5 + . . . + (−1)
(−1)na2ncos 1
2n
4n
+
(2n)!(z −a)
2
zn, {z : 2 < |z| < 4};
√
3
2};
∞
X
2n−1
∞
X
n=0
k+1
; 3)
n
a
n+1
z
2/(2k −1);
n=1
+
b
z
n+1
bn− a
n
;
2n+1
(−1)na
(2n + 1)!(z − a)
cos 1
2n+1
nz
263. 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет; 6) нет; 7) нет;
9) да, если α ∈ Z, нет — в остальных случаях; 10) да.
264. 1) нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да.
n
;
n
;
.
Глава 13. Изолированные особые точки
аналитической функции
270. 1) z
= ±i — полюсы первого порядка;
1,2
434 Ответы
2) z0= 0, z
3) z1= −1, z
= ±√2/2 ±√2i/2 — полюсы первого порядка;
1,2,3,4
= 1/2 ±√3i/2 — полюсы второго порядка;
2,3
4) z = 0 — устранимая особая точка; 5) z = 0 — существенно особая точка;
6) zk= 2kπ, k = ±1, ±2, . . . — полюсы второго порядка, z = 0 — полюс первого
порядка.
271. 1) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞— полюс первого порядка;
2) z = 0 — полюс второго порядка, z = ∞— существенно особая точка;
3) zk= 2kπ, k ∈ Z, — устранимые особые точки, zk= (2k+ 1)π, k ∈ Z, — полюсы
второго порядка;
5) z = ∞ — существенно особая точка;
6) z = 0 — полюс второго порядка, z = i 2kπ, k = ±1, ±2, . . . — полюсы первого
порядка.
272. 1) z = 0 — устранимая особая точка, zk= π(2k + 1)/2, k ∈ Z, — полюсы
первого порядка, z = ∞ — предельная точка для полюсов;
2) z = 1 — существенно особая точка, z = ∞ — устранимая особая точка;
3) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞ — устранимая особая точка;
4) z = 0 — устранимая особая точка, zk= kπ, k = ±1, ±2, . . . — полюсы первого
порядка, z = ∞ — предельная точка для полюсов;
5) zk= π(2k + 1)/2, k ∈ Z, — полюсы второго порядка, z = ∞ — предельная
точка для полюсов.
273. 1) да; 2) нет, z = ∞— предельная точка полюсов;
3) нет, z = ∞— предельная точка полюсов;
4) нет, z = ∞— предельная точка полюсов;
5) нет, z = ∞— предельная точка полюсов.
278. 1) zk= 2/((2k+1)π), k ∈ Z, — существенно особые точки, z = 0 — предельная
точка для существенно особых, z = ∞ — устранимая особая точка;
2) zk= 2/((2k + 1)π), k ∈ Z, — существенно особые точки, z = 0 — предельная
точка для существенно особых, z = ∞ — устранимая особая точка;
3) z = −2 — полюс второго порядка, z = 2 — существенно особая точка, z = ∞—
полюс третьего порядка;
4) z0= i — существенно особая точка, zk= i(1 − 4k), k ∈ Z \ {0}, — простые
полюсы, z = ∞ — предельная точка для полюсов;
5) zk= k, k ∈ Z, — существенно особые точки, ˜zk= iπ(1 + 2k), k ∈ Z, — простые
полюсы, z = ∞ — предельная точка для zkи ˜zk;
6) z = 1 — существенно особая точка, zk= 2πki, k ∈ Z, — простые полюсы,
z = ∞ — предельная точка для полюсов.
280. 1) устранимая особая точка; 2) полюс пятого порядка; 3) простой полюс;
4) полюс третьего порядка; 5) существенно особая точка;
6) существенно особая точка.
Глава 14. Вычисление вычетов 435
281. 1) для одной ветви (√1 = 1) — устранимая особая точка, для другой ветви
(√1 = −1) — простой полюс;
2) для одной ветви (√1 = 1,
устранимая особая точка;
3) для одной ветви (√1 = 1) — полюс второго порядка, для другой ветви
(√1 = −1) — устранимая особая точка;
4) для одной ветви (√1 = 1) — устранимая особая точка, для другой ветви
(√1 = −1) — существенно особая точка;
5) для одной ветви (√1 = 1) — устранимая особая точка, для другой ветви
(√1 = −1) — простой полюс;
6) для всех ветвей — простой полюс;
7) для одной ветви (√1 = 1) — устранимая особая точка, для другой ветви
(√1 = −1) — существенно особая точка;
8) для одной ветви (√1 = 1) — устранимая особая точка, для другой ветви
(√1 = −1) — простой полюс.
282. 1) если m 6= n, то z = ∞ — полюс порядка k = max{m, n}, если m = n, то
z = ∞ — либо полюс порядка k 6 n, либо устранимая особая точка;
2) если n > m, то z = ∞ — полюс порядка n − m, если n 6 m, то z = ∞ —
устранимая особая точка;
3) z = ∞ — полюс порядка n + m;
4) если k 6 0, то z = ∞ — устранимая особая точка, если k > 0, то z = ∞ —
полюс порядка kn;
5) z = ∞ — существенно особая точка;
6) если m > n, то z = ∞— устранимая особая точка, если m < n, то z = ∞ —
существенно особая точка;
7) z = ∞ — полюс порядка nm;
8) если m > n, то z = ∞— устранимая особая точка, если m < n, то z = ∞ —
существенно особая точка.
284. У к а з а н и е. Рассмотреть функцию f(z) = sin(1/z).
√
3
1 = 1) — простой полюс, для остальных ветвей —
Глава 14. Вычисление вычетов
291. 1) Res0f(z) = 1, Res∞f(z) = −1; 2) Res0f(z) = −1, Res∞f(z) = 1;
3) Res0f(z) = 1/4, Res∞f(z) = −1/4; 4) Res0f(z) = 0, Res∞f(z) = 0;
6) Res0f(z) = 1/24, Res∞f(z) = −1/24.
292. 1) a) 1; б) 0; 2) a) − 1/2; б) 1; 3) a) − 1/2; б) 2i;
4) a) 1; б) −1; 6) a) 1; б) 1/2.
293. 1) a) полюс первого порядка, Res∞f(z) = 1; б) полюс первого порядка,
Res∞f(z) = 1/6;
436 Ответы
2) a) устранимая особая точка, Res∞f(z) = −1; б) полюс первого порядка,
Res∞f(z) = −1/6;
3) a) устранимая особая точка, Res∞f(z) = 0; б) полюс второго порядка,
Res∞f(z) = −1/6;
4) a) устранимая особая точка, R es∞f(z) = −1; б) существенно особая точка,
Res∞f(z) = 0;
a) устранимая особая точка, Res∞f(z) = 0; б) неизолированная особая точка.
6)
294. 1) a) полюс первого порядка, Res0f(z) = 1; б) полюс первого порядка,
Res1f(z) = −1/2;
2) a) полюс второго порядка, Resif(z) = −i/4; б) полюс второго порядка,
Res−if(z) = i/4;
3) a) полюс второго порядка, Res0f(z) = 1/9; б) полюс первого порядка,
Res3if(z) = −1/54(sin 3 −i cos 3);
4) a) полюс первого порядка, Res0f(z) = 1; б) полюс первого порядка,
Res1f(z) = −1/2;
6) a) полюс второго порядка, Res
Res1f(z) = −(6 + 8i)/25.
295. 1) Res0f(z) = 1, Res1f(z) = −1/2, Res−1f(z) = −1/2, Res∞f(z) = 0;
2) Res0f(z) = 1, Resif(z) = −1/2, Res−if(z) = −1/2, Res∞f(z) = 0;
3) Res0f(z) = 0, Res1f(z) = 1, Res∞f(z) = −1;
4) Res0f(z) = 1, Res1f(z) = −1/2, Res−1f(z) = −1/2, Res∞f(z) = 0.
301. если n − m > 1, то сумма равна 0, если n = m + 1, то сумма равна 1, если
n − m < 1 и (m −n + 1)/n = p, p ∈ N, то сумма равна (−1)p, если n − m + 1
не делится на n, то сумма равна 0.
302. 1) Res−1f(z) = (−1)
2) Res
1/(πk)
f(z) = (−1)
n+1
C
k+1
/(π2k2), k ∈ Z, Res∞f(z) =
3) Res0f(z) = − Res∞f(z) = 0; 4) Res0f(z) = − Res∞f(z) =
5) Resπkf(z) = 0, k ∈ Z, z0= ∞— предельная точка для полюсов;
6) Res−3f(z) = − Res∞f(z) = −sin 2
f(z) = (6 + 8i)/25; б) полюс первого порядка,
−2i
n+1
, Res∞f(z) = (−1)nC
2n
∞
X
(2n − 1
n=1
2n
4
n+1
2n
)!(2n)!
k
, C
= n!/(k!(n − k)!);
n
∞
X
2
2
π
n=1
+
∞
X
n=0
(−1)
n
∞
X
n=0
(2n)
n
2
n!(n + 1)!
1
= −
6
1
2n+1
4
!(2n + 1)!
;
;
!
;
Глава 14. Вычисление вычетов 437
7) если n 6 −2, то Res0f(z) = −Res∞f(z) = 0, если n = −1, то
Res0f(z) = − Res∞f(z) = 1, если n = 0 или положительное чет-
ное, то Res0f(z) = − Res∞f(z) = 0, если n => 1 и нечетное, то
Res0f(z) = −Res∞f(z) = (−1)
8) Res0f(z) = 1/2, Res
для полюсов;
9) Res
f(z) = (−1)k2π2k2, k ∈ N, z0= ∞— предельная точка для полюсов;
2
π2k
−2πki/n
10) если n четное, то Res0f(z) = −Res∞f(z) = 0, если n нечетное, то
Res0f(z) = −Res∞f(z) = 1/(n − 1)!.
303. 1) если n четное, то Res∞f(z) = 0, если n нечетное, то
Res∞f(z) = (−1)
∞
X
2)
(−1)
n=2
(n+1)/22n−2πn−1
2n+1
π
n
(2n + 1)!
; 3) −1 +
5) если n четное, то Res∞f(z) = −1/(n + 1)!, если n нечетное, то Res∞f(z) = 0;
6) −sin 1; 7) −1/2; 8) 4 sh
304. 2) ±1/2; 3) 1/e − e для всех ветвей;
4) если Arth z = πki, то Res0f(z) = πki, k ∈ Z;
6)
∞
X
n=1
n
(−1)
(2n − 1)(2n)!
; 7) 0 для всех ветвей;
8) если√1 = −1, то Res1f(z) = 0, если√1 = 1, то Res1f(z) = −2;
9) 0 для всех ветвей;
10) если√1 = −1, то Res1f(z) = 0, если√1 = 1, то Res1f(z) = −2.
305. 1) Res0f(z) = 0, Res
2) Res1f(z) = C
√
k
i
πn
n−1
, n ∈ N; 3) R es−1f(z) = −n, Res0f(z) = n + 1;
2n
4) Res1f(z) = −2; 5) Res0f(z) = −4/π2, Res
6) Resif(z) = −i(2n)!/((n!)22
7) Res
f(z) = 0, n ∈ Z; 8) Res0f(z) =
iπn
(n−1)/2
/(n − 1)!;
f(z) = 1/(2πki), k ∈ Z, z0= ∞ — предельная точка
/(n − 1)!;
f(z) =
2n+1
X
n=1
1
2
∞
−
2n−k
i
2√πn
2n−1π2n
2
n
(−1)
∞
X
n=1
2n−1
2
(2n)!
1
(2n + 1)!
, k = 0, 1, 2, 3, n ∈ N;
f(z) = 0;
π/2
; 4) −sin 1 +
), Res−if(z) = i(2n)!/((n!)22
n
X
a
k−1
.
k!
k=1
; 9) 0; 10) −1/2.
2n+1
);
∞
X
n=1
(−1)
(2n + 1)!
n
;
438 Ответы
Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
313. 1) a) 0; б) πi/2; в) −πi/4; г) 0; 2) a) 0; б) πi/5; в) −2πi/15; г) 0;
3) a) 0; б) πi/16; в) 4πi/9; г) 0; 4) a) 0; б) 0; в) π; г) 0;
5) a) 0; б) 2π(−1 + 2i)/5; в) 2π(1 − 2i)/5; г) 0.
314. 1) 2πi (2/sin 1 − 1); 2) 0; 4) 4πi; 5) 2πi; 6) 4πi/3.
315. 2) 0; 3) 0; 4) πi/2; 5) πi(1 + i)/2; 6) 6πi.
316. 1) 0, 2πi, −πi, −πi; 2) 0, −πi/2, πi/2; 3) 0, −2πi/3, 2πi/3;
4) 0, πi, −πi; 5) 0, 2πi, −2πi.
321. 1) 2πi(log2e − 1,5); 2) (−1 + i)π√2/4; 3) 4,5π2i; 4) 4πi(cos 1 − sin 1);
5) −49πi/6; 6) −2πi/3; 7) 32πi.
322. 1) 0; 2) 0; 3) −4π; 4) 0; 5) 0; 6)q1 +√2/4;
7) если Ln(−1) = −πi, то −2πi, для остальных ветвей 0; 8) 0 для всех ветвей;
9) если√1 = 1, то 0, если√1 = −1, то −4πei; 10) 0; 11) 2π(1 + 2i)/5.
323. 1) 4π3i; 3) 0; 4) 2πi; 5) 8πi; 6) −5πi.
324. 1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) −7; 5) −1; 6) −2; 7) 3; 8) −3.
Глава 16. Вычисление собственных и несобственных
интегралов
332. 3) 2π; 4) πi; 5) 2π; 6) 2π.
333. 2) 3π√2/2; 3) 5π/32; 5) −√2πi; 6) 10π/9.
334. 1) π√2; 2) 2π/3; 3) 2π/3; 4) π/2.
338. 1) 2aπ/(a2− b2)
4) 2π/(1 − a2); 5) 0 при n < m, C
6) 0 при a = 0, iπ sign a при a 6= 0; 7) 2π/(bpa2+ ab);
8) (2a + b)π/(a2+ ab)
339. 1) (2n − 3)!!π/((2n −2)!!2) при n > 1, π/2 при n = 1; 2) π/(a2b + ab2);
3) π/(n sin(π/n)); 4) π sin(π/(2n))/(n sin(π/n)); 5) 2π/3; 6) π/(4a);
7) π(2n)!/(4na
340. 1) (π − 2)/8; 2) π/2; 3) 1/6; 4)
5) π(1 −ln 2); 6) π ln 2.
341. 1) π2/2; 2) π2/8; 3) π2/6; 4) π3/8.
3/2
; 2) 2π(√2 − 5/4); 3) (a2+ 1)π/(a4− a2);
3/2
.
2n+1
(n!)2); 8) 13π/648.
m+n
2n
2n+1
π/2
π
ln a + π ln1 +√2;
4
при n > m;
Глава 17. Применение теории вычетов ...
349. 1) I1= π/e, I2= π/e, I3= 0;
Глава 18. Логарифмический вычет, принцип аргумента 439
I3=
1
(cos 3 + sin 3) + i(cos 3 −sin 3), I2=
6
2 e
1
(cos 3 + sin 3);
6
2 e
π
, I2= 0, I3=
4
2 e
π(2 + i)
π
4 e
(cos 1 + i sin 1), I2=
e
; 2)
4
π
2 e
2) I1=
3) I1=
6) I1=
350. 1)
351. 1) f (t) = 3 et− 2 e
π
; 4) I1= i
4
2 e
; 3)
−4
−2t
; 2) f (t) = cos 2t − 3/2 sin 2t;
4 e
π
π
(cos 1 + 2 sin 1), I3=
e
π
; 4)
2 e
6
π
12
e
; 6)
1
(cos 3 − sin 3),
6
2 e
, I2=
π
(1 − e−ω).
2
π
12
e
, I3= 0;
π
(2 cos 1 − sin 1).
e
3) f (t) = 3/8 sin t − 3/8 t cos t − 1/8 t2sin t; 4) f (t) = et− 1/2t2− t − 1.
355. 1) I1= πe
2) I1= πe
3) I1= iπe
−ab
−ab
−a|ω|
/a, I2= 0, I3= πe
/(2b), I2= 0, I3= πe
/2, I2= πe
−ab
/2, I3= 0;
−ab
−a|ω|
/(2b);
/a;
4) I1= iπe−4(2 cos 2 + sin 2)/2, I2= πe−4(2 cos 2 + sin 2)/2, I3= 0;
5) I1= i2πe
6) I1= πe
I3= πe
−ar
, I2= 2πe
−|ω|√3/2
−|ω|√3/2
−ar
, I3= 0;
(3 s in(|ω|/2) +√3 cos(ω/2))/6, I2= 0,
(3 s in(|ω|/2) +√3 cos(ω/2))/6.
356. 1) πi; 2) π(2 sin 2 − 3 sin 3); 3) π(cos 1 − e−2)/5;
4) π/3(sin t + e
357. 1) π(e
−t√3/2
−ab
− 1/2); 2) π(1 − e
(sin(t/2) +√3 cos(t/2))); 5) π(e−t− sin t)/4.
−ab
)/(2b2); 3) π(2 − (2 + ab)e
−ab
4) π/2; 5) π(b − a).
358. 2) x(t) = e
5) x(t) = −
359. 1) x(t) = 4e
3) x(t) = 3et− 2e−t+ e2t, y(t) = 3et− e−t− e2t;
4) x(t) = et− 1 + e
−2t
− 1/2; 3) x(t) = te−t+ t; 4) x(t) = tet+ 3et+ 1;
1
3
1
e−t−
4
− 3e
t/2
sin t.
2
−3t
, y(t) = 3e
−3t
−2t
− 2e
; 2) x(t) = 2 + 8t, y(t) = 1 −4t;
cos(√3/2t) + 1/√3 sin(√3/2t), y(t) = t + 1 − x(t).
4
et−
−2t
)/(4b4);
Глава 18. Логарифмический вычет, принцип
аргумента
364. 1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) −5.
365. 1) 4π3i; 2) 2πi; 3) 0; 5) 8πi.
366. 1) 1; 2) 4; 3) 4; 4) 1.
367. 1)
3)
1)
; 4)
1
+
5i − 3
4(z −i)
2
+
z
2
z −1
3
1
−
z
z −1
−
2(z +
−
1
2
z +
z +
−
1
2
+ 5i
3
4(z + i)
−
(z +
10
; 2
2)
−
)
z +
.
2
2
2
3
3
+
1
z −2
−
1
(z −2
;
2
)
440 Ответы
372. 1) −10π3i; 2) −4π3i; 3) −6π3i; 4) 0.
373. 1) 3; 2) 1; 3) 5; 4) 1; 5) 2.
374. 1) (e
2) π(arctg(πb) − b ctg(πa))/(a3b − ab3); 3) π2;
4) 1/4 − π(ctg(π
2π√2
(1 + π√2) + (π√2 − 1))/(4(e
√
4
2) + cth(π
√
4
2))/(4
Глава 19. Отображение с помощью элементарных
функций
388. 1) w(E ) = {w : arg w = 2α}; 2) w(E) = {w : Re w = −a2+ (Im w)2/(4a2)};
3) w(E) = {w : π/2 < arg w < π}; 4) w(E ) = {w : Re w = −1 + (Im w)2/4};
6) w(E) = {w : 0 < arg w < 2π, |w| > 1}.
389. 1) w(E ) = {w : arg w = π/4}; 2) w(E) = {w : −π < arg w < −π/2};
3) w(E) = {w : |arg w| < π/4}; 5) w(E ) = {w : 0 < Im w < π/2, |w| > 1};
6) w(E) = {w : Im w < −√2/2}.
390. 1) w(D) = {w : Im w > 0}; 2) w(D) = {w : Re w > 0};
4) w(D) = {w : |w| > 1, Im w > 0}; 5) w(D) = {w : | w| < 1, Im w > 0};
6) w(D) = {w : |w| < 1} \ [0, 1].
391. 1) w(E ) = {w : w = ln |r| + iϕ0}; 2) w(E) = {w : 0 < Im w < 2π};
3) w(E) = {w : 0 < Im w < π}; 5) w(E) = {w : π < Im w < 2π};
6) w(E) = {w : 0 < Re w < ln 2, 0 < Im w < π/2}.
392. 2) w(D) = {w : Im w > 0}; 3) w(D) = {w : |w| < 1};
4) w(D) = {w : Im w > 0}; 5) w(D) = {w : Re w > 0};
6) w(D) = C \ {(−∞, −1] ∪ [1, +∞)}. У к а з а н и е. Использовать соотношение
sin z =
393. 2) w = e
5) w = −(1 + iz4)/(i + z4); 6) w = ln z + 2.
394. 1) w =
2) w =
4) w =
π
i(z−
)
2
e
+e
i3z
; 3) w = exp(1 − i)zπ/2; 4) w =
1
1
1
B
,
3
3
z
Z
1
1
1
B
,
4
4
0
z
Z
1
1
1
B
,
4
2
0
2
ξ
ξ
−i(z−
z
Z
ξ
0
3
−
4
3
−
4
π
)
2
2
−
3
(1 − ξ)
(1 − ξ)
1 − ξ)
(
.
3
−
4
1
−
2
2π√2
− 1));
√
4
8). 375. 2. 376. n. 377. 0.
1
z +
2
2
−
3
dξ;
Z
dξ + 2; 3) w =
ξ; 5) w =
d
1
1
1
B
,
2
4
0
z
Z
1
1
B
,
4
−
ξ
1
4
0
1
z
z
3
4
;
−
ξ
1 − ξ)
(
1
2
(1 − ξ)
3
−
4
dξ;
3
−
4
ξ + i.
d
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]