Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
Глава 2. Элементарные трансцендентные функции 421
2) sin 4x = 4 sin x cos3x − 4 sin3x cos x, cos 4x = sin4x + cos4x − 6 sin2x cos2x;
3) sin 5x = sin5x − 10 sin3x cos2x + 5 sin x cos4x,
cos 5x = cos5x − 10 cos3x sin2x + 5 cos x sin4x;
4) sin 6x = sin5x cos x − 20 sin3x cos3x + 6 sin x cos5x,
cos 6x = cos6x − 15 cos4x sin2x + 15 cos2x sin2x − sin6x;
5) sin 6x = 7 sin x cos6x − 35 sin3x cos4x + 21 sin5x cos2x − sin7x,
cos 7x = cos7x − 21 cos5x sin2x + 35 cos3x sin4x − 7 cos x sin6x.
17. 1) sin3x = 3/4 sin x −1/4 sin 3x, cos3x = 3/4 cos x + 1/4 cos 3x;
2) sin4x = 3/4 − 1/2 cos 2x + 1/4 cos 4x, cos4x = 3/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos 4x;
3) sin5x = 5/8 sin x −5/16 sin 3x + 1/16 sin 5x,
cos5x = 5/8 cos x + 5/16 cos 3x + 1/16 cos 5x;
4) sin6x = 5/16 − 15/32 cos 2x + 3/16 cos 5x −1/32 cos 6x,
cos6x = 5/16 + 15/32 cos 2x + 3/16 cos 5x + 1/32 cos 6x;
5) sin7x = 27/32 sin x −9/32 sin 3x + 5/32 sin 5x − 1/32 sin 7x,
cos7x = 27/32 cos x + 9/32 cos 3x + 5/32 cos 5x + 1/32 cos 7x.
sin 2nx
2 sin x
(n + 1)y
(n + 1)x
2
; 5) sin
2
18. 1) sin
4)
7) sin
19. 1) Парабола y2= 2x + 1;
2) внутренность окружностей |z − i| =√2 и |z + i| =√2 за исключением их
общей части;
3) внутренность области, ограниченной отрезком [0, 2π] действительной оси и
одним витком спирали Архимеда r = ϕ;
4) множество точек из предыдущей задачи, дополненное интервалом (0, 2π)
действительной оси;
5) отрезок {z = it, t 6 0}; 6) парабола y = −x2+ 2; 7) точка z = 1;
8) внутренность эллипса x2/3 + y2/4 = 1;
9) угол раствора π/4 с вершиной в точке z = i, стороны которого проходят
через точки z = 1, z = 0.
sin
(n + 1)x
sinx +
nx
x
/ sin
ny
2
cos
/ sin
; 2) sin
2
nx
2
2
2
y
2
/ cos
.
(n + 1)x
2
x
; 6) sin
2
nx
cos
(n + 1)y
x
/ sin
2
2
− 1; 3)
2
cosx +
ny
2
sin2nx
sin x
/ sin
y
2
;
;
Глава 2. Элементарные трансцендентные функции
31. 2) i (π/2 + 2kπ), e
3) ln√2 + i (π/4 + 2kπ), e
5) ln 2 + i (π/3 + 2kπ), e
6) i (−π/2 + 2kπ), e
π/4+2kπ+i ln√2
−π+2kπ
−π/4+2kπ+i ln√2
−π/2+2kπ−i
(
, k ∈ Z;
, k ∈ Z; 4) ln√2 + i (−π/4 + 2kπ), e
, k ∈ Z;
π
+2kπ
)
2
, k ∈ Z.
2kπ
, k ∈ Z;
422 Ответы
32. 2) a)
e
x2+y2−1
πx
2
;
2
x2+(y−1)
π
−
y
2
sin
3) a) y2− x2− 2x, −2xy + 2y; б) cos y ch x, sin y sh x; в) e
4) a)
в) e
x
2
x2+y
x ln√2−πy/4
+ x,
cosπx/4 + y ln√2, e
5) a) x2+ y2−y, x; б) −cos x sh y, sin x ch y; в) e
x ln√2+πy/4
e
6) a) (x2+ y2+ x)/((x + 1)2+ y2), y/((x + 1)2+ y2); б) cos x ch y, −sin x sh y;
ln |z |−arg z
в) e
siny ln√2 − πx/4;
cos(arg z + ln |z|), e
,
x2+(y−1)
2x
; б) cos y sh x, sin y ch x; в) e
2
−y
+ y; б) −sin y ch x, cos y sh x;
2
x2+y
x ln√2−πy/4
ln |z |−arg z
sinπx/4 + y ln√2;
x ln√2+πy/4
sin(arg z + ln |z| ), arg z ∈ (−π, π].
−πy
cos πx, e
cosy ln√2 − πx/4,
−
π
2
−πy
y
cos
sin πx;
34. 2) ±π/2 + 2kπ −i ln(√2 ± 1); 3) 2kπ ± i ln(2 +√3); 4) i (π/4 + kπ);
5) ln(√5 ± 2) + iπ (2k ±1/2); 6) π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ.
35. 3) i2πk, k ∈ Z; 4) −ln 2 + iπ(1/2 + 2k), k ∈ Z;
5) i (π/4 + πk), k ∈ Z; 6) 3π/4 + 2πk − i ln
3√2 ±√14
2
, k ∈ Z;
7) π/4 + 2πk − i ln(√2 − 1), −3π/4 + 2πk − i ln(√2 + 1), k ∈ Z;
8) i (π/2 + 2kπ), k ∈ Z.
41. 1) Re f (z) =
2) Re f(z) =
3) Re f(z) =
|f(z)| =
4) Re f(z) = −
5) Re f(z) = −
6) Re f(z) =
|f(z)| =
cos 2x+ch 2y
sh 2x
ch 2x + cos 2y
sin 2x cos 2x
sin22x+sh22y
√
sin22x cos22x+sh22y ch22y
sin22x+sh22y
sin 2y
cos 2y +ch 2x
sh 2y
ch 2y+cos 2x
sin 2y cos 2y
sin22y+sh22x
√
sin22y cos22y+sh22x ch22x
sin22y+sh22x
sin 2x
, Im f (z) =
, Im f (z) =
, Im f (z) = −
, Im f (z) =
, Im f (z) =
, Im f (z) =
sh 2y
cos 2x+ch 2y
sin 2y
ch 2x + cos 2y
sh 2y ch 2y
sin22x+sh22y
;
sh 2x
cos 2y +ch 2x
sin 2x
ch 2y+cos 2x
sh 2x ch 2x
sin22y+sh22x
.
, |f (z)| =
, |f (z)| =
,
, |f (z)| =
, |f (z)| =
,
√
sin22x+sh22y
cos 2x+ch 2y
p
sh22x + sin22y
ch 2x + cos 2y
√
sin22y+sh22x
cos 2y +ch 2x
√
sh22y+sin22x
ch 2y+cos 2x
;
;
;
42. 1) a) {z = x + iy : y = πn, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : y = π/2 + πn, n ∈ Z};
2) a) {z = x + iy : y = πn или y = 0, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : x = π/2 + πn, n ∈ Z};
3) a) {z = x + iy : x = π/2 + πn или y = 0, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : x = πn, n ∈ Z};
4) a) {z = x + iy : y = 0}; б) {z = x + iy : x = πn/2, n ∈ Z};
5) a) {z = x + iy : y = πn/2, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : x = 0};
6) a) {z = x + iy : y = πn, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : y = π/2 + πn или x = 0, n ∈ Z};
7) a) {z = x+iy : y = πn, или x = 0, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : y = π/2+ πn, n ∈ Z};
πx
,
2
;
Глава 3. Дифференцируемость функции комплексного переменного 423
8) a) {z = x + iy : y = πn/2, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : x = 0 и y = πn, n ∈ Z};
9) a) {z = x + iy : x = 2n, n ∈ Z}; б) {z = x + iy : x = 1 + 2n, n ∈ Z};
10) a) {z = x+iy : y = πn/ ln 2, n ∈ Z}; б) {z = x+ iy : y = π/ ln 4 +πn/ ln 2, n ∈ Z}.
43. 1) (1 ±i)π(1 + 2πn)/2, n ∈ Z; 2) (1 ± 2i)πn/5, n ∈ Z;
3) (1 + i)πn, (1 − i)π(2n + 1)/2, n ∈ Z; 4) (1 − i)πn , (1 + i)π(2n + 1)/2, n ∈ Z;
5) −i(π/4 + πn), n ∈ Z; 6) (1 − i)πn, (1 + i)(π/2 + πn), n ∈ Z;
7) (1 + i)πn, (1 − i)(π/2 + πn), n ∈ Z; 8) (1 ± i)πn, n ∈ Z;
9) −i(π/2 + πn), n ∈ Z; 10) −i(π/4 + πn), n ∈ Z.
44. 1) У к а з а н и е. y = | sh x|; 2) У к а з а н и е. y =psh2x + 1;
3) У к а з а н и е. y = 1; 4) У к а з а н и е. y = |cos x|; 5) У к а з а н и е. y = ln |x|;
6) У к а з а н и е. y = | sin x|.
Глава 3. Дифференцируемость функции комплексного
переменного
54. 2) нет; 3) нет; 4) да, 0; 5) нет.
56. 2) a) z = x + ix, x ∈ R; б) ∅; в) w′(z) = 2z; 3) а) z = 0; б) ∅; в) w′(0) = 0;
4) а) ∀z ∈ C; б) ∀z ∈ C; в) w′(z) = 3x2− 3y2+ i6xy;
5) а) z = 0; б) ∅; в) w′(0) = 0; 6) а) z = 0; б) ∅; в) w′(0) = 1.
57. 2) c = 2a = −2b; 3) a = −2b = −2c; 4) a = c, b = −1;
5) c = 2b = −2a; 6) a = −c, b = 1.
59. 2) да; 3) да; 4) да; 5) да; 6) да.
60. 2) f (z) = ieiz; 3) f (z) = i(z2− z); 4) f (z) = i/z;
5) f (z ) = sin z; 6) f (z) = ch z.
68. 1) a) да; б) нет; 2) a) да; б) нет; 3) a) да; б) нет;
4) a) да; б) да; 5) a) да; б) нет.
69. 2) да, u = α(ax + by) + β, α, β ∈ R; 3) не существует;
4) да, u = a arctg(x/y) + b, a, b ∈ R; 5) да, u = a ln(x2+ y2) + b, a, b ∈ R;
6) да, u = ax/(x2+ y2) + b, a, b ∈ R; 7) u(x, y) = C
8) u(x, y) = C1x/(x2+ y2) + C2; 9) u(x, y) = C1x + C2;
10) u(x, y) = C1x + C2y + C3.
q
x +px2+ y2+ C2;
1
Глава 4. Геометрический смысл модуля и аргумента
производной
78. 2) k = 3, θ = π; 3) k = 6, θ = π/2; 4) k = 6, θ = −π/2;
5) k = 6, θ = −π/2; 6) k = 6, θ = π/2.
424 Ответы
79. 1) k = 2√2, θ = −π/4; 2) k = 4, θ = −π/2; 3) k = 1, θ = π;
4) k = 2, θ = 0; 5) k =√2/2, θ = −π/4; 6) k = ch 1, θ = 0.
80. 1) |z| < 1/
3) |z| > 1 сжимается, |z| < 1 растягивается;
4) |Re z| < 0 сжимается, |Re z| > 0 растягивается;
5) |z| > 1 сжимается, |z| < 1 растягивается;
6) |z − 1| > 1 сжимается, |z − 1| < 1 растягивается.
81. 1) |z| = 1/2; 2) |z + 1| = 1/2; 3) |z −3| = 1/2; 4) |z | = 1;
5) |z − i| =√2; 6) Re z = 0.
82. 1) arg z = π; 2) arg z = −π/4; 3) arg z = 0; 4) Re z > 0 и Im z = −1/2;
5) Re z > 4 и Im z = 0; 6) Im z = 0.
83. 2) π/2; 3) π/2; 4) π/4; 5) π/4; 6) 0.
89. 1) k(ϕ) = 0, θ(ϕ) = 0;
2) k(ϕ) = 2, θ(ϕ) = −2ϕ −π/2; 3) k(ϕ) = 2, θ(ϕ) = π/2;
4) k(ϕ) =p5 + 4 sin 2ϕ, θ(ϕ) = arctg
5) k(ϕ) =
90. Прямая, проходящая через точку −d/c с направляющим вектором
√
|ad−bc|
91. 2) π(1 − e−2); 3) π(e6− 1); 4) π(e6− e4); 5) 5π.
92. 2)√2(e2π− 1); 3) e3π− eπ; 4) e2π− 1; 5)√2(eπ− e−π).
√
3
4 сжимается, |z| > 1/
1
, θ(ϕ) = −arg z0; 6) k(ϕ) = 1/2, θ(ϕ) = −π/2.
2|z0|
iπ/2
e
c
.
√
3
4 растягивается;
121 − tg2ϕ
1 + tg ϕ + tg2ϕ
;
Глава 5. Линейная функция
98. 1) τ = iz — поворот на угол π/2, w = τ + i — параллельный перенос;
2) τ = −iz — поворот на угол −π/2, w = τ − 1 + i — параллельный перенос;
3) τ =√2z — растяжение, ξ = e
лельный перенос;
4) τ =√2z — растяжение, ξ = e
параллельный перенос;
π
i
5) τ = e
6
z — поворот на угол π/6, w = τ − 1 — параллельный перенос.
99. 1) w = −iz/2 + 4i −1; 2) w = −(1 + i)z + 4(1 + i); 3) w = −iz/2 + 7i/2 − 1;
4) w = −(1 + i)z + 6(1 + i); 5) w = −iz/2 + 5i/2 − 1.
100. 1) w = (2 + i)z + 2 − 6i; 2) w = −z; 3) w = (1 − i)z + i;
4) w = z/2 + i/2; 5) w = iz −1 − i.
101. 1) z∗= 3/2 − i/2, ϕ = 0, k = 3; 2) нет неподвижной точки;
π
i
4
τ — поворот на угол π/4, w = ξ + 1 — парал-
π
−i
4
τ — поворот на угол −π/4, w = ξ − i —
Глава 6. Дробно-линейная функция 425
4) z∗= −3i/2, ϕ = 0, k = 3; 5) z∗= 3/4 + i/2, ϕ = π, k = 3;
6) нет неподвижной точки.
102. 1) w = 2e
4) w = 4e
−iπ/3
iπ/4
z + 2 − i; 2) w = 4e
z −2 − i; 5) w = 5e
−iπ/4
z −i; 3) w = 3e
iπ/6
z + 3 + i.
iπ/3
z −1;
103. 1) w = 2i(z − 4); 2) w = i(z − 4)/2; 3) w = −i(z − 4)/6;
4) w = −i(z − 5)/2; 5) w = i(z − 7)/2, w = −i(z − 7)/2.
109. 1) w = z + b, w = −z + b − 4i, b ∈ R; 2) w = z + bi, w = −z + 3 + bi, b ∈ R;
3) w = az + bi, a, b ∈ R, a > 0; 4) w = −i(az + b), a, b ∈ R, a > 0;
5) w = az + bi, a, b ∈ R, a > 0; 6) w = i(az + b), a, b ∈ R, a > 0;
7) w = −az + b, a, b ∈ R, a > 0; 8) w = az + b, a, b ∈ R, a > 0.
110. 1) w = (z − 1)/3; 2) w =√2 e
4) w =√17 e
−i(π/2+arctg 4)
πi/4
z/2; 3) w =√5 e
(z −3i)/3; 5) w =√10 e
6) w = (−z + a + h)/h + i; 7) w =p1 + k2e
8) w =p1 + k2e
−i(π/2+arctg k)
(z −ib1)/(b2− b1).
−i(π/2+arctg k)
−i(π/2−arctg 2)
−i(π/2−arctg 3)
z/b;
z/2;
(z −i)/4;
111. Квадрат с центром в точке −3 и со сторонами, параллельными осям коор-
динат.
112. w = ±z + b(1 + i), b ∈ R.
113. w =p1 + k2e
−i(π/2+arctg k)
(iz + b1)/(b2− b1). 114. w = 2iz + 4.
115. Полоса 0 < Re w < 1. 118. Полоса 0 < Re w < 1. 120. w = eiαz, α ∈ R.
Глава 6. Дробно-линейная функция
121. 2) {w : arg w = −π/7};
3) окружность u2+ (v + 4/3)2= 4/9, где w = u + iv;
4) {w : Im w = − Re w/6}; 5) {w : |w − 1/12| > 1/12, Re w > 0};
6) {w : Im w < 0} \ {w : |w| < 1/2}.
122. 1) {z : |z| = 2}; 2) {z : Re z = 1/2}; 3) {z : Im z = 1/2};
4)nz : |z − 2| =√3o; 5) {z : |z − i/4| = 1/4}.
123. 1) w =
5) w = i
1 − i
(z + 1); 2) w =
2
i − z
; 6) w =
i + z
(−3 + 2i)z + 6 − 19i
124. 1) w = (i − 1 − z)/(z + 1 + i); 3) w = ((5 − 3i)z −4)/(4z −5 − 3i);
4) w = z/(2 −z); 5) w = (2z − 1)/(2 − z); 6) w = −z/(z + 2).
125. 2) {w : Re w > 0}; 3) {w : |w| < 1}; 4) {w : |w| < 1};
5) {w : Im w < 0}; 6) {w : |w| < 1}.
z(−1 + i) − 1 + 3i
z(−1 + i) + 1 + i
(3 − 2i)z − 6 − i
.
; 3) w =
3iz + 9i + 18
z + 3
;
426 Ответы
126. 2) {w : |w| < 1, Re w < 0};
3) область, ограниченная касающимися друг друга окружностями
|w −1/2| = 1/2 и |w − 3/4| = 1/4;
4) область, ограниченная прямой Re w = 1 и касающейся ее окружностью
|w −1/2| = 1/2;
5) {w : Im w < 0} \nw : |w − 1/2 + i/2| <√2/2o;
6) двусвязная область, граница которой состоит из прямой {w : Re w = 1/2} и
окружности |w − 4/3| = 2/3.
134. 1) w = (az + b)/(cz + d), ad − bc < 0, a, b, c, d ∈ R;
2) w = i(az + b)/(cz + d), ad − bc < 0, a, b, c, d ∈ R;
3) w = i(az + b)/(cz + d), ad − bc > 0, a, b, c, d ∈ R;
4) w = eiα(z −β)/(z − β), β = a + ib, b > 0, α ∈ R;
5) w = (βz − β eiα)/(z −eiα), β = a + ib, b > 0, α ∈ R;
6) w = eiα(z + β)/(z + β), β = a + ib, b > 0, α ∈ R;
7) w = eiα(iz −β)/(iz − β), β = a + ib, b > 0, α ∈ R;
8) w = eiα(iz + β)/(iz + β), β = a + ib, b > 0, α ∈ R;
9) w = −i(βz − β eiα)/(z −eiα), β = a + ib, b > 0, α ∈ R.
135. 1) w = 2i(z − i)/(z + i) + i; 2) w = −(z + i)/(z − i);
3) w = −(z −2i)/(z + 2i); 4) w = −4(iz + 2)/(z − 2 − 4i);
5) w = (z + 1 − i(z + 1))/(z − 1 −i(z − 1));
6) w = (1 − z)/(z + 2); 7) w = 2(z − 2 + i)/(iz + 2 −2i).
136. w = ±az −1 +p1 − a
137. 1) w = eiα3z/(z + 24), α ∈ R; 2) w = 2eiα(z −3)/(z + 3), α ∈ R.
139. 1) w = z; 2) w = (z + 2 −√3)/(1 + (2 −√3)z);
3) w = i(z −2 +√3)/(1 − (2 −√3)z).
/
2
(1 −p1 − a2)z −a.
Глава 7. Функция Жуковского
2
1) эллипс
146.
2) эллипс
4u
(R + 1/R)
2
4u
(R + 1/R)
2
+
2
+
(R − 1/R)
4) правая ветвь гиперболы 2u2− 2v2= 1 в комплексной плоскости w = u + iv;
5) {w : Re w = 0}; 6) {w : Re w 6 1, Im w = 0}.
147. 1) внешность эллипса 16u2/25 + 16v2/9 = 1 в комплексной плоскости
w = u + iv;
2)
внешность эллипса 16u2/25+ 16v2/9 = 1 в комплексной плоскости w = u+iv;
2
4v
(R − 1/R)
2
4v
2
= 1 в комплексной плоскости w = u +iv;
2
= 1 в комплексной плоскости w = u + iv;
Глава 7. Функция Жуковского 427
3) C \ [−1, 1]; 4) C \ [−1, 1]; 5) C \w : w ∈ (−∞, −1] ∪[1, +∞).
148. 1) {w : Re w < 0}; 2) {w : Re w > 0}; 3) {w : Re w > 0};
4) верхняя половина внутренности эллипса
ной плоскости w = u + iv;
5) нижняя половина внутренности эллипса
ной плоскости w = u + iv.
149. 1) C \{w : w ∈ ( −∞, −13/5] ∪ [−1, +∞)}; 2) C \[ −37/6, +∞) ;
3) нижняя половина внутренности эллипса 64u2/289 + 64v2/225 = 1 комплекс-
ной плоскости w = u + iv;
4) верхняя половина внутренности эллипса 25u2/169 + 25v2/144 = 1 комплекс-
ной плоскости w = u + iv;
5) нижняя половина внутренности эллипса 16u2/25 + 16v2/9 = 1 комплексной
плоскости w = u + iv.
150. 1) w =p0,5 (17/4 − (z + 1/z));
2) w = τ +pτ2− 1, где τ = 4/21 (z + 1/z) + 13/21;
s
3) w =p0,5 (10/3 − (z + 1/z)); 4) w =
5) w = τ +pτ2− 1, где w(i) = (1 −√2)i, τ = 10/111 (z + 1/z) + 91/111.
155. 1) w =q17/8 + z2+ 1/z2; 2) w =q41/9 + z2+ 1/z2;
3) w = −q257/32 + z2+ 1/z2; 4) w =q17/4 + z2+ 1/z2/(z + 1/z);
2
4u
(R+1/R)
2
4u
(R+1/R)
τ + 17/8
17/8 − τ
4v
+
2
(R−1/R)
4v
+
2
(R−1/R)
, где τ =
2
= 1 комплекс-
2
2
= 1 комплекс-
2
1
z +
2
1
;
z
5) w = −q82/9 + z2+ 1/z2/(z + 1/z);
6) w =qα2+ 1/α2+ z2+ 1/z2/(z + 1/z);
7) w = −q1/2(α2+ 1/α2) + (z2+ 1/z2);
8) 9/8(w + 1/w) = (z/e
πi/4
9) 25/16(w + 1/w) = (z/e
10) 25/16(w + 1/w) = (z/e
πi/3
πi/6
+ e
πi/4
+ e
+ e
/z) −1/4;
πi/3
/z) −9/8;
πi/6
/z) −9/8;
11) (1 + h2/(4(1 − h)))(w + 1/w) = (z/eiα+ eiα/z) −h2/(2(1 − h));
12) (1 + 1/(4h(1 − h)))(w + 1/w) = (z/eiα+ eiα/z) −1/(2h(1 − h));
13) w + 1/w = 2(2(z + 1/z) − (a + 1/a) + (b + 1/b))/((a + 1/a) + (b + 1/b));
14) w = −(2z −3pz2+ 5)/5; 15) w = (az − bqz2− (a2− b2))/(a2− b2);
q
16) w = eiα(z +pz2− c2)/
c, α ∈ R; 17) w = (z +
18) w = (z + 1/z)/2; 19) w =
p
1/z + a + 1/a)/2;
(z +
z2− (a2− b2)
)/(a + b);
428 Ответы
20) w + 1/w = 2(2(z + 1/z) − (a + 1/a) + 5/2)/(a + 1/a + 5/2).
Глава 8. Интегральные теорема и формула Коши
166. 1) a) 0; б) 2; 2) a) 2(i − 1); б) −2(1 + i); 3) a) 1/2 + 4i; б) 3/2 + 3i;
4) a) 0; б) 0; 5) a) − 2i√2; б) −2i√2.
167. 3) −2(1 + i); 4) 3(i − 1)/5; 5) (i −1)ei; 6) cos 1 − sin 1 −i/e.
168. 1) a) π; б) −π; в) 0; г) 0; 2) a) π/3; б) −π/3; в) 0; г) 0;
4) a) − 2πi/15; б) πi/5; в) 0; г) 0; 5) a) 2πi/63; б) −πi/9; в) 0; г) 0;
6) a) − πi/4; б) πi/4; в) 0; г) 0.
169. 1) a) 0; б) 2i/π; в) 2i/π; г) 0; 2) a) 1; б) −e/2; в) 1 −e/2; г) 0;
3) a) − 4πi; б) 4πi; в) 0; г) 0; 4) a) 0; б) 0; в) 0; г) 0;
5) a) − πi/32(7 sin 1 + 4 cos 1); б) πi/32 sin 3; в) −πi/32(7 sin 1 + 4 cos 1 − sin 3);
г) 0.
170. 1) −2πi, −πi, 0, πi, 2πi; 2) −2πi, −π i, 0, πi, 2πi;
3) 18πi, −14πi, 4πi, 0; 4) π/3 e3i, −π/3 e
5) (2 − i)π/4, −(2 + i)π/4, π/2i, π/2 + π /4i, −π/2 + π/4i, −π/2i, 0.
176. 1) −2(1 − i); 2) 2(1 − i); 3) −2(1 + i); 4) −4; 5) 4i.
177. 1) 2πi; 2) −2π; 3) 2πRi; 4) 2πRi; 5) 0.
179. 1) 0; 2) 1 − cos 1 + i(sin 1 − 1); 3) (1 + πi)/2; 4) 2(1 − i);
5) cos 1 − sin 1 − i(sh 1 + ch 1); 6) 4πi/3.
180. 1) 0; 2) (−1)
n−1
2πi(2n −2)!/(((n − 1)!)2(a − b)
184. 1) i 2π sin 1 ch 1; 2) 0; 3) πi√2/2; 4) π(πi − 1)/2.
185. 1) D1= {z : |z| < 1}, f1(z) =
2) D =z :
3) D1=z :
D3=z : |z| < 1,
arg
z +
z −1
z
2
3
<
< π, f (z) =
1
3
z +
2(z −2)
, f1(z) = −
2
1
>
, f3(z) =
3
3
−3i
, πi/6 sin 3, 0;
2n−1
); 3) 0.
1
, D2= {z : |z| > 1}, f2(z) =
2π
i
1 − z
ln
z
.
1
z −1
arg
2π
1
, D2= {z : |z| > 1}, f2(z) = −
2z
−
z
2z+5
2(2z2+5z+2)
1
;
2z
;
1
2z
,
Глава 9. Степенные ряды
191. 1) R = 2, D = {z : |z − i| < 2}; 2) R = 1/3, D = {z : |z + 1| < 1/3};
3) R = 1/5, D = {z : |z −1 − i| < 1/5}; 4) R = 1, D = {z : |z| < 1};
5) R = 1/e, D = {z : |z + i| < 1/e}.
192. 1) R/3; 2) R; 3) ∞; 4) R4; 5) 0.
193. 1) расходится во всех точках; 2) сходится во всех точках, кроме z = 1;
3) сходится во всех точках; 4) сходится во всех точках, кроме z = −1;
Глава 10. Ряды Тейлора 429
6) сходится во всех точках.
194. 1) z/(1 − z)2; 2) 1/(1 + z)2; 3) − ln(1 −z); 4) 2/(1 + z)3; 5) ln(1 + z).
199. 1) R = ∞ при α > 1, R = 0 при α 6 1; 2) R = 1, D = {z : |z| < 1};
3) R = 1/e, D = {z : |z| < 1/e}; 4) R = 1, D = {z : |z + i| < 1};
5) R = 0; 6) R = 1, D = {z : |z| < 1}.
201. 1) z(z + 1)/(1 − z)3; 2) z (1 + 4z + z2)/(1 − z)4;
3) z(z3+ 6z2− z − 2)/(1 − z)5; 4) 2z/(1 − z)3; 5) (1 + z)/(1 − z)3;
6) (k −1)!/(1 − z)k.
202. 1) ez− 1; 2) (z − 1)ez+ 1; 3) (sh z + sin z)/2; 4) (sh z −sin z)/2;
5) (ch z −cos z)/2; 6) (ch z + cos z)/2; 7) sin(z/√2) sh(z/2).
Глава 10. Ряды Тейлора
∞
∞
X
3)
n=0
1
4)
i
1
5)
3
2
2) e
∞
X
3)
n=1
4) 1 +
√
5)
2
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=1
X
n=0
2
X
(−1)
X
1
e
n=0
∞
(−1)
∞
X
n=1
P
(−1)
∞
∞
n=0
210. 1)
211. 1)
D = {z : |z| < +∞}.
∞
212. 1)
X
n=0
∞
X
3)
(n + 2)(n + 1)zn, D = {z : |z| < 1}; 4)
n=0
(−1)
n
(1 + i)
(1 − i)
n
(z + 1)
(z + 1)
n!
n+1
2n−1
2
(2n)!
(−1)
, D = {z : |z| < 4}; 2)
n+1
4
n
(z −i)
(z −1)
, D = {z : |z − i| <√2};
n+1
1
n+1
n
3
n
, D = {z : |z| < +∞};
n!
n
1
−
(1 + i)
n
, D = {z : |z − 1| < 3}.
n+1
, D = {z : |z| < +∞};
n−1
4
(2n − 1)!
2n−1
z
, D = {z : |z| < +∞};
z2n, D = {z : |z | < +∞};
n
2n
π
z −
(2n)!
4
zn, D = {z : |z | <√2};
−
n
z
n
(n + 1)zn, D = {z : |z| < 1}; 2) 2
1
4
∞
X
n=0
∞
X
n=0
√
z
2n + 1
∞
X
n=1
2n
z
, D = {z : |z| < 2};
2n
(2i)
P
(−1)
∞
2
n=1
2
2n+1
(2n−1)!
, D = {z : |z| < 1};
3n−1
nz
, D = {z : |z| < 1};
n−1
z −
2n−1
π
4
,
430 Ответы
5) z2+
∞
X
n=2
(−1)
n+1
n+1
z
n
213. 1) z + 1/2z3+ 5/24z5+ . . ., D = {z : |z| < π/2};
2) z + 3/2z2+ 11/6z3+ . . ., D = {z : |z| < 1};
3) −1 + 1/2z + 1/12z2+ . . ., D = {z : |z| < 1};
4) 1 − 2z −2z2+ . . ., D = {z : |z| < 1/4};
5) 1 + z2+ 1/3z4+ . . ., D = {z : |z| < +∞}.
∞
2)
X
n=0
−1+i√3
2
(−1)n2
218. 1)
D = {z : |z − 1| < 1};
∞
X
πi
3)
−
2
n=1
∞
X
4)
5)
6) 1 +
7) e4+
(−1)nz
(2n + 1)(2n + 1)!
n=0
∞
X
1 +
n=2
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
P
n=0
in(z −i)
1
2
4n+1
2
(4n)!
e4(−1)
4n
z
2n
, D = {z : |z | < +∞};
(4n)!
1
3
(z − 1)n,
n
n
, D = {z : |z − i| < 1};
n
2n+1
, D = {z : |z| < +∞};
+ . . . +
1
n − 1
z4n, D = {z : |z| < +∞};
n−1
(n − 1)
n!
219. 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 1; 6) 1/2.
220. 1) f (z) =
3) f(z) =
5) f(z) =
6) f(z) =
8) f(z) =
X
n=0
X
n=0
X
n=0
X
n=0
∞
X
n=0
∞
z
(n!)
∞
(−1)
∞
(−1)
∞
(−1)
n
z
n
(−1)
n!
n
; 4) f (z) = 1 −
2
2n+1
2
n
(2n + 1)!
2n+1
z
n
(2n + 1)!
2n
z
n
!
(2n)
n
z
+
, D = {z : |z| < 1}.
n
1
3
n
n
z
n
Γ(4/3)
=
n!Γ(4/3−n)
, Γ(·) — гамма-функция Эйлера,
, D = {z : |z| < 1};
(z −2)n, D = {z : |z| < +∞}.
∞
3
n=1
+
2 · 3 · 5 · 6
X
z
= e−z; 2) f (z) =
z
2 · 3
2n+1
z
= sin 2z;
= sin z; 7) f(z) =
∞
= cos z; 9) f(z) =
X
n=0
(−1)
6
∞
X
n=0
22n(n!)
(2n)
z
2n+1
z
n
−
n
n!
= arctg z;
2n + 1
z
2 · 3 · 5 · 6 · 8 ·9
= ez;
2
z2n;
!
9
+ . . .;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]