Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
8.1. Задания для аудиторной работы 261
y
γ
−2i
3
Р
b
2i
b b
0
b
ис. 8.3
1
γ
x
2
γ
1
В каждом случае применим интегральную формулу Коши. Если γ сов-
падает с контуром γ1, то
I1=
Z
(z + 2i)(z − 2i)(z − 1)
γ
1
dz
=
g(z) =
z0= 2i
1
(z + 2i)(z − 1)
= 2πi ·
4i(2i − 1)
= 2πi · g(2i) =
1
= −
π
(1 + 2i).
10
Если γ = γ2, то
I2=
Z
(z + 2i)(z − 2i)(z − 1)
γ
2
dz
z0= 1
=
g(z) =
z2+ 4
1
= 2πi · g(1) =
2π
i.
5
Таким же образом если γ = γ3, то
I3=
Z
(z + 2i)(z − 2i)(z − 1)
γ
3
dz
g(z) =
z0= −2i
1
(z − 2i)(z − 1)
= 2πi ·
−4i(−1 − 2i)
=
= 2πi ·g(−2i) =
1
=
π
(1 − 2i).
10
Пусть теперь контур γ содержит внутри себя только точки 2i и 1.
Тогда, произведя разрез по кривой γ∗(рис. 8.4) и используя рассуждения
из решения задачи 169.6, п олучим
I4=
Z
γ
(z2+
dz
4)(z − 1)
= I1+ I2= −
π
1 + 2i) +
(
10
2π
5
i = −
π
10
1 −2i).
(
262 Глава 8. Интегральные теорема и формула Коши
y
γ
b
2i
b
−2i
Рис. 8.4
∗
γ
b
1
x
Аналогично, если контур γ содержит внутри себя только точки ±2i,
то
I5=
Z
γ
dz
(z2+ 4)(z − 1)
= I1+ I3= −
π
(1 + 2i) +
10
π
(1 − 2i) = −
10
2π
i.
5
Если же внутри γ находятся только точки −2i и 1, то
Z
I6=
γ
dz
(z2+ 4)(z − 1)
= I2+ I3=
2π
π
i +
5
(1 −2i) =
10
π
(1 + 2i).
2
Осталось рассмотреть еще два случая расположения контура γ . Если
контур γ содержит внутри себя точки ±2i и 1, то
Z
I7=
γ
dz
(z2+ 4)(z − 1)
= I1+ I2+ I3=
π
= −
(1 + 2i) +
10
2π
π
i +
5
(1 − 2i) =
10
π
(1 + 2i) = 0.
2
Если контур γ не содержит внутри себя ни одной из точек ±2i и 1, то
функция f (z) является аналитической в замыкании области, ограниченной
γ, и по интегральной теореме Коши
Z
I8=
γ
dz
(z2+ 4)(z − 1)
= 0.
Итак, данный интеграл может принимать семь разли чных значений:
2π
π
1 + 2i),
−
(
10
π
,
1 −2i), −
i
10
(
5
π
1 − 2i), −
(
10
2π
π
,
1 + 2i), 0.
i
(
5
2
8.2. Базовые индивидуальные задания 263
8.2. Базовые индивидуальные задания
171. Вычислить интеграл
Z
f(z) dz,
Γ
если:
1) f(z) = zz, а Γ — отрезок, соединяющий точки 0 и 1 + 2i;
2) f(z) = z −3z, а Γ — дуга параболы y =
1
x2, пробегаемая от точки
2
0 до точки 2 + 2i;
3) f(z) = 3z + z + 6, а Γ — дуга параболы y =
1
x2, пробегаемая от
3
точки 0 до точки −3 + 3i;
4) f(z) = z Re z, а Γ — дуга параболы y =
1
x2, пробегаемая от точки
3
0 до точки −3 + 3i;
5) f(z) = ez, а Γ — ломаная, соединяющая последовательно точки
0, 3 и 3 + 4i;
6) f(z) = z Im z, а Γ — дуга параболы y = x2, пробегаемая от точки
1 + i до точки 2 + 4i;
7) f(z) = z + 3z, а Γ — ломаная, соединяющая последовательно
точки 0, 4 и 4 + 4i;
8) f(z) = 3 + 2i −3z, а Γ — ломаная, соединяющая последовательно
точки 0, 3 и 3 + 3i;
9) f(z) = z, а Γ — замкнутый контур, образованный дугой параболы
y = −x2+ 1 и отрезком оси абс цисс (контур Γ обходится против
часовой стрелки);
10) f(z) = Re z + Im z, а Γ — ломаная, соединяющая последовательно
точки 0, 1 и 1 + 2i;
11) f(z) = 3z + z + 3, а Γ — дуга параболы y =
1
x2, пробегаемая от
3
точки 0 до точки −3 + 3i;
12) f(z) = 2z + 2z + 3 , а Γ — ломаная, соединяющая последовательно
точки 0, −2 и −2 + 2i;
264 Глава 8. Интегральные теорема и формула Коши
13) f(z) =
z
, а Γ — контур квадрата с вершинами в точках ±1, ±i
z
(контур Γ обходится против часовой стрелки);
14) f(z) = 3 + 3i − 3z, а Γ — дуга параболы y =
1
x2, пробегаемая от
3
точки 0 до точки 3 + 3i;
15) f(z) = 3 z + 3z + 6, а Γ — ломаная, соединяющая последовательно
точки 0, −3 и −3 + 3i;
16) f(z) = 1 + 2i − 6z, а Γ — дуга параболы y = x2, пробегаемая от
точки 0 до точки 1 + i;
17) f(z) = 4 z + 3z + 6, а Γ — ломаная, соединяющая последовательно
точки 0, −4 и −4 + 4i;
18) f(z) =
1
, а Γ — прямоугольник с вершинами в т очках 1, 1+ 3i,
z2+4
−1 + 3i, −1 (контур Γ обходится против часовой стрелки);
19) f(z) =
cos z
, а Γ — треугольник с вершинами в точках 4, −4 + i,
z2+4
−4 −i (контур Γ обходится против часовой с трелки);
20) f(z) = ez, а Γ — дуга параболы y = x2, пробегаемая от точки 0
до точки 1 + i.
172. Вычислить:
i
Z
1)
(−2z − 3) cos z dz; 2)
0
i
Z
4)
(3z + 1) cos z dz; 5)
0
i
Z
7)
(−2z + 1) sin z dz; 8)
0
i
Z
9)
(−2z − 5) sin z dz; 10)
0
i
Z
11)
(3z + 4) cos z dz; 12)
0
i
Z
(4z + 1) sin z dz; 3)
0
i
Z
(5z − 3) cos z dz; 6)
0
i
Z
(−z − 4) sin z dz;
0
i
Z
(−z − 1) cos z dz;
0
i
Z
(−5z − 5) cos z dz;
0
i
Z
(−z − 3) cos z dz;
0
i
Z
(−3z + 3) sin z dz;
0
8.2. Базовые индивидуальные задания 265
i
Z
13)
(−z − 4) cos z dz; 14)
0
i
Z
15)
(4z + 4) cos z dz; 16)
0
i
Z
18)
(z + 1) cos z dz; 19)
0
173. Вычислить интеграл
если:
i
Z
(−3z + 2) cos z dz;
0
i
Z
(5z − 4) cos z dz; 17)
0
i
Z
(−z − 5) sin z dz; 20)
0
Z
f(z) dz,
Γ
y
2i
i
−1−2
Рис. 8.5
1
x
2
i
Z
(z − 3) sin z dz;
0
i
Z
(2z − 4) sin z dz.
0
1) f(z) = iz + z2, а Γ — дуга окружност и |z| = 4 при π/2 6 arg z 6 π
(контур Γ о бходится против часовой стрелки);
2) f(z) =
z
, а Γ — контур, изображенный на рис. 8.5;
z
3) f(z) = z2, а Γ — дуга окружности |z| = 10 при Im z < 0 (контур
Γ обходится против часовой стрелки);
4) f(z) = z Re z, а Γ — дуга окружности {z : |z| = 2}, пробегаемая
против часовой стрелки от точки 2 до точки −2;
5) f(z) = z2+ zz, а Γ — дуга окружности |z| = 3 при 0 6 arg z 6 π
(контур Γ о бходится против часовой стрелки);
266 Глава 8. Интегральные теорема и формула Коши
6) f(z) = z2|z|, а Γ — дуга окружности |z| = 6 при Re z > 0 (контур
Γ обходится против часовой стрелки);
7) f(z) =
1+10z
, а Γ — дуга окружности |z| = 1 при 0 6 arg z 6 π/2
z
(контур Γ обходится против часовой стрелки);
8) f(z) = z, а Γ — окружность |z| = 8 (контур Γ обходится против
часовой стрелки);
9) f(z) = 2z + z + Im z, а Γ — окружность {z : |z| = 1}, пробегаемая
против часовой стрелки;
10) f(z) =
1+7z
, а Γ — дуга окружности |z| = 1 при 0 6 arg z 6 π/2,
z
пробегаемая против часовой стрелки;
11) f(z) = z2|z|, а Γ — дуга окружности |z| = 7 при Re z > 0, пробе-
гаемая против часовой стрелки;
12) f(z) = z − |z|, а Γ — замкнутый контур, состоящий из правой
половины окружности {z : |z| = 1} и вертикального диаметра
(контур Γ обходится против часовой стрелки);
13) f(z) = z2, а Γ — дуга окружности |z| = 7 при Im z < 0 (контур Γ
обходится против часовой стрелки);
14) f(z) = z, а Γ — аст роида, задаваемая параметрическим уравне-
нием z = cos3t + i sin3t, 0 6 t 6 2π;
15) f(z) = z, а Γ — замкнутый контур, состоящий из одной арки
синусоиды и отрезка оси абсцисс (контур Γ обходится по часовой
стрелке);
16) f(z) = iz + z2, а Γ — дуга окружност и |z| = 3 при π/2 6 arg z 6 π
(контур Γ обходится против часовой стрелки);
17) f(z) = z, а Γ — окружность |z| = 8 (контур Γ обходится против
часовой стрелки);
18) f(z) = z2+ zz, а Γ — дуга окружности |z| = 4 при 0 6 arg z 6 π
(контур Γ обходится против часовой стрелки);
19) f(z) = |z|z, а Γ — дуга окружности |z| = 7 при −
π
6 arg z 6
2
(контур Γ обходится против часовой стрелки);
20) f(z) = iz + z2,
а Γ — дуга окружности |z| = 9 при π/2 6 arg z 6 π
(контур Γ обходится против часовой стрелки).
π
2
8.2. Базовые индивидуальные задания 267
174. Используя интегральную теорему Коши, интегральную формулу
Коши и обобщенную интегральную формулу Коши, вычислить
интеграл
Z
f(z) dz,
γ
где γ — спрямляемая жорданова замкнутая кривая (контур), в
случаях, когда:
а) точка z1лежит внутри γ, а точка z2— в не его;
б) точка z2лежит внутри γ, а точка z1— в не его;
в) точки z1и z2лежат вну три γ;
г) точки z1и z2лежат вне γ;
1) f(z) =
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) =
5) f(z) =
6) f(z) =
7) f(z) =
8) f(z) =
9) f(z) =
10) f(z) =
11) f(z) =
z + 1
z3(z + 1)
sin z
z(z − π)
z(z + 1)
(z2+ 1)
cos z
(z + π)z
z2+ 1
(z − 1)2z
; z1= 0, z2= −1;
; z1= 0, z2= π;
3
z
e
; z1= 0, z2= −1;
3
z
; z1= i, z2= −i;
2
; z1= −π, z2= 0;
2
; z1= 1, z2= 0;
3
z − 1
(z + 1)3(z + i)
cos z
z(z − π)
(z2+ 1)
(z2+ 9)
(z − 5
; z1= 0, z2= π;
3
iz
e
; z1= i, z2= −i;
2
1
; z1= 3i, z2= −3i;
2
2
z
)3(z + 1)
; z1= −1, z2= −i;
; z1= 5, z2= −1;
268 Глава 8. Интегральные теорема и формула Коши
2
12) f(z) =
13) f(z) =
14) f(z) =
15) f(z) =
16) f(z) =
17) f(z) =
18) f(z) =
19) f(z) =
20) f(z) =
z
; z1= 5i, z2= −5i;
(z2+ 25)
2
z
(z + i)3(z + 4)
ch iz
(z2+ 1)
sh iz
z3(z − i)
; z1= −i, z2= i;
2
; z1= 0, z2= i;
iz
e
(z + π)2(z − iπ)
2
z
(z + 1)3(z − 1)
1
; z1= −3i, z2= 3i;
(z2+ 9)
z5(z + 1)
4
1
; z1= 0, z2= −1;
z
(z − 2)3(z + 1)
; z1= −i, z2= −4;
; z1= −π, z2= iπ;
; z1= −1, z2= 1;
; z1= 2, z2= −1.
175. Вычислить все возможные значения интеграла
Z
f(z) dz
γ
при различных положениях контура γ, предполагая, что этот
контур не проходит ни через одну из точек, в которых f(z) теряет
аналитичность, если:
1) f(z) =
3) f(z) =
6) f(z) =
z
(z − 1)2(z + 1)
iz
e
z3(z + i)
z2(z2+
; 4) f (z) =
1
; 7) f (z) =
1)
; 2) f (z) =
z + 2
(z2+ 9)(z + 1)
cos z
z2− π
z
(z2+ 1)
; 8
2
;
2
; 5) f (z) =
2
) f(z) =
sin z
z2+ π
1
z(z2− 1
;
2
;
)
8.3. Задания для самостоятельной работы 269
2
z
z
e
; 13) f (z) =
2
1
; 16) f (z) =
1
cos z
.
2
9) f(z) =
11) f(z) =
14) f(z) =
17) f(z) =
19) f(z) =
1
z2(z2+ 4)
sh z
π
zz +
z(z − 1)
i
4
z
e
3
1
z(z2+ 1)
iz
e
(z2+ 1)
2
; 10) f (z) =
; 12) f (z) =
; 15) f (z) =
; 18) f (z) =
; 20) f (z) =
(z − 2)(z + i)
z(z − 1)
z3− 1
(z − 1)2(z + i)
z2+ π
8.3. Задания для самостоятельной
работы
176. Вычислить интеграл
если контур γ :
1) полуокружность {z : |z| = 1}, Im z > 0,√1 = 1;
2) полуокружность {z : |z| = 1}, Im z > 0,√1 = −1;
Z
dz
√
,
z
γ
;
z
e
;
z2− 1
z
e
;
z2+ 9
;
2
3) полуокружность {z : |z| = 1}, Im z 6 0,√1 = 1;
4) окружность {z : |z| = 1},√1 = 1;
5) окружность {z : |z| = 1},√−1 = i.
177. Вычислить интеграл
Z
Ln z dz,
γ
где:
1) γ = {z : |z| = 1}, Ln 1 = 0;
2) γ = {z : |z| = 1}, Ln i = πi/2;
270 Глава 8. Интегральные теорема и формула Коши
3) γ = {z : |z| = R}, Ln R = ln R;
4) γ = {z : |z| = R}, Ln R = ln R + 2πi;
5) γ = {z : |z| = 1}, Ln 1 = −2πi.
178. Применяя интегральную теорему Коши, доказать равенства:
1)
3)
5)
∞
Z
2
−x
e
0
∞
Z
sin x2dx =
0
∞
Z
sin x
x
0
cos 2x dx =
dx =
√
π
2√2
π
; 6)
2
√
π
; 2)
2e
; 4)
Z
0
∞
Р е ш е н и е п. 2. Рассмотрим контур, изображенный на рис. 8.6.
y
O
e
Z
0
−ix
l
π
4
∞
e
2
∞
Z
cos x2dx =
0
2
−x
cos 2bx dx =
dx =
R
√
√
π
;
2√2
√
π
π
−i
4
e
2
C
.
R
2
π
−b
e
2
;
x
Функция f (z) = e
Оценим интеграл
так что
Рис. 8.6
2
iz
аналитична внутри ΓR= [0, R] ∪ CR∪ l, поэтому
dz =
R
Z
ix
e
0
Z
2
iz
e
C
R
2
iz
e
= e
2
dx +
Z
iz
e
C
R
2
dz +
Z
2
iz
e
dz = 0. (8.1)
l
dz. При z ∈ CRимеем z = R eiϕ, 0 6 6 π/4,
2
−R2sin 2ϕ
6 e
4R
−
ϕ
π
.
Z
2
iz
e
Γ
R
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]