Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

567 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

(СибГУТИ)

Т. В. Бернштейн, Д. А. Прокудин

Теория функций комплексной переменной

Учебное пособие

Новосибирск

2017

УДК 517.53

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензенты: д.ф.-м.н., проф. Мамонтов А. Е. к.т.н., доц. Храмова Т. В.

Бернштейн Т.В., Прокудин Д.А. Теория функций комплексной переменной : Учебное пособие / Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск, 2017. – 64 с.

Пособие содержит теоретические сведения по теории функций комплексной переменной, большое количество задач с решениями, а также упражнения для самостоятельной работы. В заключение приводятся контрольные задания. Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий при изучении математики в соответствии с государственными образовательными стандартами инженерных специальностей.

©Бернштейн Т. В., Прокудин Д. А., 2017

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2017

	Содержание
1.	Комплексные числа. Линии и области в комплексной области.........................	4
2.	Функции комплексной переменной. Основные элементарные функции..........	9
3.	Дифференцирование функций комплексной переменной.
	Условия Коши-Римана..........................................................................................	14
4.	Интегрирование функций комплексной переменной.
	Интегральная формула Коши...............................................................................	19
5.	Ряды в комплексной области. Ряды Тейлора и Лорана.....................................	25
6.	Особые точки и вычеты........................................................................................	31
7.	Применение вычетов к вычислению интегралов...............................................	38
Ответы........................................................................................................................		41
Контрольные задания................................................................................................		48
Литература..................................................................................................................		63

1. Комплексные числа. Линии и области в комплексной области

Напомним,

что

комплексным

числом

называется

выражение

вида

, где

– действительные числа, i – символ,

= −1

Число

называется действительной частью числа z (обозначается

число – мнимой частью z (обозначается

Пусть даны два комплексных числаIm:

. Два

комплексных числа

называются

равными тогда и только тогда, когда

= +

равны их действительные и мнимые части,

т.

е.

. Понятия

«больше» и «меньше» для комплексных чисел не

вводятся.

Операции сложения и умножения комплексных чисел определяются

следующим образом:

= ( +

) +(

+ ) ,

деления∙

Операция

= (

−

) + (

) .

комплексных чисел определяется как действие,

обратное умножению, т.е. частным двух комплексных чисел

≠ 0

называется комплексное число

, такое, что

∙

= :

−

Произведение

= x − y

называется сопряженным

числу

Комплексное число

сопряженных чисел всегда вещественно:

Часто на практике частное комплексных чисел

находят путем умножения

zz =

числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Если на плоскости введена декартова система координат xOy, то любое

число

можно изобразить точкой (

) (см. рис. 1).

Рис. 1.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ox – действительной осью (обозначается Re ), Oy – мнимой осью (обозначается Im ).

Число				называется модулем комплексного числа
(обозначается\|z\| =		илиx +y). Геометрически				– это расстояние от точки= +
комплексной плоскости\| \|				, изображающей данное\| \|			комплексное число до начала( , )
координат (см. рис. 1).				− < ≤
Угол	= arg		(		) между положительным направлением

действительной оси и отрезком ОМ, где М – точка, изображающая комплексное число (см. рис. 1), называется главным значением аргумента комплексного

числа z.	Arg = +2 ,	называется аргументом
числа. Совокупность всех углов		называется аргументом

Главное значение аргумента определяется следующим образом:

arctg

при

> 0,

+arctg

< 0,

≥ 0,

при

= arg = −

+arctg

при

< 0,

= 0,

> 0,

при

2 при

−

= 0,

< 0.

Пара | | и arg однозначно определяет положение точки комплексной плоскости, изображающей комплексное число.

	Запись		=		называется алгебраической формой комплексного числа.
комплексного				\| \|(cos + sin			)	называется тригонометрической формой
	Запись		=	+
			числа.
	Запись		= \| \|		называется показательной формой комплексного числа
(					– формула Эйлера).
форме:				z,z ,z
	Если числа					заданы	в тригонометрической или показательной
	= cos	+ sin

= \| \|(cos		+	sin	) = \| \|	\|	,
= \|	\|(cos	+	sin	) = \|	\|	,
= \|	\|(cos	+	sin	) = \|	\|	,

то имеют место операции умножения:

деления:∙

= |

| cos(

) +

sin(

)

= |

|| |

(

);

(cos(

−

) + sin(

−

)) =

(

);

возведения в степень| | :

) +

sin(

)) = | |

= | |

(cos(

– формула Муавра;

извлечения корня (из ненулевого комплексного числа

√

cos

sin

Корень

-ой степени= 0,1,…,(

− 1),

Геометрически

все

имеет

различных значений.

значения

лежат на окружности радиуса

с центром в начале координат

| |

и образуют√правильный

-угольник.

Пример 1. Найти все значения

Решение. Приведем число

z = −1

√−1к тригонометрическому виду:

Тогда

|−1|

= 1,

arg(−1

) =

, −1 = cos

sin

При

√−1 = cos

sin

при,

= 0,1,2,3.

= 0

√

√−1 = cos

+ sin

= 1

√−1 = cos

+ sin

√

−

при

= 2

√−1 = cos

+ sin

= −

−

при

= 3 √−1 =

√

cos

sin

−

Все значения

√−1

лежат на окружности радиуса

центром в начале координат и образуют квадрат (см. рис. 2).

Рис. 2.

Пример 2. Какое множество точек на плоскости комплексного

переменного		определяется условием							?		) = ( − ) +2 ,
следовательно,			=.	+		Тогда			= ( +
Решение.		Пусть z			.				> 2
							Im	2			> 1
определяет		Im = 2		По условию					> 2	или
											. Это неравенство
	множество точек в первой и третьей координатных четвертях,
соответственно над и под гиперболой							= 1 (см. рис. 3).

Рис. 3.

Упражнения

1.1.Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах:

1.2.−2

; б)

; в)

−√2+ √2

; г)

−1 − √3

; д)

5+3

а)

Вычислить:

а) √3

−3

; б)

√

1.3. Определить все значения

Найти множества точек на плоскости комплексного переменного

=+ , которые определяются заданными условиями, сделать чертеж:

1.4.| | = 2; | | > 2; | | < 2.

1.5.| −2| = 1; | −2| > 1; | − 2| < 1.

1.6. | − | = 2; | − | > 2; | − | < 2.

1.7. 1 < | +2| ≤ 2.

1.8.| − | = | +2|.

1.9.Re ≥ 0.

1.10. 0 ≤ Im < 1.

1.11.|Im | ≤ 2.

1.12.0 < arg ≤ .

1.13.| −arg | < .

1.14.= .

Задания для самостоятельного решения

1.15. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах:


а)	2+2√3	; б)	−7 −		.

1.16. Вычислить:
а) (2 − 2 ) ; б)				√	.

1. 17. Определить все значения √− .

Найти множества точек на плоскости комплексного переменного

=+ , которые определяются заданными условиями, сделать чертеж:

1.18.1 < | − | < 2.

1.19.0 < | − | ≤ 2.

1.20.2 < | − | < +∞.

1.21.0 < Re(2 ) < 1.

1.22.Im( ) < 1.

1.23.Re > .

1.24. Im = 0.

2. Функции комплексной переменной. Основные элементарные функции

Говорят, что в области определена функция = ( ), если каждой точке

поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько

многозначная функция)		значений	. Функция	=на(	осуществляет
отображение(	точек области	комплексной плоскости			соответствующие)

точки комплексной плоскости . Напомним, что областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Пусть

Тогда

зависимость

( )

между

комплексной функцией

комплексной переменной

примет следующий вид:

(x,y)

(

–

при

этом

называют

действительной частью, а функцию

Функцию

соответственно( , )

частью

функции

(

)

(обозначается

Re (

)

Im ( )

мнимой

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции

Решение. Полагая z

, получим

− ) +(2

Таким+

= (

)

−

= (

+1)

образом,

−

= 2

Основные элементарные функции комплексной переменной

Определим основные элементарные функции переменной z							=	+	.
Дробно-рациональная функция:
	,	=	+	+ +		.
Здесь		– неотрицательные	целые числа,		– комплексные константы.
			+	+ ,	+

В частности, дробно-рациональной функцией является многочлен:

Показательная	=	= +	+ + .
	функция	=	определяется формулой
	=	=	(cos + sin ).
			9

Показательная функция обладает следующими свойствами:

функцией с=

∙

= 0,±1,±2,

т.

е.

является периодической

ба))

( ;

периодом

Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются

равенствами

sin

−

cos

sin

cos

ctg

sin

Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе практически все свойства тригонометрических функций действительного переменного.

Гиперболические функции определяются равенствами

sh =	−			, ch	=	+			,
	2					2
		sh					ch
th	=	ch	,	cth	=		sh	.

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

sin

= −

sh(

= −

sin(

),,

cos

= ch(

)

ch = cos(

= −

th(

= −

tg(

ctg

= cth(

)

cth

ctg(,

)

Логарифмическая функция

= Ln

, где

≠ 0

определяется как функция,

обратная показательной, причем

arg

(

= 0,±1,±2, ).

Ln = ln| | + Arg

= ln| | +

Ln:

Логарифмическая функция является многозначной. Главным значением

называется то значение, которое получается при

; оно обозначается

Очевидно, что

= ln| | +

arg .

= 0

= ln

10( = 0,±1,±2, ).

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]