Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие
.pdf
| | Re = ( + ) ( + ) =
( +(2 − 1) ) ( + (2 −1) ) =
(5 − 4 + )(1+2 ) =
(1+2 ) |
(5 |
−4 |
+ ) |
4 |
= (1+2 ) 5 |
4 |
−4 |
3 |
+ |
2 |
|
= |
|
|||||||
= (1+2 ) |
20 − |
32 |
+2 − |
5 |
+ |
− |
1 |
= (1+2 ) |
131 |
= |
131 |
+ |
262 |
. |
||||||
3 |
4 |
3 |
2 |
12 |
12 |
12 |
||||||||||||||
Пример 2. Вычислить интеграл
1 |
, |
− 5 |
где – эллипс = 3cos , = 2sin .
Решение. Подынтегральная функция является аналитической в области, ограниченной данным эллипсом, следовательно,
|
|
|
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(и ) |
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
Если функция |
аналитическая функция в односвязной области , |
|||||||||
содержащей точки |
,–то имеет место формула Ньютона-Лейбница |
|
||||||||
где |
|
∫ ( ) = ( ) − ( ) = ( )| , |
′ |
|
в |
|||||
– какая-либо первообразная |
функции |
( |
) |
, т.е. |
|
( ) = ( ) |
||||
области( |
). |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Вычислить интеграл
.
21
Решение. Подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости. Используем формулу Ньютона-Лейбница:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
( |
+1) |
|
= |
3 |
= |
3 |
− |
3 |
= − |
3 |
− |
3 |
= − |
3 |
. |
Если функции ( ) и ( ) – аналитические функции в односвязной области , содержащей точки и , то имеет место формула интегрирования по частям:
( ) ′( ) = ( ) ( )| − |
( ) ′( ) . |
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. |
Функции |
|
|
и |
cos |
. |
|
являются аналитическими |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
интегрирования по частям, получим: |
|||||||||||
всюду. Применяя формулу |
( ) = |
|
( ) = cos |
|
= |
sin +cos |
|||||||
cos |
= |
(sin |
)′ |
= |
sin | |
− |
sin |
|
|||||
|
= |
sin +cos |
−1 = |
|
− |
+ |
|
+ |
− 1 = |
1 − |
. |
||
Замена переменных в интегралах от |
2функций |
|
комплексной переменной |
||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||
производится аналогично случаю функций действительной переменной. Пусть
аналитическая функция |
=в ( |
взаимно-однозначно отображает кривую в |
|
– плоскости на кривую |
–)плоскости. Тогда |
||
|
( ) |
= |
( ( )) ′( ) . |
Если путь интегрирования является полупрямой, выходящей из точки или окружностью с центром в точке , то полезно делать замену переменной вида
|
= |
|
|
= |
, а |
− = |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
– |
|
– переменная интегрирования, во втором |
|||
В первом случае |
|
|
|
||||
случае |
|
, а |
|
переменная интегрирования. |
|||
22
Пример 5. Вычислить интеграл |
|
|
d |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Положим| | = 1 Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
≥ 0, |
, тогда |
|
|
, |
|
|
, |
||||||
где – полуокружность |
, |
|
|
|
|
обход против часовой стрелки. |
|
|
|||||
0 ≤ ≤ и |
= | | = |
|
|
|
|
= |
|
d = |
d |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
d = |
d |
= |
|
|
|
= |
= |
− 1 = −2. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
Если функция ( ) является аналитической в области , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой кривой , и на самой кривой, то справедлива
интегральная формула Коши
|
( |
) = |
1 |
( ) |
d |
( |
), |
|
||
|
2 |
|
− |
|
||||||
где кривая обходится так, что область |
остается все время слева. |
|||||||||
Если функция |
|
является аналитической в области |
|
|||||||
то для любого натурального( ) |
имеет место формула |
|
и на ее границе , |
|||||||
( ) |
|
! |
( |
) |
|
|
|
|
||
|
( ) = |
2 |
|
( − ) |
d |
( , ). |
||||
Интегральная формула Коши позволяет вычислять некоторые интегралы.
Пример 6. Вычислить интеграл
−6 d .
| |
Решение. Внутри области, ограниченной окружностью | −2| = 3, находится одна точка = 0, в которой знаменатель обращается в нуль. Перепишем интеграл в виде
| | |
−6 |
d = | | |
−6 |
d . |
|
23 |
|
|
|
Функция ( ) = является аналитической в данной области. Применяя
интегральную формулу Коши ( = 0) получим |
1 |
|
|
|
||||
|
|
d = 2 |
|
= 2 − |
= − |
|
. |
|
| | |
− 6 |
− 6 |
6 |
3 |
||||
Упражнения
Вычислить интегралы: |
, 0 ≤ |
|
≤ 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
4.1. ∫ |
Re( |
+ |
|
|
|
)d |
, |
|
: |
= 2 |
|
|
= 1+ . |
|||||||||||||||
4.2. ∫ |
| |
|
| |
|
Re |
d , |
|
– отрезок прямой от |
|
= 0 до |
||||||||||||||||||
4.3. ∫ |
Re |
|
|
d , |
|
|
– ломаная |
, |
= 0, |
|
= 2, |
= 2+ . |
||||||||||||||||
4.4. ∫ |
(2 |
|
|
+1) |
|
|
d , |
|
:| | = 1,0 ≤ arg |
|
≤ . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4.5. ∫ |
( |
|
|
|
− )d , |
:| | = 1, |
≤ arg |
|
≤ 2 . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4.6. ∫ |
(3 |
|
+2 )d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4.7. ∫ |
|
|
|
|
|
d . |
:| | = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.8. |
|
|
|
|
|
|
|
d , |
|
. |
|
|
|
d |
|
: |
|
= 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4.9. a) |
|
|
|
d |
|
|
: |
| |
| |
= 4 |
|
| | |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
, |
|
. |
|
|||||
Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы: |
|
|
|||||
4.10. ∫ |
| |d , |
: = √1 − |
,−1 ≤ |
≤ 1. |
|||
4.11. ∫ |
|
Im( |
)d , :| | ≤ 1,Re |
= 1. |
|||
4.12. ∫ |
|
|
d , |
:| | = 1,0 ≤ arg |
≤ 2 |
24. |
|
|
|
||||||
4.13. ∫ |
|
|
|
d , :| | = 1,0 ≤ arg |
|
≤ |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.14. ∫ (3 |
|
−2 |
|
)d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.15. ∫ ( |
− ) |
d . |
:| | = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.16. |
|
|
|
|
|
|
d , |
|
|
|
|
|
d , : |
|
= 4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4.17. a) |
|
|
d |
, |
: |
| | |
= 1 |
; б) |
|
|
|
|
| | |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. Ряды в комплексной области. Ряды Тейлора и Лорана
Пусть дан ряд c комплексными членами
∞
= + + + + ,
где = + .
Данный ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действительными членами:
∞ |
= + + + + и |
|
|
∞ |
= + + + + . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
Ряд |
∞ |
сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей членов |
||||||||||
этого ряда∑ |
|
∞ |
|+| |
|
|+ +| |
|+ . |
||||||
|
|
|
| | = | |
|
||||||||
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Имеем |
∞= cosn+∞ sin |
. |
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|||||
|
|
|
|
|
= |
cos |
|
+ |
sin |
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||
25
Каждый из рядов
∞ |
cos |
и |
∞ |
sin |
. |
сходится абсолютно, следовательно, данный ряд также сходится абсолютно.
Ряд вида
|
|
|
∞ |
= |
+ |
+ + |
+ , |
|
|
|
|
|
|||||
где , |
, |
, и т. д. – комплексные постоянные, а |
– комплексная переменная, |
|||||
называется степенным рядом в комплексной области. |
||||||||
Теорема Абеля. Если степенной ряд ∞ |
сходится при некотором |
|||||||
значении |
|
|
|
|
абсолютно при всех значениях , для |
|||
= |
, то он сходится и притом ∑ |
= |
|
|||||
которых |
. Если ряд расходится при |
, то он расходится и при |
||||||
любом |
|
которого |
. |
|
|
|
||
, для| | < | | |
|
|
|
|
||||
Область |
сходимости| | >ряда| | |
∞ |
|
есть |
круг с центром в начале |
|||
координат. |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
Радиус сходимости степенного ряда можно определить по формулам:
|
|
|
|
|
∞ |
|
| |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
= lim→ |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
( |
|
|
≠ 0). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= lim→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Степенной ряд может иметь вид| |
|
|
|
( |
− ) |
. В этом случае центр |
|||||||||||||||
круга сходимости находится в точке |
|
.∑ |
|
|
|
∞ |
( − ) |
|
|||||||||||||
Пример 2. Найти радиус сходимости степенного ряда |
. |
||||||||||||||||||||
Решение. Найдем модули коэффициентов |
и |
: |
∑ |
|
|||||||||||||||||
| | = | − | = √ |
+1 |
, |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Затем найдем| | = |( +1) − | = |
|
( |
+1) |
|
+1 = √ |
+2 |
|
|
|||||||||||||
|
+2 |
|
|||||||||||||||||||
радиус сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
| | |
|
|
∞ |
|
|
|
√ |
+1 |
|
|
|
|
|
||||||
= lim→ |
|
|
= lim→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|||
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
26 |
|
|
√ |
|
|
+2 |
+2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Функция |
|
, однозначная и аналитическая в точке |
= |
, разлагается в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окрестности этой( точки) |
в степенной ряд Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
∞ |
|
|
|
( − |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
коэффициенты которого вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
Г |
( |
( |
|
) |
|
|
|
|
= |
|
( ) |
|
( |
|
|
|
= 0,1,2,…) |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где Г – окружность с центром в точке |
|
|
|
|
|
, целиком лежащая в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки , в |
которой |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитична. Центр круга сходимости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
находится в точке |
|
. Радиус сходимости( ) |
ряда будет равен расстоянию от точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ближайшей особой точки функции . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
доРазложения некоторых функций в ряд(Тейлора) |
в окрестности точки |
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ряд Маклорена): |
= 1+ |
1! |
+ |
|
2! |
+ |
3! |
+ + |
! |
|
+ ( = ∞), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
= |
− |
3! |
+ |
|
5! |
− |
7! |
+ + (−1) |
|
(2 |
+1)! |
+ ( |
= ∞), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
= 1 − |
2! |
+ |
4! |
− |
6! |
+ + (−1) |
(2 )! |
+ |
( |
= ∞), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1+ ) |
= 1+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
( |
|
|
−1) |
|
+ |
( |
|
|
|
− 1)( |
− 2) |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
− 1) |
|
2! |
|
− |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
…( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
= 1), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||
|
= 1 − + − + +(−1) + ( = 1), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1+ ) = − |
|
+ |
|
|
− +(−1) |
|
|
|
|
|
|
+ ( = 1). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Тейлора по степеням |
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Разложить |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
найти радиус сходимости ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. Преобразуем функцию |
( |
|
) к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Такое представление функции позволит нам применить готовое разложение
|
1 |
|
= 1 − |
+ |
|
|
− |
|
+ +(−1) |
|
|
+ . |
||||||||||||||||||||||
В нашем случае |
|
|
1+ : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ) = |
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
+ = − + + − − . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Этот ряд сходится при условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
, т. |
при |
|
|
|
1кольце. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Функция |
|
|
|
, однозначная| |
|
и| <аналитическая1 е. | | <в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= 0 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
Лорана |
||||||||||
(возможны случаи( ) |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∞), разлагается в этом кольце в ряд< | − | < |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
( − ) + |
|
|
|
|
( − ) , |
|||||||||||||||||||
коэффициенты которого вычисляются по формулам |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( )d |
|
|
|
( |
) |
( |
|
= 0,±1,±2,…), |
|||||||||||||||||
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
( |
|
− |
) |
|
= |
= |
! |
|
||||||||||||||||||
где – окружность с центром в точке |
, целиком лежащая внутри данного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
кольца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
− ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( |
|
− |
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞
называется главной частью ряда Лорана, ряд
∞
( − )
называется правильной частью ряда Лорана.
Как правило, если это возможно, для нахождения коэффициентов используются готовые разложения в ряд Тейлора элементарных функций.
28
Пример 4. Разложить в ряд Лорана в окрестности точки = 0 функцию
( ) = .
Решение. Для любого комплексного переменного имеем
= 1+1! + 2! + 3! +
Получим
= 1+ 1! + 2! + 3! + = 1 + 1 + 2!1 + 3!1 +4!+ 5! + 6! +
Это разложение справедливо для любой точки |
≠ 0 |
(в кольце |
0 < | | < + |
∞). |
|||||||||||||
Главная часть данного разложения: |
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
правильная часть разложения: |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
2! |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
||||
3! |
4! |
5! |
|
6! |
|
|
|
||||||||||
Упражнения
Найти радиусы сходимости рядов:
∞ |
|
|
5.1. ∑∞ |
. |
|
5.2. ∑ |
|
. |
|
||
Разложить функции в ряд Тейлора и найти радиусы сходимости рядов:
5.3. sin( − ) по степеням .
5.4.sin по степеням .
5.5.по степеням .
5.6. √27 − по степеням .
29
5.7.по степеням ( − 1).
Разложить функции в ряд Лорана в окрестностях указанных точек, указать области сходимости рядов:
5.8. sin |
|
|
, |
= 2. |
|
|
|
||||
5.9. |
( |
) |
, |
|
= −1. |
5.10., = 0.
Разложить функцию в ряд Лорана в указанных кольцах:
5.11. ( )( ), а) 2 < | | < 3, б) 3 < | | < +∞.
Задания для самостоятельного решения
Найти радиусы сходимости рядов:
5.12. |
∑ |
∞ |
|
. |
|
||||
5.13. |
∞ |
. |
||
|
∑ |
|
|
|
Разложить функции в ряд Тейлора и найти радиусы сходимости рядов:
5.14.по степеням .
5.15.cos по степеням .
5.16.(1 − ) по степеням .
5.17.√ по степеням ( − 1).
Разложить функции в ряд Лорана в окрестностях указанных точек и указать области сходимости рядов:
5.18., = 0.
30